精品解析：江苏省南通市启东中学2023-2024学年高二上学期10月考试数学试题

高二数学10月考试数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（ ） A. m＜ B. m≤ C. m＜2 D. m≤2 【答案】A 【解析】 【分析】根据表示圆的条件D2＋E2－4F＞0，解不等式即可. 【详解】解：由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜. 故选：A. 2. 已知双曲线的焦距为4，则的值为（ ） A. 1 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定，根据，即可得的值. 【详解】解：已知双曲线的焦距为4，则， 又，解得. 故选：B. 3. 已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的坐标得到斜率，再结合倾斜角和斜率的变化关系得到的范围. 【详解】 直线与线段相交，所以临界情况为恰好经过点或经过点时， ，，由图可知，或. 故选：A. 4. 已知数列满足，则的前10项的和为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的周期性，结合特殊角的三角函数值，以及二倍角公式，即可求得结果. 【详解】由题可知，又的周期，且， 故该列数列的前10项的和为. 故选：D. 5. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. 4x＋3y－4＝0 B. 4x＋3y－12＝0 C. 4x－3y－4＝0 D. 4x－3y－12＝0 【答案】B 【解析】 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 6. 已知数列和均为等差数列，是数列的前n项和，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列的性质分析可得，进而可得，代入运算即可. 【详解】根据题意，设等差数列， 又因为是关于n的一次式，可得， 则， 所以. 故选：B． 7. 已知椭圆的左右焦点为、，为坐标原点，为椭圆上一点，与轴交于一点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的性质可先求得，故可得，再由椭圆的定义得a，c的关系，故可得答案． 【详解】， ，又， ， 则， ，则，， 由椭圆的定义得，， ， 故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，属于中档题. 8. 若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析出AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，， 当的坐标为时，， 由余弦函数的单调性确定时，最大，此时最大，最大值为. 【详解】可化为， 故圆N的圆心为，半径为， 由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1， 所以且，故， 当的坐标为时，， 在△NAB中，， 又，在上单调递减， 故为锐角，且当时，最大， 又在上单调递增， 所以当最大时，取得最大值，且最大值为， 故选：D 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，利用点斜式可得直线方程. 【详解】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点， 当直线时，因为直线的斜率为， 所以直线的方程是，即； 当直线经过线段的中点时，则的斜率为， 的方程是，即， 故选：AC 10. 已知等差数列的前n项和为，且公差，若对于任意正整数n，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由，得到，，判断出AB选项；举例说明不一定为零可得C项错误；利用求和公式及等差数列性质得到，判断D项. 【详解】因为，所以，且， 即，， AB项，因为，，且， 所以，则，故A错误，B正确； C项，当，即时， 当时，；当时，， 所以此时数列满足恒成立，但，故C错误； D项，，故D正确. 故选：BD. 11. 圆，抛物线，过圆心的直线与两曲线的四个交点自下向上依次记为，若构成等差数列，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】设出直线的方程联立抛物线方程，利用韦达定理建立方程即可求解. 【详解】如图所示： 由题意圆的标准方程为，其圆心为，半径为， 所以抛物线的焦点为圆心， 又构成等差数列， 所以， 又因为， 所以，即， 不妨设，由抛物线定义可知：，即， 当直线斜率不存在时：； 当直线斜率存在时：设直线的方程为， 代入抛物线方程得， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 故选：CD. 12. （多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点. 【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半， 所以，化简可得，故选项A正确； 对于B，联立方程组，可得， 解得，故存在点， 所以直线是“最远距离直线”，故选项B正确； 对于C，过点P作垂直直线，垂足为B， 由题意可得，，则， 由图象可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故选项C正确； 对于D，由可得， 即圆心为，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C交于点，故选项D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 双曲线的渐近线方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】双曲线，渐近线方程为：，故得到方程为：. 故答案为． 14. 等差数列中，，则的前9项和______． 【答案】90 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，即可根据求和公式得解. 【详解】因为，所以 又，所以， 所以， 故答案为：90 15. 已知点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】先把圆上存在点使得，转化为圆与圆相交，利用，解不等式即可. 【详解】因为直径所对的圆周角为90°，而， 所以以AB为直径的圆与圆存在公共点， 故两圆相交或相切， 所以 解得. 故答案为： 【点睛】圆C1和圆C2 的半径分别为R和r，圆心距为d，圆与圆的位置关系由5种： （1）相离；（2）相外切；（3）相交；（4）相内切；（5）相内含； 16. 是抛物线准线为上一点，在抛物线上，的中点也在抛物线上，直线与交于点，则的最小值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】设，求出的中点坐标并代入抛物线方程，得出为方程的两个实数根， 求出韦达定理，表示直线的方程，得出点坐标，再进一步计算的最小值. 【详解】设，的中点坐标为， 的中点坐标为，因都在抛物线上， 则有，. 则为方程的两个实数根，， 直线与交于点，直线的方程为：， 即，可得， 令，解得，则，， 当且仅当时取得最小值，最小值为6. 故答案为：6. 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求n. 【答案】（1），. （2）11 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义计算基本量即可； （2）利用等差数列的求和公式计算基本量即可. 【小问1详解】 设公差为，则由题意可得， 又， 所以，； 【小问2详解】 由（1）可知， 即，所以. 18. 已知点，，动点满足． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线过点且与点的轨迹只有一个公共点，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）设，应用两点距离公式及已知条件，整理化简求轨迹方程； （2）由题意，直线与相切，讨论所求直线斜率，设直线方程，根据圆心与直线距离求参数求直线方程. 【小问1详解】 设，由条件，则， 整理：，即点的轨迹方程为. 【小问2详解】 过点的直线与点的轨迹只有一个公共点，即直线与相切， 当直线的斜率存在时，不妨设， 则圆心到直线的距离，得：，此时； 当的斜率不存在时，直线此时直线与圆相切； 综上所述，满足题意得直线的方程为：或 19. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明： ∴ 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【小问1详解】 ∵ ，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 【小问2详解】 略 20. 已知椭圆C:（a > b > 0）的离心率，过左焦点F的直线l与椭圆交于点M、N.当直线l与x轴垂直时，的面积为（为坐标原点）. （1）求椭圆C的标准方程: （2）设直线l的倾斜角为锐角且满足，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线与轴垂直时三角形的面积，以及椭圆的离心率，列出方程即可求得 （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，求出的面积，另也可由求得的面积，由此得到关于的方程，即可求解. 【小问1详解】 当过左焦点F的直线l与x轴垂直时，，此时的面积为， 且椭圆离心率，可得，解得 则椭圆的标准方程为 【小问2详解】 设直线的方程为， 将直线方程与椭圆方程联立可得，消去整理得 ， 由于直线过椭圆的左焦点，故直线与椭圆必相交， 则 点到直线的距离 且 ， 解得 所以直线的方程为， 即 21. 已知正项数列，对任意，都有为数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）设，若数列是递增数列，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设中的递推关系可得，据此可求通项. （2）利用参变分离可求参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故， 故，整理得到， 因为，故，故， 故为等差数列，而，故（舍）或， 故. 【小问2详解】 由（1）可得， 因为是递增数列，故，故， 整理得到：，故， 当为正奇数时，故恒成立，故； 当为正偶数时，故恒成立，故； 故. 22. 已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于、两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证线段必过定点，并求定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意可列方程，求解即可得椭圆的标准方程； （2）由题意知，结合对称性可知点在轴上，设直线方程：，设，，，代入椭圆方程可得，，求解直线直线方程，求解其与轴的交点，即可确定点坐标. 【小问1详解】 解：由题可知：，所以，， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 解：由题意知，结合对称性可知点在轴上，又， 设直线方程：，设，，， 联立方程得得 所以， 又 所以直线方程为： 令，则. 所以直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学10月考试数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（ ） A. m＜ B. m≤ C. m＜2 D. m≤2 2. 已知双曲线的焦距为4，则的值为（ ） A. 1 B. C. 7 D. 3. 已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 已知数列满足，则的前10项的和为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 5. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. 4x＋3y－4＝0 B. 4x＋3y－12＝0 C. 4x－3y－4＝0 D. 4x－3y－12＝0 6. 已知数列和均为等差数列，是数列的前n项和，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知椭圆的左右焦点为、，为坐标原点，为椭圆上一点，与轴交于一点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前n项和为，且公差，若对于任意正整数n，，则（ ） A. B. C. D. 11. 圆，抛物线，过圆心的直线与两曲线的四个交点自下向上依次记为，若构成等差数列，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 12. （多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 双曲线的渐近线方程为__________． 14. 等差数列中，，则的前9项和______． 15. 已知点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是____． 16. 是抛物线准线为上一点，在抛物线上，的中点也在抛物线上，直线与交于点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求n. 18. 已知点，，动点满足． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线过点且与点的轨迹只有一个公共点，求直线的方程． 19. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 20. 已知椭圆C:（a > b > 0）的离心率，过左焦点F的直线l与椭圆交于点M、N.当直线l与x轴垂直时，的面积为（为坐标原点）. （1）求椭圆C的标准方程: （2）设直线l的倾斜角为锐角且满足，求直线l的方程. 21. 已知正项数列，对任意，都有为数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）设，若数列是递增数列，求实数的取值范围． 22. 已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于、两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证线段必过定点，并求定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $