精品解析：广东省广州市黄广中学2024-2025学年高二上学期收心考试数学试题

黄广中学2024-2025学年高二第一学期收心考 数学科 一､单选题 1. 复数，则z的虚部为（ ）． A. 3 B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可得答案. 【详解】复数， 所以的虚部为 故选：B. 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的加减法、数乘运算求解即可. 【详解】. 故选：D 3. 已知a，b是不同的直线，，是不同的平面，下列说法中正确的是（ ） A. 若，平面，则平面 B. 若平面，平面，则 C. 若平面，平面，平面平面，则 D. 若平面，平面，，则平面平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理可判断A；根据线面垂直的性质定理可判断B；作出二面角的平面角，根据面面垂直可判断C；通过举反例判断D. 【详解】对A，若，平面，则平面或，A错误； 对B，若平面，平面，则，B错误； 对C，记，过点作，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 记平面与直线相交于点，连接， 因为，所以， 又，所以， 因为是平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以， 又平面平面，所以， 所以四边形为矩形，所以，所以，C正确； 对D，如图，记，当直线与平行，且不在平面内时满足条件，但平面不平行，D错误. 故选：C 4. 已知一组数据34，36，39，41，44，45，x，50的第65 百分位数是45，那么实数 x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数据的总个数可得第65百分位是第6位，可得的范围. 【详解】因为，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据45，则. 故选：A 5. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. 互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 【答案】A 【解析】 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假． 【详解】选项A；设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事技术岗位的90后人数为，小于80后的人数， 但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故A错误． 选项B：设整个互联网行业总人数为a，90后从事技术岗位人数为56％×39.6％a， 而90后总人数的20％为，故B正确； 选项C：设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事运营岗位的90后人数为， 超过80前的人数6％a，且80前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确； 选项D： 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故D正确. 故选：A． 6. 如图，测量河对岸的可视塔底的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得°，，米，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，，CD=50米,利用正弦定理求出,在中，求出. 【详解】由已知，，CD=50米，故， 所以，即，解得， 又因为在点C测得塔顶A的仰角为，即， 所以在中，. 故选：A 7. 如图，三棱锥的三条棱两两互相垂直，且，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意三棱锥可以补成一个长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，求出长方体的体对角线，可得外接球的直径，从而可求出球的表面积. 【详解】因为三棱锥的三条棱两两互相垂直， 所以三棱锥可以补成一个长方体，如图所示 长方体的长，宽，高分别为， 则此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，设外接球的半径为，则 ， 得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 8. 若 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解. 【详解】 故选：C 二､多选题 9. 已知平面向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在上的投影向量的坐标为 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示判断A；由判断B；由投影向量的定义判断C；根据判断D. 【详解】对于A：若，则，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：若，则， 所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D：若，则， 若与的夹角为锐角，则，解得， 所以与的夹角为锐角的充要条件是，故D错误. 故选：BC 10. 计算下列几个式子，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正切的和角公式变形可判断A；将转化为，结合正弦和角公式可判断B；利用二倍角的正切公式即可判断C；将转化为结合正切和角公式可判断D. 【详解】对于选项A，， 变形得，故A正确； 对于选项B，原式可化为，故B正确； 对于选项C，原式，故C错误； 对于选项D，原式＝＝tan 60°＝，故D正确； 故选：ABD. 11. 如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 二面角等于 D. 异面直线与所成的角等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，连接，交于，连接、，证明即可由线面平行判定定理得平面；对于B，证明平面即可得证平面；对于C，求证为二面角的平面角即可得解；对于D，由得为异面直线与所成的角，从而依据正三角形得解. 【详解】对于A，连接，交于，连接、， 则由正方体性质可知且， 所以四边形为平行四边形，故． 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，所以， 由正方体性质有、平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可得，又，平面， 所以平面，故平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，，又 所以为二面角的平面角，显然不等于，故C错误； 对于D，因为，所以为异面直线与所成的角， 由正方体性质可知为等边三角形，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于B，直接证明平面不好证，可通过证明的平行线垂直平面来得证，因为，故求证平面即可得证平面. 三､填空题 12. 从某小区抽取100户层民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左用右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出参数的值，再求出月用电量落在区间的频率，即可得解. 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 所以月用电量落在区间的频率为， 所以在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为. 故答案为： 13. 一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为1m，高为2m的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是______，体积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】该组合体的表面积是，体积是，求出即可． 【详解】解：如图所示， 该组合体的表面积是: ; 体积是．  故答案为：；. 14. 在中，，若边上的两条中线相交于点，则__________；__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】法一：由余弦定理得，从而得到，，以点为原点，建立空间直角坐标系，写出向量、的坐标即可求得数量积，由，由即可得到； 法二：选一组基向量，可得，分别表示出、、，利用数量积的运算法则求得、、、，由及公式求得. 【详解】法一：在中，由余弦定理得，所以. 因为，所以， 以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，， 所以， 所以. 法二： ， 因为， ， ， ， 所以， 故答案为：，. 四､解答题 15. 在内，角所对的边分别为，且. （1）求角的值； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得到，求出角即可， （2）由余弦定理和三角形面积公式得到方程，求出，进而求出周长即可. 【小问1详解】 因为 由正弦定理得. ，. 又，. 又，，故， ，又，. 【小问2详解】 由（1）知， 由余弦定理得记为①式， 又，故， ，记为②式，又， 由①②得，故， ∴， 由题意得，解得(负根舍去)， 故的周长为. 16. 某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取n名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将满意度分为四个等级： 调查评分 满意度等级 不满意 一般 良好 满意 并绘制如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的顾客为80人． （1）求n的值及频率分布直方图中t的值； （2）若某段时间有10000名顾客购买该公司的产品，请估计这10000名顾客中对该公司产品满意度达到“满意”的人数； （3）该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不需要调整、根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由．（每组数据以区间的中点值代替） 【答案】（1），； （2）2400人； （3）不需要对该公司旗下产品进行调整，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据调查评分在的顾客为80人得到方程，求出n的值，根据频率之和为1得到方程，求出； （2）在（1）计算上得到，进而得到频率，求出对产品满意度达到“满意”的人数； （3）每组数据以区间中点值代替，计算出平均值，得到结论, 【小问1详解】 ，， 所以，； 【小问2详解】 ， 估计的人数为人； 【小问3详解】 由频率分布直方图得，顾客满意度评分的均值为： ， 由题意知不需要对该公司旗下产品进行调整. 17. 如图，在四棱锥底面，. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理得出线线垂直，再应用线面垂直判定定理证明即可 （2）应用面面垂直性质定理得出线面垂直进而得出线面角为，最后计算得出正弦值. 【小问1详解】 在中，，，， 则， ，所以 在中，， 故，所以为直角三角形，故， 又因为底面，底面，所以， 又因为，平面，所以平面. 【小问2详解】 如图：作于， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，故为与平面所成的角， 中，，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在平面四边形中， （1）若 与交于点，且，求的长； （2）求四边形 周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可得，即可利用等面积法求解,进而由勾股定理即可求解， （2）由基本不等式即可求解. 小问1详解】 中,由余弦定理得, 所以 因为，，所以 由可知, , 所以 【小问2详解】 因为,所以, ,故， 当且仅当时等号成立，故周长的最大值为 19. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角大小. （3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）H为线段PD的四等分点靠近P点 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得平面PDC，平面PDC，再由面面平行的判定定理可得答案； （2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求出结果； （3）根据异面直线夹角的向量公式可求出结果. 【小问1详解】 四边形ABCD是正方形， ，平面PDC，平面PDC， 平面PDC， 四边形ADPQ是梯形，，平面PDC，平面PDC， 平面PDC， 平面ABQ，平面ABQ，， 平面平面DCP， 平面ABQ，平面PDC； 【小问2详解】 ，即，，又， 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴､y轴､z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面PBC法向量， 则， 取，得，，得， 设平面PBQ的法向量， 则， 取，，，得， 设二面角的大小为，由图形得为钝角， 则， 为钝角，， 二面角平面角的大小为； 【小问3详解】 点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为， 设，，则，， ，， ， 解得，或舍去，线段DH的长为，又， 即， H为线段PD的四等分点靠近P点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄广中学2024-2025学年高二第一学期收心考 数学科 一､单选题 1. 复数，则z的虚部为（ ）． A 3 B. C. i D. 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b是不同的直线，，是不同的平面，下列说法中正确的是（ ） A. 若，平面，则平面 B. 若平面，平面，则 C. 若平面，平面，平面平面，则 D. 若平面，平面，，则平面平面 4. 已知一组数据34，36，39，41，44，45，x，50的第65 百分位数是45，那么实数 x的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. 互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 6. 如图，测量河对岸的可视塔底的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得°，，米，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三棱锥的三条棱两两互相垂直，且，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若 则 （ ） A B. C. D. 二､多选题 9. 已知平面向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在上的投影向量的坐标为 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围为 10. 计算下列几个式子，结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 二面角等于 D. 异面直线与所成的角等于 三､填空题 12. 从某小区抽取100户层民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左用右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为____________． 13. 一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为1m，高为2m的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是______，体积为______． 14. 在中，，若边上的两条中线相交于点，则__________；__________. 四､解答题 15. 在内，角所对的边分别为，且. （1）求角值； （2）若的面积为，求的周长. 16. 某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取n名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将满意度分为四个等级： 调查评分 满意度等级 不满意 一般 良好 满意 并绘制如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的顾客为80人． （1）求n的值及频率分布直方图中t的值； （2）若某段时间有10000名顾客购买该公司的产品，请估计这10000名顾客中对该公司产品满意度达到“满意”的人数； （3）该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不需要调整、根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由．（每组数据以区间的中点值代替） 17. 如图，四棱锥底面，. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在平面四边形中， （1）若 与交于点，且，求的长； （2）求四边形 周长的最大值． 19. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角大小. （3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$