热点专题 4-2 三角恒等变换【16类常考题型汇总】- 2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）

2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破 专题4-2 三角恒等变换16类常考题型汇总 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年I卷第4题，5分 已知二倍角余弦值，求角的正弦值 根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答 由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系 根据的值，对齐次式化简，结合二倍角的平方式 二重根式化简 二倍角公式 和差公式+二倍角公式 有和差化积的背景 和差公式 正余弦齐次式计算 二倍角公式 2024年II卷第13题，5分 2023年新高考二卷，第7题,5分 2023年新高考I卷，第8题,5分 2022年新高考II卷，第6题,5分 2021年新高考I卷，第6题,5分 模块一 总览 热点题型解读（目录） 和差公式 【题型1】和差公式的逆用 【题型2】与坐标系中的象限角结合 【题型3】拆角与凑角 【题型4】切化弦 【题型5】统一角度化简 二倍角公式 【题型6】二倍角与诱导公式的配凑 【题型7】扩角降幂 【题型8】二倍角与平方公式结合 【题型9】化为一元二次方程或二次函数 【题型10】化为半角（缩角升幂） 【题型11】和差公式与二倍角公式结合 综合应用 【题型12】tan与齐次式 【题型13】辅助角公式的综合应用 【题型14】化为同名函数 【题型15】和差化积与积化和差 【题型16】拆角与凑角进阶 模块二 核心题型·举一反三 和差公式 【题型1】和差公式的逆用 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． ①； ②； ③； 1． 的值等于（    ）． A． B． C． D． 2． 若，则（    ） A． B． C． D． 3． （汕头市2023一模）已知，，，则下列判断正确的是（    ） 【巩固练习1】________ 【巩固练习2】江苏省决胜新高考2023-2024学年高三大联考 已知实数，满足，则，可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习3】设均为非零实数，且满足，则 . 【题型2】与坐标系中的象限角结合 两角和与差正切公式变形 ； ． 4． 已知角终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 5． 设均为非零实数，且满足，则 . 【巩固练习1】已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则 . 【巩固练习2】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则= . 【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（    ）    A． B． C． D． 【题型3】拆角与凑角 常用的拆角、配角技巧：；；；；；等． 6． 已知，，则 ． 7． （2023·湖北·二模）已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 8． （长沙一中校月考）已知角，且，则________ 【巩固练习1】2024·浙江省金丽衢十二校第一次联考 9． 已知是第二象限角，，现将角的终边逆时针旋转后得到角，若，则 ． 【巩固练习2】2024·山东潍坊·统考 10． 已知其中则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】2024届·福建省高三下学期数学适应性练习 11． 已知，则（　　） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知，都是锐角，，则= . 【题型4】切化弦 2024·长沙雅礼中学·月考试卷数学（六） 12． 若，，则tanα＝ ． 【巩固练习】若，则 . 【题型5】统一角度化简 通过和差公式利用特殊角进行拆分，达到化简的目的 2024·湖南雅礼中学·月考（七） 13． （    ） A． B． C． D．2 14． 求值：（    ） A． B． C． D． 计算: 【巩固练习1】（2023·河南洛阳·模拟预测）（    ） A．16 B．32 C．48 D．52 【巩固练习2】（2023·江苏·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知，则________ 【巩固练习4】化简求值（1）； （2）. 二倍角公式 【题型6】二倍角与诱导公式的配凑 一般可以通过换元来简化题目结构，关键在于配凑出90° ①； ②； ③； 15． 已知，则= 。 【巩固练习1】已知，则 。 【巩固练习2】若，则 . 【巩固练习3】已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型7】扩角降幂 16． （     ） A．1 B． C． D．-1 【巩固练习1】，则，= 【巩固练习2】已知，，则（    ） A． B． C． D．13 17． 【巩固练习3】（难）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的：在中，内角A，B，C所对的边分别为，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为：，， 现已知在中，内角，，所对的边分别，，，且，则=________ 【题型8】二倍角与平方公式结合 2024·福建龙岩·阶段练习 18． 已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 19． 已知，，则 ． 【巩固练习1】2024·浙江省·Z20名校联盟第一次联考 20． 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】2024·辽宁沈阳·统考 已知，，，则 【巩固练习3】2024·江苏南京市、盐城市·一模 已知，且，，则 ． 【题型9】化为一元二次方程或二次函数 21． （2023·深圳中学校考阶段练习）已知，且，则= ． 【巩固练习1】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________． 【巩固练习3】2024·重庆八中·月考（五） 已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型10】化为半角（缩角升幂） 22． （2023·江门统考练习）已知，则 . 23． 若，是第三象限角，则　　 A． B．2 C． D． 【巩固练习1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知，则的值为(   ) A． B． C． D． 【巩固练习3】2024·辽宁丹东·一模 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【题型11】和差公式与二倍角公式结合 2023·新高考I卷T8 24． 已知，则（    ）． A． B． C． D． 2024·湖北·二模 25． 若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知均为锐角，，且，则 . 【巩固练习2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（重庆巴蜀中学适应性月考）（多选）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 综合应用 【题型12】tan与齐次式 弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： （1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； （2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 常用变式 ． 2024·浙江宁波·联考 26． 已知，则（    ） A． B． C． D． 27． （2021·全国·统考高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 28． 已知角θ的大小如图所示，则＝（　　）    A． B． C． D．4 29． 若，，则 . 【巩固练习1】（2021·全国·统考高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】2024·湖北·统考 若，，则 . 【巩固练习3】已知角α满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】2024届·安徽省示范高中皖北协作区高三下学期数学联考 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【题型13】辅助角公式的综合应用 （1）（其中，）． （2），． 2024届·重庆八中等多校3月适应性月考卷（六） 30． 若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2024·江西省统一调研测试 31． 已知圆上两个不同的点，，若直线的斜率为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【巩固练习】已知的最大值为3，则 . 【题型14】化为同名函数 2024·江西·联考 32． 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2024·江苏扬州·统考 33． 已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（云南师范大学附属中学月考）设，，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2023·广州一模T7）若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2023·重庆市第八中月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】若两个锐角，满足，则 . 【巩固练习6】（广州市天河区综合测试）若，则（    ） A． B． C． D． 【题型15】和差化积与积化和差 和差化积公式：，， ， 积化和差公式：，， ，. 34． 已知，，则________ 35． （2024·湖北·阶段练习）已知函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（全国·高考真题）的值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（    ） A．0 B． C． D． 【巩固练习3】（2023·江苏常州·高一联考）已知则的值为 . 【巩固练习4】知对任意的角α，β，满足，.则当，时， ；若，则 （填“>”“<”或“＝”）. 【题型16】拆角与凑角进阶 换元+齐次化 推论公式： 2024 ·湖北省宜荆荆随恩1月联考第7 题 36． 已知，则的值为 2024·湖南十八校联盟·3月月考 37． 已知，，则 ， . 【巩固练习1】2024·河北石家庄·统考 已知，是方程的两个实数根，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】2019·江苏高考填空倒数第2题 已知，则的值是________ 【巩固练习3】2024·雅礼中学·3月综合测试（一） 已知，，则（    ） A． B． C． D． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破 专题4-2 三角恒等变换16类常考题型汇总 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年I卷第4题，5分 已知二倍角余弦值，求角的正弦值 根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答 由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系 根据的值，对齐次式化简，结合二倍角的平方式 二重根式化简 二倍角公式 和差公式+二倍角公式 有和差化积的背景 和差公式 正余弦齐次式计算 二倍角公式 2024年II卷第13题，5分 2023年新高考二卷，第7题,5分 2023年新高考I卷，第8题,5分 2022年新高考II卷，第6题,5分 2021年新高考I卷，第6题,5分 模块一 总览 热点题型解读（目录） 和差公式 【题型1】和差公式的逆用 【题型2】与坐标系中的象限角结合 【题型3】拆角与凑角 【题型4】切化弦 【题型5】统一角度化简 二倍角公式 【题型6】二倍角与诱导公式的配凑 【题型7】扩角降幂 【题型8】二倍角与平方公式结合 【题型9】化为一元二次方程或二次函数 【题型10】化为半角（缩角升幂） 【题型11】和差公式与二倍角公式结合 综合应用 【题型12】tan与齐次式 【题型13】辅助角公式的综合应用 【题型14】化为同名函数 【题型15】和差化积与积化和差 【题型16】拆角与凑角进阶 模块二 核心题型·举一反三 和差公式 【题型1】和差公式的逆用 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． ①； ②； ③； 1． 的值等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】   2． 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，因为，且， 整理得， 故， 整理得：， 故． 3． （汕头市2023一模）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数同角的三角函数关系以及二倍角公式和两角和的正切公式化简可得，结合正切函数单调性，可推得，即可判断答案. 【详解】由，，， 可得，即， 由于，，则，故， 由于在上单调递增，故，即， 所以，故A正确，B错误， 由于得，则不可能成立，C错误， 由于不能确定是否等于，故也无法确定，D错误 【巩固练习1】________ 【答案】 即 【巩固练习2】江苏省决胜新高考2023-2024学年高三大联考 已知实数，满足，则，可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用正切的两角和差公式求解即可. 【详解】由，得， 类比， . 【巩固练习3】设均为非零实数，且满足，则 . 【答案】1 【分析】先将原式化简得到，再令， 即可得到，从而求得结果. 【详解】由题意可得，， 令，则， 即， 所以，即 故 【题型2】与坐标系中的象限角结合 两角和与差正切公式变形 ； ． 4． 已知角终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意角终边上有一点， 因为，故， 故， 由于，故， 又，故 5． 设均为非零实数，且满足，则 . 【答案】1 【详解】由题意可得，， 令，则， 即， 所以，即 故 【巩固练习1】已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则 . 【答案】 【分析】根据已知得，且，应用差角正弦公式求角的大小. 【详解】由题设，，即， 而，故，则， 所以，则 【巩固练习2】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则= . 【答案】 【详解】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或）， 所以. 【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形中角的关系以及直线斜率与倾斜角关系得，再根据二倍角的正切公式即可求出，最后结合的范围以及同角三角函数的关系即可得到答案. 【详解】由题意得，，， 则直线所对的倾斜角为， ，即，则， 则， ，，， 又因为，， 则，结合， 解得 【题型3】拆角与凑角 常用的拆角、配角技巧：；；；；；等． 6． 已知，，则 ． 【答案】 【分析】由二倍角正切公式可求得，由，利用两角和差正切公式可求得结果. 【详解】，， . 7． （2023·湖北·二模）已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】C 【分析】应用诱导公式、商数关系可得，再由和角正切公式展开求得，最后由求值即可. 【详解】由， 所以，则， 所以，则，故， 由. 8． （长沙一中校月考）已知角，且，则________ 【答案】2 【分析】由两角和与差公式化简后求解． 【详解】由，可得，即， 故.又，故， 即，代入可得. 故 【巩固练习1】2024·浙江省金丽衢十二校第一次联考 9． 已知是第二象限角，，现将角的终边逆时针旋转后得到角，若，则 ． 【答案】 【分析】 由两角和的正切公式先得，进一步由两角差的正切公式即可求解. 【详解】由题意，且，， 解得，所以. 【巩固练习2】2024·山东潍坊·统考 10． 已知其中则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两角和与差得正弦余弦公式构造并计算出，，再根据同角三角函数商数关系计算出，同理计算出，最后代入即可算出. 【详解】因为，，得，所以， 所以，，所以， 因为，，得，所以， ，，所以，所以. 【巩固练习3】2024届·福建省高三下学期数学适应性练习 11． 已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系式、二倍角公式进行化简求值. 【详解】换元+诱导公式：令，则原式= 化简为，解得或（舍去）. 所以. 【巩固练习4】已知，都是锐角，，则= . 【答案】2 【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解. 【详解】法1：. ， . 同除得： 法2：由，令，则， 则 【题型4】切化弦 2024·长沙雅礼中学·月考试卷数学（六） 12． 若，，则tanα＝ ． 【答案】 【分析】由商数关系，二倍角公式变形后求得，再由同角关系式求得，． 【详解】因为， 所以， 因为，所以，所以， 解得， 所以， 所以． 【巩固练习】若，则 . 【答案】 【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可. 【详解】， 则 . 【题型5】统一角度化简 通过和差公式利用特殊角进行拆分，达到化简的目的 2024·湖南雅礼中学·月考（七） 13． （    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用同角的三角函数关系将切化弦，再根据二倍角公式以及两角和差的正余弦公式，化简求值，即得答案. 【详解】 14． 求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知，再利用两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】 . 计算: 【答案】 【分析】应用诱导公式转化为表示，再切化弦，结合二倍角公式和辅助角公式即可. 【详解】原式 【巩固练习1】（2023·河南洛阳·模拟预测）（    ） A．16 B．32 C．48 D．52 【答案】B 【分析】根据辅助角公式，倍角公式化简计算. 【详解】 ， 所以． 【巩固练习2】（2023·江苏·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和差角公式展开，得到，即可得到，再利用两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以 . 【巩固练习3】已知，则________ 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以 【巩固练习4】化简求值（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）32. 【解析】（1） . （2） . 二倍角公式 【题型6】二倍角与诱导公式的配凑 一般可以通过换元来简化题目结构，关键在于配凑出90° ①； ②； ③； 15． 已知，则= 。 【答案】 【解析】由题意，所以， 所以 ． 【巩固练习1】已知，则 。 【答案】 【解析】 【巩固练习2】若，则 . 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系及诱导公式求出，从而利用余弦二倍角公式求出答案. 【详解】由得，， 故，又， 故，化简得， 解得，故 【巩固练习3】已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为 =-. ， ； ，，所以，故． 【题型7】扩角降幂 16． （     ） A．1 B． C． D．-1 【答案】B 【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果. 【详解】 【巩固练习1】，则，= 【答案】 【解析】 【巩固练习2】已知，，则（    ） A． B． C． D．13 【答案】B 【分析】根据题意及二倍角公式、诱导公式、两角差的正切公式、同角三角函数的基本关系即可求解． 【详解】由， 则， 所以， 所以． 又因为， 则，， 所以， 则． 17． 【巩固练习3】（难）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的：在中，内角A，B，C所对的边分别为，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为：，， 现已知在中，内角，，所对的边分别，，，且，则=________ 【答案】 【详解】 ． 【题型8】二倍角与平方公式结合 2024·福建龙岩·阶段练习 18． 已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将条件的两个式子平方相加可得，然后可得，再由，，可得，从而可求出，由商式关系可求得. 【详解】由，得， 由，得， 两式相加得，，所以可得， 因为，，所以， 所以，可得. 19． 已知，，则 ． 【答案】0 【分析】将平方，结合可得， 利用二倍角余弦公式将化简求值，可得答案. 【详解】将平方得， 结合可得，即， 则 【巩固练习1】2024·浙江省·Z20名校联盟第一次联考 20． 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和差公式和同角三角函数关系以及二倍角即可得出结论. 【详解】将平方得， 所以，则． 所以， 从而． 联立，得． 所以，． 故． 【巩固练习2】2024·辽宁沈阳·统考 已知，，，则 【答案】 【分析】由、，借助，可先将消去，再结合辅助角公式，计算出的值，即可得的值. 【详解】由，得， 得①， 由，得， 得②， ①②得：， 即， . 【巩固练习3】2024·江苏南京市、盐城市·一模 已知，且，，则 ． 【答案】 【分析】变形后得到，利用辅助角公式得到，得到，两边平方后得到，利用同角三角函数关系求出. 【详解】由题可知，所以， 所以， 因为，所以， 又，所以，故， 所以， 两边平方后得，故， ． 【题型9】化为一元二次方程或二次函数 21． （2023·深圳中学校考阶段练习）已知，且，则= ． 【答案】 【分析】利用二倍角公式可求得，结合，即可求得，利用 即可求解. 【详解】由， 得， 即， 所以， 因为，解得， 又，所以，所以． 【巩固练习1】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倍角余弦公式并整理得，结合角的范围得，进而求，应用倍角正切公式求值即可. 【详解】由，即， 所以或，又，则， 所以，则， 由. 【巩固练习2】函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________． 【答案】[－4,0] 【详解】，因为－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0， 所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0] 【巩固练习3】2024·重庆八中·月考（五） 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式和同角平方关系求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，，所以. 【题型10】化为半角（缩角升幂） 22． （2023·江门统考练习）已知，则 . 【答案】 【分析】利用正余弦的二倍角公式对条件进行化简，可求得的值，再利用正切的二倍角公式代入求值即可. 【详解】 ， 故又 23． 若，是第三象限角，则　　 A． B．2 C． D． 【解答】A 法一：换元-令，则， 策略一： 策略二：， 因为，故是第二象限角， 则 而，接下来还得判断的正负，比较麻烦 法二：不换元，解：，是第三象限角，， 则 【巩固练习1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：设θ=2α，则有， 法二：解：因为， 所以，即， 所以， 即， 所以， 所以或， 所以或，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，所以. 【巩固练习2】已知，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化 为，然后再由正切的二倍角公式求． 【详解】 ， ∴． 【巩固练习3】2024·辽宁丹东·一模 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为，解得，两边平方即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以 ， 所以， 即， 所以， 即， 所以. 【题型11】和差公式与二倍角公式结合 2023·新高考I卷T8 24． 已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 2024·湖北·二模 25． 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据公式化解条件等式，再结合二倍角和两角差的正弦公式，即可化解求值. 【详解】由条件等式可知，， 整理为，则， 又，， 所以，， 所以 . 【巩固练习1】已知均为锐角，，且，则 . 【答案】 【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得，再利用两角和与差的余弦公式求得，根据二倍角公式即可得结果. 【详解】， 因为，则，因此， 而，从而， 因此， 则. 【巩固练习2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式可求得，利用两角和差余弦公式可依次求得和. 【详解】，， ，，，则， ，， . 【巩固练习3】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，， 可得，即， 由于，，则， 故， 由于在上单调递增，故，即， 所以，故A正确，B错误， 由于得，则不可能成立，C错误， 由于不能确定是否等于，故也无法确定，D错误 【巩固练习4】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，， 可得，即， 由于，，则， 故， 由于在上单调递增，故，即， 所以，故A正确，B错误， 由于得，则不可能成立，C错误， 由于不能确定是否等于，故也无法确定，D错误 【巩固练习5】（重庆巴蜀中学适应性月考）（多选）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据，判断的范围，再根据，求出，再由，求出，，，从而得出答案. 【详解】因为，所以， 又，所以，，由，得. 对于A选项，若，则，又，所以， 而矛盾，所以.故A错误； 对于B选项，根据A选项知， ，则，又， 所以，而，所以， 这样，故B正确； 对于C选项，根据A选项知，， 再根据B选项中，， 知，从而， 则， 又，，， 所以，故C正确； 对于D选项，根据C选项知， 所以， 又， 解得，故D错误 综合应用 【题型12】tan与齐次式 弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： （1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； （2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 常用变式 ． 2024·浙江宁波·联考 26． 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，弦化切，即可求解． 【详解】， 则． 27． （2021·全国·统考高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 28． 已知角θ的大小如图所示，则＝（　　）    A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义可得进而又和差角公式得，又二倍角和齐次式即可求解. 【详解】由图可知 所以， 则 29． 若，，则 . 【答案】 【详解】由，得， 所以，即，解得：或， 因为，所以，则 【巩固练习1】（2021·全国·统考高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 【巩固练习2】2024·湖北·统考 若，，则 . 【答案】 【分析】对原式进行化简得，两边同时除以，得，结合即可求得答案. 【详解】由，得， 所以， 即，解得：或， 因为，所以，则. 【巩固练习3】已知角α满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换可得，然后利用二倍角公式结合齐次式即得. 【详解】因为， 所以， 所以，即， 所以. 【巩固练习4】2024届·安徽省示范高中皖北协作区高三下学期数学联考 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和与差的正弦，余弦，正切公式求解即可. 【详解】由于，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，由题设显然， 所以， 所以， 所以. 【题型13】辅助角公式的综合应用 （1）（其中，）． （2），． 2024届·重庆八中等多校3月适应性月考卷（六） 30． 若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式、同角三角函数的平方关系、二倍角公式、正弦的差角公式计算即可. 【详解】由题意可知， 因为，所以， 所以， 所以， 而， 所以， 而. 2024·江西省统一调研测试 31． 已知圆上两个不同的点，，若直线的斜率为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据斜率公式可得，即可根据辅助角公式得，由三角函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得， 故，故 故或， 由于为不同的两个点，所以， 故，则 【巩固练习】已知的最大值为3，则 . 【答案】 【解析】， 由辅助角公式可得的最大值， 化简得，即，解得， 所以，. 【题型14】化为同名函数 2024·江西·联考 32． 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，所以，即 接下来通过诱导公式变形为同名函数 从而， 注意到，而在上单调递减， 从而，即， 所以. 2024·江苏扬州·统考 33． 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将已知等式化简得到，再利用角的关系求解即可. 【详解】，因为所以，所以 【巩固练习1】（云南师范大学附属中学月考）设，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到，进一步即可判断正确答案. 【详解】 即 即 又，， 则 所以，故正确. 【巩固练习2】（2023·广州一模T7）若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角和的余弦公式可得，由诱导公式及的范围即可求解. 【详解】，. 由，可得， 即. ， ，，，且， 根据函数易知：，即得：. 【巩固练习3】（2023·重庆市第八中月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简得到，得到，再由，结合正弦函数的性质，即可求解 【详解】由 ， 所以，可得，即，即， 因为，可得，所以，所以 【巩固练习4】若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，. 由，可得， 即. ， ， ，，且， 根据函数易知：，即得： 【巩固练习5】若两个锐角，满足，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以 所以， 因为，为锐角，所以有， 所以，即， 所以，即， 因为，为锐角，所以有，即， 所以 【巩固练习6】（广州市天河区综合测试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由商数关系及两角差的正切公式将已知化为，得出，再根据二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】由， 所以，即， ， 【题型15】和差化积与积化和差 和差化积公式：，， ， 积化和差公式：，， ，. 34． 已知，，则________ 【答案】 【详解】， 法一：余弦平方差： （和差化积） 【补充】正弦平方差公式： 法二：换元法 令，，则， 即，， 故 35． （2024·湖北·阶段练习）已知函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB选项，根据题目条件得到，或，，结合得到答案；C选项，，利用和差化积公式得到答案；D选项，根据得到D错误. 【详解】AB选项，令得， 故或， 所以，或，， 解得，或，， 由，故当时，解得，，A、B错误； C选项， ，C正确， D选项，因为，所以，D错误. 故选：C． 【点睛】和差化积公式：， ， ， . 【巩固练习1】（全国·高考真题）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积化和差及诱导公式即得. 【详解】 . 【巩固练习2】（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和差的余弦公式和诱导公式化简即可. 【详解】 【巩固练习3】（2023·江苏常州·高一联考）已知则的值为 . 【答案】 【分析】应用三角函数的恒等变换公式对变形求得，再由求得，可得结论． 【详解】， 所以， ， 所以． 【巩固练习4】知对任意的角α，β，满足，.则当，时， ；若，则 （填“>”“<”或“＝”）. 【答案】 【分析】利用和差化积化简，再两式相除得到答案；利用积化和差及同角三角函数关系求出答案. 【详解】由题意知 ①， ②， ①式除以②式，得； 若，则， 故，即． 【题型16】拆角与凑角进阶 换元+齐次化 推论公式： 2024 ·湖北省宜荆荆随恩1月联考第7 题 36． 已知，则的值为 【答案】D 【详解】可换元为，求，且 2024·湖南十八校联盟·3月月考 37． 已知，，则 ， . 【答案】 【详解】 令， 则可以写成， 可以写成， （1）故，故 （2） 可以对分类讨论，求出分别对应的的值 那有没有什么办法可以不用讨论的正负呢？ 【巩固练习1】2024·河北石家庄·统考 已知，是方程的两个实数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，是方程的两个实数根， 所以，， 设，，则， 因为 . 【巩固练习2】2019·江苏高考填空倒数第2题 已知，则的值是________ 【答案】 【解答】 换元法 可换元为，求，且 常规法 由， 得， 解得，或. ， 当时，上式 当时，上式= 综上， 【巩固练习3】2024·雅礼中学·3月综合测试（一） 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得. 【详解】，. ， ，， ，， 又因为，所以， 则，所以 . . 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$