精品解析：广东省汕头市潮南区陈店宏福外语学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

2024~2025学年度第一学期 九年级数学科练习题（一） （内容：21.1~21.3） 一、选择题 1. 关于的方程是是一元二次方程，则（ ） A B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 4 3. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 把方程化成的形式，则（　　） A. 17 B. 14 C. 11 D. 7 6. 若实数x、y满足，则的值是（ ） A. 或1 B. 2 C. 2或 D. 1 7. 若a是关于x的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2022 C. 2020 D. 2019 8. 受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（ ） A. B. C D. 9. 四边形中，，且，长是关于x的方程的两个实数根，则四边形是（　　） A. 矩形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 平行四边形或梯形 10. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 24或 D. 二、填空题 11. 方程根为__________； 12. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____． 13. 若m是方程根，则______． 14. 对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________． 15. 如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球． 三、解答题（一） 16. 解方程： 17. 用公式法解方程： 18. 关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值． 四、解答题（二） 19. 已知，求代数式的值． 20. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，用配方法解方程． 21. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 五、解答题（三） 22. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 23. 【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为、，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）【材料理解】 一元二次方程的两根为为、，则______，______； （2）【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为、，满足，求的值． （3）【思维拓展】已知实数，，满足，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期 九年级数学科练习题（一） （内容：21.1~21.3） 一、选择题 1. 关于的方程是是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据二次项系数不为0列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵关于的方程是是一元二次方程， ∴， 解得：， 故选：A． 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项.其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出一次项系数即可． 【详解】解：方程整理为， 所以，一次项系数为， 故选：B 3. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α， ∴﹣1+α＝﹣1， ∴α＝0， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型． 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有实数根求参数以及解一元一次不等式，根据即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选∶B． 5. 把方程化成的形式，则（　　） A. 17 B. 14 C. 11 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的两边，两边都加上一次项系数的一半的平方配成完全平方公式后即可得出答案． 【详解】 ， 故选A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 6. 若实数x、y满足，则的值是（ ） A. 或1 B. 2 C. 2或 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】设，则方程为，解方程求出或，由此得到答案． 【详解】解：设，则方程为 ∴或， ∵， ∴，即， 故选：D． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握方程的特点选择简单的解法是解题的关键． 7. 若a是关于x的方程的一个根，则的值是（ ） A 2023 B. 2022 C. 2020 D. 2019 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根的定义，将a代入一元二次方程得到，整体代入求代数式值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故选：B． 8. 受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据该企业某月份的生产总值以及经过两个月连续降低的生产总值，即可得到关于的一元二次方程，进而得到本题的正确选项． 【详解】解：依题意可得：， 故选． 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题的相关知识点，找出等量关系正确列出方程是解题的关键． 9. 四边形中，，且，长是关于x的方程的两个实数根，则四边形是（　　） A. 矩形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 平行四边形或梯形 【答案】C 【解析】 【分析】、长是关于x的方程的两个实数根，即判别式，可得到与的关系，再判定四边形的形状． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． ∴， ∵， ∴四边形梯形． 故选：C． 【点睛】本题利用了一元二次方程的根的判别式与根的关系，根据方程根的情况判断和的长度关系是解题的关键． 10. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A 24 B. 48 C. 24或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高=，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：， ， 或， 所以，， 当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积， 当第三边长为10时，∵, ∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积． 故选C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直角三角形的判定和勾股定理的应用． 二、填空题 11. 方程的根为__________； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可． 详解】解：， ， ∴． 故答案为：． 12. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____． 【答案】﹣3 【解析】 【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可． 【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0， 整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3， 因为k≠0， 所以k的值为﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13. 若m是方程的根，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴ ； 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键． 14. 对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________． 【答案】或2 【解析】 【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可． 【详解】解：根据新定义内容可得：， 整理可得， 解得，， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键． 15. 如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球． 【答案】20 【解析】 【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得． 【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1， 第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2， 第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3， 第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4， …… ∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n=， 当共有210个小球时， ， 解得：或(不合题意，舍去)， ∴第个图形共有210个小球． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n． 三、解答题（一） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 17. 用公式法解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据公式法解题即可． 【详解】解：∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根 ， ，. 18. 关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值． 【答案】另一个根是﹣4，m的值为10． 【解析】 【详解】试题分析：已知x=是方程的一个根，把它代入方程即可求出m的值，再由根与系数的关系来求方程的另一根即可． 试题解析：设方程的另一根为t． 依题意得：3×（）2+m﹣8=0， 解得m=10． 又t=﹣， 所以t=﹣4． 综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10． 考点：根与系数的关系． 四、解答题（二） 19. 已知，求代数式的值． 【答案】５ 【解析】 【分析】先根据，得出，将变形为，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将变形为，是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，用配方法解方程． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得且； 【小问2详解】 解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 21. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】（1）这两个月中该景区游客人数月平均增长率为 （2）5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 【解析】 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 五、解答题（三） 22. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1． 【解析】 【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状； （2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状； （3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 【详解】（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 23. 【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为、，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）【材料理解】 一元二次方程的两根为为、，则______，______； （2）【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为、，满足，求的值． （3）【思维拓展】已知实数，，满足，，且，求的值． 【答案】（1）， （2）①见解析；②或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，完全平方公式的变形计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据韦达定理公式进行计算即可； （2）①证明即可；②通过韦达定理表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可； （3）由题意可知m，n是的两个不相等的实数根，，然后利用韦达定理，表示出以及，从而求得答案． 【小问1详解】 解： ，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①∵ ， ∵无论k为何实数，， ， 无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②由根与系数的关系得出，， ， 化简得 解得或． 【小问3详解】 解：时，则m，n是的两个不相等的实数根， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$