精品解析：河南省郑州陈中实验学校 2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年秋期第一次阶段性诊断 八年级（数学） 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. 3.1415 B. C. D. 2. 要使代数式有意义，x取值范围满足（ ） A. B. x≠2 C. x＞2 D. x＜2 3. 如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（ ） A. 3cm B. 6cm C. 4cm D. 5cm 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（    ） A. B. C. D. 6. 如果，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各组数中，不是“勾股数”是 ( ) A. 7，24，25 B. 1，， C. 6，8，10 D. 9，12，15 8. 如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 2或 9. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____________． 12. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____． 13. 将实数，π，0，﹣6由小到大用“＜”号连起来，可表示为_____． 14. 如图，四边形是正方形，以点O为圆心，的长为半径画弧交数轴的负半轴于点A，则点A表示的数是______． 15. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数． 我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式： ①32＋42＝52， ②52＋122＝132， ③72＋242＝252， ④92＋402＝412， … 根据规律写出第⑥个等式为 ______________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算下列各题： （1）； （2）. 17. 在Rt△ABC中，两条直角边AB，BC的长c，a满足|4﹣c|+a2﹣10a+25＝0． （1）求AC的长． （2）求Rt△ABC的面积． 18. 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值. 19. 如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． （1）求出的长度； （2）若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 20. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响） （1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s； （2）t2 是 t1 的多少倍？ （3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？ 21. 为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向，，三地修了三条笔直的公路，和，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． （1）求公路，的长度； （2）若修公路每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 22. 细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ； ； ； … （1）推算出的长是________； （2）用含（是正整数）代数式表示________； （3）若在这组三角形中有一个三角形的面积是，通过计算说明它是第几个三角形； （4）求出的值． 23. 问题情境： 勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理． 定理表述： （1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）； 尝试证明： （2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理． 定理应用： （3）某工程队要从点A向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段铺设，需要绕道沿着矩形的边和铺设管道，经过测量米，米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年秋期第一次阶段性诊断 八年级（数学） 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. 3.1415 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数进行判断，是有理数 【详解】解：是有理数，是无理数，是分数是有理数，3.1415是小数是有理数， 故选：． 【点睛】本题考查无理数的定义；能够准确辨识无理数是解题的关键． 2. 要使代数式有意义，x的取值范围满足（ ） A. B. x≠2 C. x＞2 D. x＜2 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件：二次根号下的数为非负数，二次根式才有意义. 【详解】由题意得，，故选A. 考点：二次根式有意义的条件 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次根式有意义的条件，即可完成. 3. 如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（ ） A. 3cm B. 6cm C. 4cm D. 5cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积可以得到BC2＝8，AC2＝17，然后根据勾股定理即可得到AB2，从而可以求得AB的值． 【详解】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2， ∴BC2＝8，AC2＝17， ∵∠ACB＝90°， ∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝8＋17＝25， ∴AB＝5cm， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的面积、勾股定理，解答本题的关键是明确正方形的面积是边长的平方． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求解． 【详解】解：是最简二次根式，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：A 5. 下列各式计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 根据二次根式的加减运算法则以及二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. 与不是同类二次根式，不能加减，不符合题意； D. ，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 6. 如果，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，进而估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出的取值范围是解题的关键． 7. 下列各组数中，不是“勾股数”的是 ( ) A. 7，24，25 B. 1，， C. 6，8，10 D. 9，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数进行判断即可． 【详解】∵,不是正整数， ∴不是“勾股数”的是1,,. 故选B. 【点睛】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的概念. 8. 如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，过点作，利用勾股定理先求出，再分当时，当时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：过点作， 点到的距离为， ， ， 根据勾股定理，得， 当时，如图所示： 此时点与点重合，则 根据题意，得， 解得； 当时，如图所示： ，，，， ， 根据勾股定理，得，， ， 解得； 综上所述，当为直角三角形时，t的值为或， 故选：D． 9. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 10. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点K作，与的延长线交于点M，由图形关系求得，再求得，，求得与，进而由勾股定理求得结果． 【详解】解：过点K作，与的延长线交于点M， ∵，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴中，． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，关键是构造直角三角形． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】， 故答案为：． 12. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____． 【答案】50 【解析】 【分析】根据∠C的度数确定△ABC为直角三角形，且AB为斜边，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°， ∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边． ∵AB=5， ∴． 故答案为：50． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握该知识点是解题关键． 13. 将实数，π，0，﹣6由小到大用“＜”号连起来，可表示为_____． 【答案】﹣6<0<<π 【解析】 【详解】正数大于0和负数，0大于负数，所以-6＜0＜＜π，故答案为-6＜0＜＜π. 14. 如图，四边形是正方形，以点O为圆心，的长为半径画弧交数轴的负半轴于点A，则点A表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据点的位置写出数值即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点A在原点左侧， ∴点A表示的数是． 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理，数轴上的点，运用勾股定理计算是解题的关键． 15. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数． 我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式： ①32＋42＝52， ②52＋122＝132， ③72＋242＝252， ④92＋402＝412， … 根据规律写出第⑥个等式为 ______________． 【答案】132＋842＝852 【解析】 【分析】通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑥个等式． 【详解】解：∵3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1， ∴第一个数的底数是2n＋1，指数是2， ∵4＝2×12＋2×1，12＝2×22＋2×2，24＝2×32＋2×3，40＝2×42＋2×4， ∴第二个数的底数是2n2＋2n，指数是2， ∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， ∴第n个等式为（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2， ∴第⑥个等式为132＋842＝852， 故答案为：132＋842＝852. 【点睛】本题主要考查了整式的数字规律，解题的关键在于能够根据题意得到每一组数据的规律. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算下列各题： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的性质、零次幂、立方根等知识点，灵活运用相关运算法则成解题的关键． （1）先运用二次根式的性质、零次幂、绝对值化简，然后再计算即可； （2）先运用立方根、二次根式的性质化简，然后再计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 17. 在Rt△ABC中，两条直角边AB，BC的长c，a满足|4﹣c|+a2﹣10a+25＝0． （1）求AC的长． （2）求Rt△ABC的面积． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值和平方的非负性求出c和a，再根据勾股定理即可求出答案； （2）直接利用三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：∵|4﹣c|+a2﹣10a+25＝0， ∴|4﹣c|+（a﹣5）2＝0， ∴|4﹣c|＝0，（a﹣5）2＝0 ∴a＝5，c＝4， ∴AC＝； 小问2详解】 解：△ABC的面积＝×4×5＝10． 【点睛】本题考查了完全平方式、非负数的性质和勾股定理，属于基础题，解题的关键是求出a和c的值． 18. 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值. 【答案】9 【解析】 【分析】根据平方根的概念及算术平方根的概念求出a和b的值，然后再代入a+2b中求解即可． 【详解】解：∵2a－1的平方根是±3， ∴2a-1=9， ∴a=5， ∵3a＋b－1的算术平方根是4， ∴3a＋b－1=16，将a=5代入， ∴3×5+b-1=16， ∴b=2， ∴a+2b=5+2×2=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义，熟练掌握平方根及算术平方根的性质和定义是解决本题的关键． 19. 如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． （1）求出的长度； （2）若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】（1）米 （2）小鸟下降的距离为米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 由题意知， ∵米，米． 在中 米， 【小问2详解】 设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降距离为米． 20. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响） （1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s； （2）t2 是 t1 的多少倍？ （3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？ 【答案】（1）t1=（秒）；t2=2（秒）；（2）t2 是 t1 的倍；（3）下落的高度是 11.25 米． 【解析】 【分析】（1）将h=50代入t1=进行计算即可；将h=100代入t2=进行计算即可； （2）计算t2与t1比值即可得出结论； （3）将t=1.5代入公式t=进行计算即可． 【详解】（1）当 h=50 时，t1= =（秒）； 当 h=100 时，t2===2（秒）； （2）∵=， ∴t2 是 t1 倍． （3）当 t=1.5 时，1.5=， 解得 h=11.25， ∴下落的高度是 11.25 米． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 21. 为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向，，三地修了三条笔直的公路，和，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． （1）求公路，的长度； （2）若修公路每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 【答案】（1）千米，千米 （2）修建公路的费用为万元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）利用三角形的等面积方法即可求解． 【小问1详解】 解：∵，千米，千米， ∴（千米）． ∵千米， ∴千米， ∴（千米）； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得千米， ∴修建公路的费用为（万元） 22. 细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ； ； ； … （1）推算出的长是________； （2）用含（是正整数）的代数式表示________； （3）若在这组三角形中有一个三角形的面积是，通过计算说明它是第几个三角形； （4）求出的值． 【答案】（1） （2） （3）第20个三角形 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、二次根式的性质、勾股定理、一元一次方程的应用等知识点，解题关键是根据题意找出规律． （1）根据题意勾股定理找出规律，然后根据规律进行解答即可； （2）根据题意找出规律，然后根据规律进行解答即可； （3）根据（1）的结论列出方程，解方程求解即可； （4）由（1）可得，再此规律列出算式，最后根据有理数的加法法则进行简便计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， …… ， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）可得． 故答案为：． 【小问3详解】 解：设它是第m个三角形， 由题意得，，解得：． 答：它是第20个三角形． 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 23. 问题情境： 勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理． 定理表述： （1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）； 尝试证明： （2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理． 定理应用： （3）某工程队要从点A向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段铺设，需要绕道沿着矩形的边和铺设管道，经过测量米，米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8000元 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据等积法可进行求解； （3）利用勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么 （2）， ， ∴， ∴； （3）在中，， ∴（元）； 答：增加了8000元． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$