专题 04 有理数的乘方核心考点强化练（九大类）-2024-2025学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（苏科新版）

04有理数的乘方核心考点强化练（九大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、有理数幂的概念理解：底数、指数、幂 1 二、有理数乘方的基础运算：特别注意括号的范围。 1 三、有理数乘方运算的逆运算。 1 四、偶次方非负性的灵活运用 2 五、有理数乘方的应用 2 六、科学计数法表示较大的数 3 七、科学计数法的还原 3 八、有理数乘方的定义新运算：紧扣定义，活用化归思想 3 九、有理数乘方运算的提升：阅读与新定义 5 一、有理数幂的概念理解：底数、指数、幂 1．对于式子，下列说法错误的是（      ） A．表示3个2相乘 B．指数是3 C．底数是 D．幂为 2．的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 3．代数式的意义可以是（    ） A．6个n相加 B．6个n相乘 C．n个6相加 D．n个6相乘 二、有理数乘方的基础运算：特别注意括号的范围。 4．计算： ， ， ． 5．若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“”连接）． 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、有理数乘方运算的逆运算。 7．如果，那么 ． 8．的次幂是 ，是 的平方数． 9．的立方等于 ，平方等于的数是 ． 10．阅读材料： 若，则，称b为以a为底N的对数． 例如，则． 根据材料填空： ． 四、偶次方非负性的灵活运用 11．若，则 ． 12．若，则的值为 ． 13．已知有理数n、m满足，则 ． 五、有理数乘方的应用 14．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 15．在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天 16．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是 ． 17．拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 六、科学计数法表示较大的数 18．“神威·太湖之光”超级计算机运算速度达每秒次，它工作可进行 次运算．（结果用科学记数法表示） 19．到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米．如果增加60亿立方米用亿立方米来表示，那么减少40亿立方米表示为 ． 20．北京时间年月日时分，中国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座16星发射升空，其中执行此次发射任务的快舟一号甲火箭，是由航天科工火箭技术有限公司推出的一款小型固体运载火箭，主要为千克（克）级低轨小卫星提供发射服务，这个数据用科学记数法表示为 ． 七、科学计数法的还原 21．已知是一个7位数，则 ，原数为 ． 22．一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 23．用科学记数法表示一个数为，则这个数原来是 ． 八、有理数乘方的定义新运算：紧扣定义，活用化归思想 24．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数） (3)若 ，分别计算；． 25．我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果 )，则b叫做以a为底N的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以. (1)填空：_______，______； (2)如果，求m的值． 26．任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例：，则． (1)填空： ， ． (2)若，求n的值． 27．在上个月，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作． 运算法则如下： 当时， 当时， 当时， 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：______，______； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 九、有理数乘方运算的提升：阅读与新定义 28．记，……，（n个相乘，其中n为正整数）． (1)计算； (2)求的值； (3)证明：． 29．记，，，，． (1)填空：__________（算出结果），是一个__________（填“正数”或“负数”）； (2)计算的值； (3)当时，求的值． 30．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 31．概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（）写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果： ； ； （2）下列关于除方说法中，错误的有 ；（在横线上填写序号即可） A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； D．圈n次方等于它本身的数是1或． 深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）归纳：请把有理数（）的圈（）次方写成幂的形式为： ； （4）比较： ．（填“”“”或“”） 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04有理数的乘方核心考点强化练（九大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、有理数幂的概念理解：底数、指数、幂 1 二、有理数乘方的基础运算：特别注意括号的范围。 1 三、有理数乘方运算的逆运算。 2 四、偶次方非负性的灵活运用 3 五、有理数乘方的应用 4 六、科学计数法表示较大的数 6 七、科学计数法的还原 6 八、有理数乘方的定义新运算：紧扣定义，活用化归思想 7 九、有理数乘方运算的提升：阅读与新定义 10 一、有理数幂的概念理解：底数、指数、幂 1．对于式子，下列说法错误的是（      ） A．表示3个2相乘 B．指数是3 C．底数是 D．幂为 【答案】A 【详解】解：A、表示3个相乘，原说法错误，符合题意； B、指数是3，原说法正确，不符合题意； C、底数是，原说法正确，不符合题意； D、幂为，原说法正确，不符合题意； 故选A． 2．的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 【答案】D 【详解】解：的底数是2，指数是4，其结果为， 故选：D． 3．代数式的意义可以是（    ） A．6个n相加 B．6个n相乘 C．n个6相加 D．n个6相乘 【答案】D 【详解】解： A、6个n相加，表示为：，不符合题意， B、6个n相乘，表示为：，不符合题意， C、n个6相加，表示为：，不符合题意， D、n个6相乘，表示为：，符合题意， 故选：D． 二、有理数乘方的基础运算：特别注意括号的范围。 4．计算： ， ， ． 【答案】 4 / 【详解】解：； ； ． 故答案为：，4，． 5．若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【详解】解：，，， ，，， ， ． 故答案为：． 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 三、有理数乘方运算的逆运算。 7．如果，那么 ． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 8．的次幂是 ，是 的平方数． 【答案】 16 【详解】解：， 是的平方数， 故答案为：， 9．的立方等于 ，平方等于的数是 ． 【答案】 8 【详解】解：的立方等于，平方等于的数是， 故答案为：，． 10．阅读材料： 若，则，称b为以a为底N的对数． 例如，则． 根据材料填空： ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：． 四、偶次方非负性的灵活运用 11．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 12．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】且 解得： 故答案为：． 13．已知有理数n、m满足，则 ． 【答案】 【详解】解：依题意得： ，即：， ，即：， ， 故答案为：． 五、有理数乘方的应用 14．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 【答案】256 【详解】解：∵第1次后可拉出2根， 第2次后可拉出根， 第3次后可拉出根， … ∴第8次后可拉出根，， 故答案为：256． 15．在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天 【答案】516 【详解】解：绳结表示的数为， 故答案为：516； 16．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得： 第一天截取后木棍剩余长度为：， 第二天截取后木棍剩余长度为：， 第三天截取后木棍剩余长度为：， 第天截取后木棍剩余长度为：， 第6天截取后木棍剩余长度为：． 故答案为：． 17．拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【答案】(1)128 (2) 【详解】（1）解：由题意得：（根） ∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根． （2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是． ∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀， ∴8次后，平均每一根面条横截面积． 六、科学计数法表示较大的数 18．“神威·太湖之光”超级计算机运算速度达每秒次，它工作可进行 次运算．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【详解】解：， （次）， 答：它工作可进行次运算． 故答案为： 19．到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米．如果增加60亿立方米用亿立方米来表示，那么减少40亿立方米表示为 ． 【答案】亿立方米 【详解】解：∵增加60亿立方米用亿立方米来表示， ∴减少40亿立方米表示为亿立方米， 故答案为：亿立方米． 20．北京时间年月日时分，中国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座16星发射升空，其中执行此次发射任务的快舟一号甲火箭，是由航天科工火箭技术有限公司推出的一款小型固体运载火箭，主要为千克（克）级低轨小卫星提供发射服务，这个数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：∵， 故答案为：． 七、科学计数法的还原 21．已知是一个7位数，则 ，原数为 ． 【答案】 6 2730000 【详解】∵是一个7位数， ∴，原数为 2730000． 故答案为：6，2730000． 22．一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【答案】8/八 【详解】解：， 原数中有8个0， 故答案为：8． 23．用科学记数法表示一个数为，则这个数原来是 ． 【答案】1500 【详解】解：． 故答案为：1500． 八、有理数乘方的定义新运算：紧扣定义，活用化归思想 24．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数） (3)若 ，分别计算；． 【答案】(1)1， (2)3 (3)0.6020，0.699． 【详解】（1）由题意得：， ， ； 由题意得：， ， ； 故答案为：1，； （2）∵，， ∴ 故答案为3； （3） ， ， ． 25．我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果 )，则b叫做以a为底N的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以. (1)填空：_______，______； (2)如果，求m的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵，而， ∴， ∴． 26．任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例：，则． (1)填空： ， ． (2)若，求n的值． 【答案】(1)1，3 (2)16或25或36或49 【详解】（1）解：，， 故答案为：1，3； （2）解： ， 为10到50之间的平方数， n的值为16或25或36或49． 27．在上个月，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作． 运算法则如下： 当时， 当时， 当时， 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：______，______； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【答案】(1)， (2) (3)或2或3 【详解】（1）解：； ； （2）∵ ∴ ∴； （3）∵， ∴， ∴， 或或、 ∴或2或3，经检验符合题意； 九、有理数乘方运算的提升：阅读与新定义 28．记，……，（n个相乘，其中n为正整数）． (1)计算； (2)求的值； (3)证明：． 【答案】(1)32 (2)0 (3)见解析 【详解】（1）解：； （2）解： （3）证明： 29．记，，，，． (1)填空：__________（算出结果），是一个__________（填“正数”或“负数”）； (2)计算的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)，负数； (2) (3)0 【详解】（1）解：； ∵表示2025个的积，负因数为奇数个， ∴是一个负数． 故答案为：，负数； （2）解： ； （3）解： 30．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【详解】解：设 则 所以， 即． 31．概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（）写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果： ； ； （2）下列关于除方说法中，错误的有 ；（在横线上填写序号即可） A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； D．圈n次方等于它本身的数是1或． 深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）归纳：请把有理数（）的圈（）次方写成幂的形式为： ； （4）比较： ．（填“”“”或“”） 【答案】（1） ，；（2）D；（3）（4） 【详解】（1）； ； 故答案为：1；； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，故A不符合题意； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故B不符合题意； C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故C不符合题意； D．圈n次方等于它本身的数是1，的圈偶数次方等于1，的圈奇数次等于，故D符合题意； 故选：D； （3） ， 故答案为：； （4）∵， ， ∴， 故答案为：； 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$