专题 03 有理数乘除法核心考点强化练（十大类）-2024-2025学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（苏科新版）

专题03有理数乘除法核心考点强化练（十大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、两个有理数相乘：乘法法则的理解 1 二、有理数乘法的基础运算。 1 三、多个有理数相乘法则的灵活运用：负因数的个数决定了积的符号。 1 四、自定义运算：有理数的乘法 2 五、有理数乘法的简便运算：核心——凑整 2 六、有理数乘法法则的灵活运用。 3 七、定义新运算：有理数的乘除法综合 3 八、有理数乘除法的应用。 5 九、有理数乘除法的混合运算：严格遵守法则，适当放慢，对为核心 5 十、有理数乘除法综合提升——分类讨论思想 6 一、两个有理数相乘：乘法法则的理解 1．已知，，且，则的值是 ． 2．若，，且，则 ． 3．如果，，，那么 ． 二、有理数乘法的基础运算。 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 三、多个有理数相乘法则的灵活运用：负因数的个数决定了积的符号。 6．四个各不相等的整数，，，，它们的积，那么的值是 ． 7．已知整数a、b、c、d满足，且，则 ． 8．若，，为有理数，且，则 ． 9．设有理数a，b，c满足，，则a，b，c中正数的个数为 ． 10．四个互不相等的整数和为零，积为9，求这四个数中最大的整数值为 ． 四、自定义运算：有理数的乘法 11．小明与小刚规定了一种新运算△：．小明计算出，请你帮小刚计算 ． 12．在数轴上表示a，b两数的点如图所示，则下列判断正确的是 ．（填序号） ①， ②，③，④ 13．定义一种新运算“☆”，规定：，则 ． 14．对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 五、有理数乘法的简便运算：核心——凑整 15．用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 16．用简便方法计算下列各题： (1)（﹣）×1.25×（﹣8）； (2)（）×36； (3)（﹣10）×（﹣8.24）×（﹣0.1）； (4)； (5)． 17．计算： 六、有理数乘法法则的灵活运用。 18．三个互不相等的有理数，既可以表示为的形式，也可以表示为的形式，则 19．对于有理数x，y，若，则的值是 . ． 故答案为：． 20．下列说法中，正确的说法有 （填序号）： ①若，则；②若，则；③若，则； ④若，则；⑤若，则；⑥若，则. 七、定义新运算：有理数的乘除法综合 21．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 22．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 23．定义新运算：运算的运算法则为：两数进行“”运算时，同号得正，并把绝对值相乘；异号得负，并把绝对值相除；与任何数进行“”运算，或任何数与进行“”运算时，都得；． 比如：①；②；③．求： (1)的值； (2)的值． 八、有理数乘除法的应用。 24．我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20平方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 4 16 33.60 5 28 70.80 (1)请你算一算该市水费的“调节价”每立方米多少钱？ (2)若该户居民6月份用水量为32立方米，请你第一算，6月份的水费是多少元？ 25．一辆国产新能源汽车的标价是22万元．今年“618”商家搞促销活动：购车立减2万元，在此基础上一次性付款再打九八折． (1)湛湛家一次性付款购得这辆汽车，实际支付购车款多少万元？ (2)《中华人民共和国车辆购置税法》规定：在中华人民共和国境内购置汽车应当缴纳车辆购置税（购置税购车款）．为支持新能源车的发展，国家对购置日期在2024年1月1日至2025年12月31日期间的新能源汽车免征车辆购置税．请你算一算，湛湛家又可以节省多少万元？（得数保留两位小数） 26．2018年至2022年底，中国高铁运营里程超过4.2万公里，位居世界第一位．高铁的票价是按“票价=全程票价×”的方法计算，已知A站至G站全程票价为800元，沿途各站的里程数如图． 根据这些信息，请你解决以下问题． (1)A站至F站的票价是多少元？ (2)王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票，他在哪一站下车？请说明理由． 九、有理数乘除法的混合运算：严格遵守法则，适当放慢，对为核心 27．计算： (1)； (2)； (3)． 28．计算： (1)； (2)； (3)． 十、有理数乘除法综合提升——分类讨论思想 29．阅读下列材料： ，即当时，．用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，，求的值． 30．已知x、y、z都是不为0的有理数，且满足 (1)判断：x、y、z中有___________个正数； (2)的值． 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03有理数乘除法核心考点强化练（十大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、两个有理数相乘：乘法法则的理解 1 二、有理数乘法的基础运算。 2 三、多个有理数相乘法则的灵活运用：负因数的个数决定了积的符号。 3 四、自定义运算：有理数的乘法 5 五、有理数乘法的简便运算：核心——凑整 6 六、有理数乘法法则的灵活运用。 9 七、定义新运算：有理数的乘除法综合 10 八、有理数乘除法的应用。 12 九、有理数乘除法的混合运算：严格遵守法则，适当放慢，对为核心 14 十、有理数乘除法综合提升——分类讨论思想 16 一、两个有理数相乘：乘法法则的理解 1．已知，，且，则的值是 ． 【答案】3或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴a和b异号， 当，时，， 当，时，， 故答案为：3或． 2．若，，且，则 ． 【答案】或1/1或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，；，， ∴或， 故答案为：或1． 3．如果，，，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：． 二、有理数乘法的基础运算。 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)60 (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 三、多个有理数相乘法则的灵活运用：负因数的个数决定了积的符号。 6．四个各不相等的整数，，，，它们的积，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．已知整数a、b、c、d满足，且，则 ． 【答案】7 【详解】解：∵整数a、b、c、d满足，且， ∴有两种情况： ①， 此时； ②， 此时； 故答案为：7． 8．若，，为有理数，且，则 ． 【答案】5或1或 【详解】解： ， a、b、c、d四个数中有2个负数或4个负数或没有负数， 当b、c、d四个数中有2个负数时：在中，有任意两个的值为，， ， 当b、c、d四个数中有4个负数时：在中，四个的值为， ， 当b、c、d四个数中没有负数时：在中，四个的值为， ， 综上所述，的值为：5或1或， 故答案为：5或1或． 9．设有理数a，b，c满足，，则a，b，c中正数的个数为 ． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴a，b，c中有一个负数或三个负数， ∵， ∴a，b，c中负数只有一个，即正数的个数为2个， 故答案为：2． 10．四个互不相等的整数和为零，积为9，求这四个数中最大的整数值为 ． 【答案】3 【详解】解：四个互不相等的整数和为零， 这四个数是相对相反数， 它们的积为9， ， 这四个数中最大的整数值为3， 故答案为：3． 四、自定义运算：有理数的乘法 11．小明与小刚规定了一种新运算△：．小明计算出，请你帮小刚计算 ． 【答案】16 【详解】解：由题意，得：， 故答案为：16． 12．在数轴上表示a，b两数的点如图所示，则下列判断正确的是 ．（填序号） ①， ②，③，④ 【答案】②③ 【详解】解：依题意， 由数轴得 ∴④是错误的 ∴ 故①是错误的； ∴ 故②是正确的； ∴ 故③是正确的； 故答案为：②③ 13．定义一种新运算“☆”，规定：，则 ． 【答案】9 【详解】由题意得，， 故答案为：9． 14．对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：． 五、有理数乘法的简便运算：核心——凑整 15．用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【答案】(1)7 (2) (3)24 (4) (5) (6)3 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 16．用简便方法计算下列各题： (1)（﹣）×1.25×（﹣8）； (2)（）×36； (3)（﹣10）×（﹣8.24）×（﹣0.1）； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)11 (3)﹣8.24 (4) (5) 【详解】（1） 解：原式＝ ×（1.25×8） ＝×10， ＝； （2） 解：原式＝×36﹣×36+×36﹣×36 ＝28﹣30+27﹣14 ＝11； （3） 解：原式＝﹣（10×0.1）×8.24 ＝﹣1×8.24， ＝﹣8.24； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ， ． 17．计算： 【答案】 【详解】解： ， ， ． 六、有理数乘法法则的灵活运用。 18．三个互不相等的有理数，既可以表示为的形式，也可以表示为的形式，则 【答案】 【详解】解：由题意，得：中有一个数为0，中有一个数为1，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 19．对于有理数x，y，若，则的值是 . 【答案】 【详解】解：由，不妨设， 则 ． 故答案为：． 20．下列说法中，正确的说法有 （填序号）： ①若，则；②若，则；③若，则； ④若，则；⑤若，则；⑥若，则. 【答案】②⑤/⑤② 【详解】①若，则a，b互为相反数，当，无意义，不符合题意； ②若，则，符合题意； ③若，则或，不符合题意； ④若，则或，不符合题意； ⑤若，则，符合题意； ⑥若，则时，不成立，不符合题意， 故答案为：②⑤． 七、定义新运算：有理数的乘除法综合 21．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 22．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ， 则 ， ∴． 23．定义新运算：运算的运算法则为：两数进行“”运算时，同号得正，并把绝对值相乘；异号得负，并把绝对值相除；与任何数进行“”运算，或任何数与进行“”运算时，都得；． 比如：①；②；③．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 八、有理数乘除法的应用。 24．我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20平方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 4 16 33.60 5 28 70.80 (1)请你算一算该市水费的“调节价”每立方米多少钱？ (2)若该户居民6月份用水量为32立方米，请你第一算，6月份的水费是多少元？ 【答案】(1)3.6元； (2)元． 【详解】（1）解： “基本价”： （元； “调节价”： （元 答：该市水费的“调节价”每立方米3.6元； （2）解：依题意 （元； 答：6月份的水费是元． 25．一辆国产新能源汽车的标价是22万元．今年“618”商家搞促销活动：购车立减2万元，在此基础上一次性付款再打九八折． (1)湛湛家一次性付款购得这辆汽车，实际支付购车款多少万元？ (2)《中华人民共和国车辆购置税法》规定：在中华人民共和国境内购置汽车应当缴纳车辆购置税（购置税购车款）．为支持新能源车的发展，国家对购置日期在2024年1月1日至2025年12月31日期间的新能源汽车免征车辆购置税．请你算一算，湛湛家又可以节省多少万元？（得数保留两位小数） 【答案】(1)万元 (2)万元 【详解】（1）解：万元， 答：湛湛家一次性付款购得这辆汽车，实际支付购车款万元； （2）解：万元， 答：湛湛家又可以节省万元． 26．2018年至2022年底，中国高铁运营里程超过4.2万公里，位居世界第一位．高铁的票价是按“票价=全程票价×”的方法计算，已知A站至G站全程票价为800元，沿途各站的里程数如图． 根据这些信息，请你解决以下问题． (1)A站至F站的票价是多少元？ (2)王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票，他在哪一站下车？请说明理由． 【答案】(1)640元 (2)王叔叔可能在B站下车，也可能在E站下车，理由见解析 【详解】（1）解：依题意，∵已知A站至G站全程票价为800元，且A站至G站的里程数为公里 ∴（元）； （2）解：（元）； ∵王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票 ∴（公里） 结合图形，与D站相距400公里的有B站和E站 所以王叔叔可能在B站下车，也可能在E站下车． 九、有理数乘除法的混合运算：严格遵守法则，适当放慢，对为核心 27．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 28．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 十、有理数乘除法综合提升——分类讨论思想 29．阅读下列材料： ，即当时，．用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，，求的值． 【答案】(1)3或 (2) 【详解】（1）解：因为， 所以或a，b，c中有两个负数、一个正数， 当时，； 当a，b，c中有两个负数、一个正数时，不妨设， 则； 综上，当时，的值是3或； （2）因为， 所以a，b，c中有一个负数、两个正数，不妨设， 因为， 所以， 所以． 30．已知x、y、z都是不为0的有理数，且满足 (1)判断：x、y、z中有___________个正数； (2)的值． 【答案】(1)1 (2)0 【详解】（1）∵， ∴x、y、z中有1个正数，2个负数． 故答案为：1； （2）∵x、y、z中有1个正数，2个负数， ∴可设， ∴ 31．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$