专题09 轴对称（10大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题09 轴对称 目录 【题型一 识别轴对称图形】 1 【题型二 确定对称轴的条数】 2 【题型三 由轴对称图形的特征进行判断】 2 【题型四 由轴对称图形的特征进行求解】 3 【题型五 折叠问题】 4 【题型六 镜面对称】 5 【题型七 画轴对称图形】 6 【题型八 台球桌上的轴对称】 7 【题型九 添加图形其成为轴对称图形】 8 【题型十 设计轴对称图案】 9 【题型一 识别轴对称图形】 例题：（2023九年级·贵州遵义·学业考试）剪纸是中国最流行的民间艺术之一，春节期间，剪纸爱好者发起“巧手剪纸迎兔年”的剪纸创作活动．下列作品中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·福建福州·模拟预测）下列四个垃圾分类标识中，其文字上方的图案属于轴对称图形的是 (    ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型二 确定对称轴的条数】 例题：（20-21九年级·广东广州·自主招生）下列图形中对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（    ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形 2．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 【题型三 由轴对称图形的特征进行判断】 例题：（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B．轴对称图形至少有一条对称轴 C．全等三角形一定能关于某条直线对称 D．角是关于它的平分线对称的图形 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，点D在边上，过D作交于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（   ）      A． B． C． D． 【题型四 由轴对称图形的特征进行求解】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，和关于直线l 对称，若，，则∠B 的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图：点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为 ． 【题型五 折叠问题】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将一个长方形纸片沿着折叠，使C，D两点分别落在点处，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，将沿着折叠，点C落在点F的位置，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海·单元测试）如图，在长方形中，点在边上，连接，将沿折痕翻折，使点落在边上的处，如果，那么 度． 【题型六 镜面对称】 例题：（23-24九年级下·湖南常德·阶段练习）如图，平面镜 放置在水平地面上，于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点B在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（21-22七年级上·山东淄博·期中）小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，则如图所示的电子钟的实际时刻是 ． 2．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出，已知，且，则光线与镜面的夹角 . 【题型七 画轴对称图形】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格格点上）． (1)在图中画出关于直线l对称的（要求：点A与点，点B与点，点C与点相对应）； (2)求的面积． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，作四边形关于直线l的轴对称四边形，并回答：如果这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点位置如何？ 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； (3)已知P为x轴正半轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 【题型八 台球桌上的轴对称】 例题：（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 2．（21-22七年级下·甘肃武威·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 【题型九 添加图形其成为轴对称图形】 例题：（21-22八年级上·全国·单元测试）如图是的正方形网格，再把其中一个白色小正方形涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，这样的白色小正方形有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．（21-22八年级上·全国·单元测试）如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形 ．    2．（21-22八年级上·福建南平·期中）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形（阴影部分）为轴对称图形． 【题型十 设计轴对称图案】 例题：（23-24七年级下·陕西汉中·期末）把如图图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南安阳·开学考试）[轴对称图形]下面每个图形都是由4个同样大的正方形组成的，请在每个图形上添加一个同样大的正方形，使其成为轴对称图形． 2．（23-24七年级上·山东东营·期中）下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴．    一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川达州·模拟预测）如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·期末）如图，和关于直线l对称，l交于点，若，，，则五边形的周长为（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 4．（22-23八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，把长方形纸片沿对折，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    7．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知在中，，，，，点P为边上的动点，点D为边上的动点，则的最小值为 ． 8．（23-24八年级上·四川内江·开学考试）如图，在中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的周长为 ． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、的位置处，若，则的度数是 ． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在方格纸中，    (1)画出四边形关于直线l对称的图形四边形． (2)四边形的面积为 ___________； (3)直线l上存在一点P，与之和最短，请画出P点的位置（保留作图痕迹），与之和的最短距离为___________． 12．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，将沿直线折叠，使点与点重合，连接．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的周长． 13．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)格点（顶点均在格点上）的面积为______； (2)画出格点向右平移3个单位长度后得到的； (3)在直线DE上画出点P，使最小． 14．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图1，在中，，垂足为．如图2，将沿所在直线翻折，使点落在边上，记为．    (1)若，求的度数． (2)若，则的度数为______（用含的代数式表示）． 15．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）有一条纸带，现小慧对纸带进行了下列操作： (1)为了检验纸带的两条边线与是否平行，小慧按如图①所示画了直线l，后量得，则，理由为________； (2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设，请求出的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 轴对称 目录 【题型一 识别轴对称图形】 1 【题型二 确定对称轴的条数】 3 【题型三 由轴对称图形的特征进行判断】 4 【题型四 由轴对称图形的特征进行求解】 6 【题型五 折叠问题】 8 【题型六 镜面对称】 10 【题型七 画轴对称图形】 12 【题型八 台球桌上的轴对称】 15 【题型九 添加图形其成为轴对称图形】 17 【题型十 设计轴对称图案】 18 【题型一 识别轴对称图形】 例题：（2023九年级·贵州遵义·学业考试）剪纸是中国最流行的民间艺术之一，春节期间，剪纸爱好者发起“巧手剪纸迎兔年”的剪纸创作活动．下列作品中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中、是轴对称图形，故本选项符合题意； C中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·福建福州·模拟预测）下列四个垃圾分类标识中，其文字上方的图案属于轴对称图形的是 (    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意； B．图形不是轴对称图形，不符合题意． C．图形是轴对称图形，符合题意； D．图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 【题型二 确定对称轴的条数】 例题：（20-21九年级·广东广州·自主招生）下列图形中对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置，掌握轴对称图形的概念是本题的解题关键．根据轴对称图形的定义：一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的一条对称轴，由此找出各个图形的对称轴条数，再比较即可解答． 【详解】解：A、有5条对称轴； B、有3条对称轴； C、有0条对称轴； D、有4条对称轴． 故对称轴最多的有5条． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（    ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】解：A． 圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意； B． 正方形有4条对称轴，故此选项不符合题意； C． 梯形中的等腰梯形是轴对称图形，只有1条对称轴，故此选项不符合题意； D．等边三角形有3条对称轴，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴，根据正方形有四条对称轴即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵图标中间是一个正方形，而正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴， ∴这个图案的对称轴条数为， 故选：． 【题型三 由轴对称图形的特征进行判断】 例题：（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B．轴对称图形至少有一条对称轴 C．全等三角形一定能关于某条直线对称 D．角是关于它的平分线对称的图形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的定义和性质逐一分析四个选项的正误，由此即可得出结论．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，正确，故本选项不符合题意； B、轴对称图形至少有一条对称轴，正确，故本选项不符合题意； C、两全等三角形不一定关于某条直线对称，错误，故本选项符合题意； D、角是关于它的平分线对称的图形，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，点D在边上，过D作交于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．作点E关于直线的对称点F，连接交于P，此时的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于直线的对称点F，连接交于P，此时的值最小．    由对称性可知：， ∵， ∴， ∴最小时，点P应该满足，此时无法确定与，的大小关系，的度数． 故选：D． 【题型四 由轴对称图形的特征进行求解】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，和关于直线l 对称，若，，则∠B 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，先根据轴对称图形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵和关于直线l 对称， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，根据成轴对称的个图形对应角相等的性质，即可进行解答． 【详解】解：∵与关于直线l对称，， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图：点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为 ． 【答案】27 【分析】本题考查轴对称的性质，学会用转化的思想思考问题．证明的周长，可得结论． 【详解】解：如图：连接 ∵P点关于的对称点，，连接交于M，交于N， ，， 的周长， 故答案为：27． 【题型五 折叠问题】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将一个长方形纸片沿着折叠，使C，D两点分别落在点处，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠性质，先由，得，再结合折叠，得出，最后由邻补角性质进行计算，即可作答． 【详解】∵四边形是长方形纸片， ∴， ∴． 由折叠可得，， ∴． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，将沿着折叠，点C落在点F的位置，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数．此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 【详解】解：如图： 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 则， 则． 故选：C． 2．（23-24七年级上·上海·单元测试）如图，在长方形中，点在边上，连接，将沿折痕翻折，使点落在边上的处，如果，那么 度． 【答案】75 【分析】此题考查了折叠的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．根据折叠的性质即可得到． 【详解】解：根据翻折可知：， 故答案为：75． 【题型六 镜面对称】 例题：（23-24九年级下·湖南常德·阶段练习）如图，平面镜 放置在水平地面上，于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点B在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余求出，进而可得，利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（21-22七年级上·山东淄博·期中）小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，则如图所示的电子钟的实际时刻是 ． 【答案】21：05 【分析】由轴对称图形的性质进行分析即可得到正确答案． 【详解】解：由轴对称图形的性质可知，电子钟的实际时刻的数字图与镜子中的数字图成轴对称图形，所以实际时刻是： 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称图形的性质，牢记相关的知识点是解题的关键． 2．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出，已知，且，则光线与镜面的夹角 . 【答案】/20度 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，根据入射角等于反射角，可得，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型七 画轴对称图形】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格格点上）． (1)在图中画出关于直线l对称的（要求：点A与点，点B与点，点C与点相对应）； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作轴对称图形，利用割补法求三角形面积， （1）先根据轴对称的性质分别作出点，点，点，再依次连接，即可作答； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）的面积． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，作四边形关于直线l的轴对称四边形，并回答：如果这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点位置如何？ 【答案】图见解析，交点在对称轴上 【分析】本题考查了画轴对称图形，分别得出对应点关于直线l的对称点，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：四边形即为所求， ， 这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； (3)已知P为x轴正半轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，轴对称的性质． 现在坐标系内描点，在顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； 根据关于y轴对称的点的坐标关系，横坐标互为相反数，纵坐标不变可得到答案． 由p为x轴正半轴上一点，的面积为1，可得，从而得到答案． 【详解】（1）解：∵、、， 如图所示： 、、， ∴三角形面积为． 故答案为：4． （2）解：点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为， 故答案为：． （3）解：∵p为x轴上一点，的面积为1，即， ∴， ∴， ∵，点p的横坐标为：． 故点p坐标为：或． 【题型八 台球桌上的轴对称】 例题：（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 2．（21-22七年级下·甘肃武威·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 【答案】（3，0） 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2023除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2023÷6=337…1， 当点P第2023次碰到矩形的边时为第338个循环组的第1次反弹，点P的坐标为（3，0）， 故答案为：（3，0）． 【点睛】本题考查了台球桌面上的对称、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【题型九 添加图形其成为轴对称图形】 例题：（21-22八年级上·全国·单元测试）如图是的正方形网格，再把其中一个白色小正方形涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，这样的白色小正方形有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：如图所示： ， 可得这样的白色的小正方形有4个． 故选：A． 【变式训练】 1．（21-22八年级上·全国·单元测试）如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形 ．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的性质画图即可． 【详解】解：根据轴对称图形的性质画出图形即可：    2．（21-22八年级上·福建南平·期中）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形（阴影部分）为轴对称图形． 【答案】答案见解析 【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：所补画的图形如下所示： 【点睛】本题考查了轴对称，解题的关键是掌握轴对称的概念和性质． 【题型十 设计轴对称图案】 例题：（23-24七年级下·陕西汉中·期末）把如图图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，从而完成求解． 找出各关键点关于对称轴的对称点，依次连接即可． 【详解】如图所示， 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南安阳·开学考试）[轴对称图形]下面每个图形都是由4个同样大的正方形组成的，请在每个图形上添加一个同样大的正方形，使其成为轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此解答． 【详解】如图所示： 2．（23-24七年级上·山东东营·期中）下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作法，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，沿一条直线对折直线两旁部分完全重合．先找到合适的对称轴，然后再涂黑两个小正方形即可． 【详解】解∶如图，    一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2．（2024·四川达州·模拟预测）如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 3．（23-24七年级下·全国·期末）如图，和关于直线l对称，l交于点，若，，，则五边形的周长为（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的形状，根据轴对称图形的性质得到，再根据五边形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵和关于直线l对称，l交于点， ∴， ∴五边形的周长为， 故选：B． 4．（22-23八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解此题的关键是根据轴对称的性质找出点．如图，作点关于直线的对称点，作于由，推出根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长，根据三角形的面积即可求得线段的长． 【详解】解：如图中， 作点关于直线的对称点，作于， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长． 中，，，，， ． 故选：C． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，把长方形纸片沿对折，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，由折叠的性质可得，再由平行线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 由题意得：， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知在中，，，，，点P为边上的动点，点D为边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点这间线段最短，通过作对称点把折线转化为线段问题，利用两点之间线段最短来解答本题． 作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，根据得到当点D，P，三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P， ∵ ∴点B，C，三点共线，且 ∴， ∴ ∴当点D，P，三点共线时，有最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·四川内江·开学考试）如图，在中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质可得，进而根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵将折叠，使点与点重合，折痕为， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、的位置处，若，则的度数是 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．根据的度数求出的度数，然后由折叠性质得出，最后由平行线的性质即可以求出的度数． 【详解】解：由折叠知：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查轴对称最短问题、三角形外角的性质．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，当三点共线时，最小， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在方格纸中，    (1)画出四边形关于直线l对称的图形四边形． (2)四边形的面积为 ___________； (3)直线l上存在一点P，与之和最短，请画出P点的位置（保留作图痕迹），与之和的最短距离为___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)P点的位置见解析； 【分析】本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解； （2）用四边形的面积减去4个三角形的面积即可求解； （3）连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求，    （2）解：， （3）解：连接交于点，如上图，点即为所求， ∵与关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∴与之和的最短距离为， ∴由网格的坐标可得：． 12．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，将沿直线折叠，使点与点重合，连接．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)． (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质和三角形的内角和定理是解题的关键． （1）先由三角形的内角和定理求得，再根据折叠的性质，得到，从而即可求解． （2）根据折叠的性质，得到，进而计算周长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． 由折叠可知，． ∵， ∴． （2）解：由折叠可知，． ∴的周长． 13．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)格点（顶点均在格点上）的面积为______； (2)画出格点向右平移3个单位长度后得到的； (3)在直线DE上画出点P，使最小． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的面积、平移作图、最短路径问题等知识点，掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据网格，用矩形减去部分三角形面积，算出的面积即可； （2）先画出点A、B、C的对应点、、，连接即可得到； （3）作点A关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求的点． 【详解】（1）， 故答案为：5； （2）如图，即为所求： （3）如图所示，点P即为所求， 14．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图1，在中，，垂足为．如图2，将沿所在直线翻折，使点落在边上，记为．    (1)若，求的度数． (2)若，则的度数为______（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义以及性质，折叠的性质，掌握翻折的性质是解本题的关键； （1）先得到，再根据折叠的性质得，根据三角形外角性质即可求解； （2）由已知条件可得出点落在线段上时，同（1）解题过程一样求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 由翻折的性质可得出， ∵， ； （2）∵，且点落在线段上时， ∵， ， 由翻折可知 ． 15．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）有一条纸带，现小慧对纸带进行了下列操作： (1)为了检验纸带的两条边线与是否平行，小慧按如图①所示画了直线l，后量得，则，理由为________； (2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设，请求出的度数． 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2) 【分析】本题考查了平行线判定与性质，翻折的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行线的判定方法即可解决问题． （2）如图②中，证明即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中，， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行． （2）解：如图②中， 由翻折的性质可知，， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$