精品解析：湖南省长沙县实验中学等多校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题

2025届高三第一次大联考 数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法法则得到，利用模长公式求出答案. 【详解】由， 则. 故选：B. 2. 底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为的圆锥侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图求圆锥的母线长，进而求侧面积. 【详解】因为圆锥的底面半径为，则侧面展开图的弧长为， 又因为侧面展开图的圆心角为，可得圆锥母线长， 所以圆锥的侧面积. 故选：A. 3. 设集合，则（ ） A. B. C. ⫋ D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求，再根据集合关系判断选项A，C；求根据集合 相等定义判断D，根据与集合的关系，结合集合并集定义判断B. 【详解】由题意可得， ⫋，故A，C均错误； ，D正确； ，B错误. 故选：D. 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 45 B. 55 C. 105 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】先求得展开式中含的项，即可求的展开式中的常数项. 【详解】由二项式定理可得展开式中含的项为， 所以的展开式中的常数项为. 故选：C. 5. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可. 【详解】在区间上单调递增， 则在区间上单调递减且恒为正， 所以且，所以. 故选：C. 6. 已知，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，，利用正切和差角公式得到等量关系，建立方程，解得结果. 【详解】由题意可得：，. 又∵ ∴，∴. 故选：A 7. 已知函数，若在上恒成立，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先分离参数，再构造函数，利用导函数确定函数单调性，从而得到函数最值，进而得出答案. 【详解】由题意可转化为恒成立， 令函数为偶函数， 故考虑时，， 令， 即在上单调递增， 则，则在上单调递增， 在上单调递减，故， 故， 故选：B. 8. 若函数在上有3个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上零点的个数，讨论的范围，分别确定在上零点的个数，进一步确定的范围，进而可得答案. 【详解】令，则或， 由得， 当时，，在上没有零点， 则在上应有3个零点，所以， 即，与联立得； 当时，在上有1个零点， 在上，因为，所以， 所以有3个零点，不满足题意； 当时，在上有2个零点， 在上应有1个零点， 所以，即，与联立得， 综上得的取值范围是.故C正确. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式可得答案； B选项，由A分析结合对数函数单调性可得答案； C选项，由题可得，，，配方后可得答案； D选项，注意到，后由基本不等式可得答案. 【详解】对于A，因为，且，所以， 故，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，由A及题意可知，当且仅当时等号成立，所以由是增函数得 ，故B错误； 对于C，由得，又由得即， 所以，当即时等号成立，故C正确； 对于D，由题意可知， 当为仅当即时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，两式平方后相加得到；D选项，由得到；B选项，利用同角三角函数关系得到；C选项，先求出的值，利用正切二倍角公式得到答案. 【详解】A选项，因为，两式平方后相加可得 ，所以，故A错误； D选项，因为，所以， 又，故， 由于，故， 又，所以，故D正确； B选项，，故B正确； C选项，， 故，故C错误. 故选：BD. 11. 已知曲线与直线分别相切于点，与直线分别相切于点，且相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，根据导数几何意义可得，对其整理即可判断AB；对于C：可知的图象关于直线对称，根据对称可得，利用基本不等式分析判断；对于D：整理可得，且，构建，利用导数可得，即可判断. 【详解】设，则， 可知，即， 对于选项A：由，整理得， 若，则，不满足，不合题意， 所以，故A正确； 对于选项B：把，代入， 即，整理得，故B错误； 对于选项C：因为，且的图象关于直线对称， 所以点A关于直线的对称点为， 可得，所以，故C正确； 对于选项D：因为直线关于直线对称， 则点就是直线与直线的交点， 联立方程，可得， 即，可得， 因为，且，则， 由整理可得， 令， 可知为在内的零点，且， 因为，则，可得， 可知在内单调递增，且， 可知在内有唯一零点，且， 设，则， 可知在内单调递增，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据对称性分析可知：点就是直线与直线的交点，进而可得，放缩证明即可判断D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”的否定为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】由命题否定的定义，可知命题“”的否定是“”. 故答案为：，. 13. 在2024年8月8日召开的中国操作系统产业大会上，国产操作系统银河麒麟发布了首个人工智能版本，该系统通过多项技术创新实现了人工智能与操作系统的深度融合，可广泛应用于自动驾驶､医疗健康､教育等多个领域，标志着中国在自主操作系统领域实现新突破.某新能源车企采用随机调查的方式并统计发现市面上可以实现自动驾驶的新能源汽车上可为乘客提供的功能数目与汽车上所安装的人工智能芯片个数线性相关，且根据样本点求得的回归直线方程为，若在回归直线上，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件先求，再根据在回归直线上可求，由此可求结论. 【详解】由题意，点在回归直线上，所以， 所以，又，由在回归直线上，得， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 棱长为2的正方体中，为内一点，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】连接与平面交于点，则有平面，从而可得点在内切圆上，进而可得，当点为的中点时最大，即可得答案. 【详解】解：如图，连接与平面交于点， 易知且都在面， 所以平面，平面，所以， 且都在面， 所以平面，平面，所以， 又因为，平面，则平面， 而，因为，所以， 是边长为的正三角形，其内切圆半径， 所以点在内切圆上， 因为平面，且点到平面的距离为， 所以， 当点为的中点时最大，最大为， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定点在内切圆上. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求函数在切点处的切线方程； （2）利用导数研究函数单调性，求最大值. 【小问1详解】 因为，故， 即切点坐标为， ， 故曲线在点处的切线斜率为2，切线方程为. 【小问2详解】 易得 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以时，， 又时恒成立， 所以的最大值为. 16. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用辅助角公式进行化简，再利用整体的思想求解的单调递减区间即可； （2）根据图象变换，求出函数的解析式，再根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【小问1详解】 ， 由， 解得， 即时，函数单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象， 所以. 若，则即. 由，得， 又，所以， 则 17. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求； （2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数得出，，即可求出参数； （2）先根据函数的单调性及奇函数列出方程，再结合指数函数的值域列出不等式组即可求参. 【小问1详解】 由是定义域为的奇函数，则，解得， 则，由于，解得，则， 经检验：，则满足题意.则. 【小问2详解】 由于，易得在定义域内单调递减. 则由恰有两个不同的实根.由于是定义域为的奇函数且单调递减， 则有两个不同根即可.则有两个不同根即可. 令与个数一一对应，转化为有两个不同正根即可. 满足，解得，即， 故的取值范围为. 18. 过双曲线右焦点的直线与的左､右支分别交于点，与圆：交于（异于）两点. （1）求直线斜率的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，直线的方程为，与椭圆联立消x得，利用韦达定理结合已知列不等式，根据直线与圆的位置关系列不等式求解m范围，即可得解. （2）利用弦长公式求解，利用垂径定理求得，从而求得的表达式，然后设，利用二次函数性质求解范围即可. 【小问1详解】 设，由题意可得直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为， 与联立得， 所以， 又两点在轴同一侧，所以.此时，即. 圆的方程为，点到直线的距离， 由得，由得，所以或 因为直线的斜率，所以直线斜率的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）可得 . ， 所以 设，则， 所以的取值范围是. 19. 记数列中前项的最大值为，则数列称为的“最值数列”，由所有的值组成的集合为.设的“最值数列”的前项和为. （1）若，且中有3个元素，求的取值范围； （2）若数列都只有4项，为的“最值数列”，满足且存在，使得，求符合条件的数列的个数； （3）若，求中能被2整除且不能被4整除的个数. 【答案】（1） （2）20个 （3）个 【解析】 【分析】（1）根据中有3个元素结合数列单调性定义分类讨论可得，，从而可得参数的取值范围； （2）就可得中必有，就在数列中的不同位置分类讨论后可得的个数； （3）根据特殊角的三角函数结合可得其通项，从而求即可. 【小问1详解】 因为， 所以 当时，，当时， 故当时为增函数，时为减数列， 因为中有3个元素，所以，即， 所以，解得，所以的取值范围是. 【小问2详解】 若，则有1个， ①若且，则有3种可能，有3个， ②若且，则， 若，则，若的值可能是4或6， 若的值可能是2或4或6，符合条件的有6个， ③若均不为8，则， 的值可能分别为：， 符合条件有10个， ，综上得符合条件的有20个. 【小问3详解】 由题意得， 所以， 所以，能被4整除， ，不能被2整除， ， 能被2整除，不能被4整除， ，不能被2整除， 所以中能被2整除，但不能被4整除的有个. 【点睛】思路点睛：数列新定义问题，应该根据定义得到新数列的形成过程，将该过程与数列常见性质（如单调性等）结合在一起，另外数列的最值或诸项之间的大小关系往往和数列的单调性相关. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第一次大联考 数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为的圆锥侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，则（ ） A. B. C. ⫋ D. 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 45 B. 55 C. 105 D. 75 5. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在上恒成立，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 若函数在上有3个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知曲线与直线分别相切于点，与直线分别相切于点，且相交于点，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”的否定为__________. 13. 在2024年8月8日召开的中国操作系统产业大会上，国产操作系统银河麒麟发布了首个人工智能版本，该系统通过多项技术创新实现了人工智能与操作系统的深度融合，可广泛应用于自动驾驶､医疗健康､教育等多个领域，标志着中国在自主操作系统领域实现新突破.某新能源车企采用随机调查的方式并统计发现市面上可以实现自动驾驶的新能源汽车上可为乘客提供的功能数目与汽车上所安装的人工智能芯片个数线性相关，且根据样本点求得的回归直线方程为，若在回归直线上，则______. 14. 棱长为2的正方体中，为内一点，且，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最大值. 16. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值. 17. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求； （2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 18. 过双曲线右焦点的直线与的左､右支分别交于点，与圆：交于（异于）两点. （1）求直线斜率的取值范围； （2）求的取值范围. 19. 记数列中前项的最大值为，则数列称为的“最值数列”，由所有的值组成的集合为.设的“最值数列”的前项和为. （1）若，且中有3个元素，求的取值范围； （2）若数列都只有4项，为的“最值数列”，满足且存在，使得，求符合条件的数列的个数； （3）若，求中能被2整除且不能被4整除的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $