精品解析：浙江省台州市三门县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

三门县2023学年第二学期教学质量监测试题卷 八年级 数学 亲爱的考生：欢迎参加检测，答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中只有一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度（单位：）的四组线段中，首尾依次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，8，10 C. 2，2，3 D. 4，5，6 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数上有两点，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 水果超市售卖一批散装苹果，苹果大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的苹果．设原有苹果质量（单位：）的方差为，该顾客选购的苹果质量的方差为，则与的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 它们的大小关系不确定 7. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 8. 已知函数的图象如图所示，函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是一个轴对称图形，由一个矩形和三个全等菱形拼接而成，其中，则矩形的一组邻边之比为（ ） A. B. C. D. 10. 在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论： ①它的图象由直线向下平移2个单位所得． ②y随着x增大而增大． ③当时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值． 其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 当__________时，是整数．（写出一个符合条件的x的值） 12. 某校欲招聘一名初中数学教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了专业知识、教育理论、模拟课堂等三方面的测试，他们的各项成绩（单位：分）如下表所示： 专业知识 教育理论 模拟课堂 甲 67 73 86 乙 75 65 86 丙 72 71 75 如果将每位应聘者的专业知识、教育理论、模拟课堂的成绩按的比例确定，并录用平均成绩（百分制）最高的应聘者，则被录用的是__________． 13. 一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是_________． 14. 直角三角形两边长为6和8，则斜边中线长为_________． 15. 若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为__________． 16. 如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，． （1）比较，的大小：__________； （2）若，则值为__________． 三、解答题（本大题有8题，共72分；第17～21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上． （1）请用无刻度的直尺分别画出的中点E，F；（保留作图痕迹） （2）求的长度． 19. 如图，一次函数的图象过点，． （1）求此一次函数的解析式； （2）直接写出关于x的不等式的解集． 20. 如图，在正方形中，以B为圆心，长为半径画圆弧，与的延长线相交于点E，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 21. 某校为了解七年级学生暑期体育锻炼情况，进行了两次跳绳水平测试（安排在学生就读七年级第二学期结束前与八年级第一学期开学初），每次测试成绩满分均为10分（分值为整数）．随机抽取了15名学生的两次成绩，数据整理如图（单位：分）： （1）学生甲第一次成绩是3分，则该生第二次成绩是__________分； （2）图中有两个点重叠了，所以只显示了14个点，查原始数据发现有5个学生的两次成绩不变，且第二次成绩中有2个学生满分．请你在图中圈出这个重叠的点； （3）根据统计图提供的信息，请你对该校七年级学生暑期跳绳锻炼情况进行评价． 22. 如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位：）随的长度x（单位：）的变化规律如图2所示． （1）指出图中点P坐标的实际意义； （2）求y关于x函数关系式，并写出自变量x的取值范围： （3）直接写出B，D之间距离的变化范围． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 有趣迭代函数 素材 已知一次函数和（是常数，），我们称是的迭代函数．如函数的迭代函数是，即． 素材 当时，函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，我们称点是这个函数的迭代点． 问题解决 任务 直接写出函数的迭代函数及这个函数迭代点的坐标． 任务 求证：对于任意（是常数，）的迭代函数，随的增大而增大． 任务 若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 24. 如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，过点作，交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，求证：四边形是菱形； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分，交于点，请写出线段之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三门县2023学年第二学期教学质量监测试题卷 八年级 数学 亲爱的考生：欢迎参加检测，答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中只有一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列长度（单位：）的四组线段中，首尾依次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，8，10 C. 2，2，3 D. 4，5，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为2，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为4，5，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：A． 4. 下列式子计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．根据二次根式的加法、乘法、减法逐一计算即可． 【详解】解：A、不等于，故本选项错误，不符合题意； B、不等于，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 一次函数上有两点，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，一次函数的增减性，对于一次函数（k为常数，），当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴y随x增大而增大， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 6. 水果超市售卖一批散装苹果，苹果大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的苹果．设原有苹果质量（单位：）的方差为，该顾客选购的苹果质量的方差为，则与的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 它们的大小关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与波动性之间的关系，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据波动越大，稳定性越小，而根据题意可得顾客选购苹果的质量比水果超市的波动较小，据此可得答案． 【详解】解：∵水果超市的苹果大小不一，而该顾客选购大小均匀的苹果， ∴说明顾客选购苹果的质量比水果超市的波动较小， ∴超市苹果质量的方差大于顾客选购苹果的方差，即， 故选：B． 7. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理推出，则可证明四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确， 故选：B． 8. 已知函数的图象如图所示，函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象可知，然后根据一次函数是性质即可判断． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象，解题的关键是通过图像知道和的取值范围以及熟知一次函数的图像性质． 9. 如图，是一个轴对称图形，由一个矩形和三个全等菱形拼接而成，其中，则矩形的一组邻边之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，在取点P，使，连接，根据轴对称的性质得出，，，证明，，，设，，则，证明为等腰直角三角形，得出，从而得出，求出x，即可得出，求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，，取点P，使，连接，如图所示： 根据轴对称可知：，，，， ∵矩形中， ∴， ∵三个全等菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是做出辅助线，熟练掌握相关的性质． 10. 在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论： ①它的图象由直线向下平移2个单位所得． ②y随着x的增大而增大． ③当时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值． 其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象性质以及应用，根据当时，则；当，则，作图，运用数形结合思想得出的图象是分段函数，判断①，当时，y随着x的增大而减小．当时，y随着x的增大而增大，判断②③，结合图象，即可判断④，进行作答． 【详解】解： 当时，则； 当时，则； 如图： ∴的图象是分段函数，不是由直线向下平移2个单位所得． 故①是错误的； 结合图象，当时，y随着x的增大而减小． 当时，y随着x的增大而增大． 故②是错误的， 故③是正确的； 结合图象，函数有最小值． 故④是正确的； 故选：D． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 当__________时，是整数．（写出一个符合条件的x的值） 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式，熟练掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：若二次根式有意义， 则， 解得：， 当时，是整数， 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 某校欲招聘一名初中数学教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了专业知识、教育理论、模拟课堂等三方面的测试，他们的各项成绩（单位：分）如下表所示： 专业知识 教育理论 模拟课堂 甲 67 73 86 乙 75 65 86 丙 72 71 75 如果将每位应聘者的专业知识、教育理论、模拟课堂的成绩按的比例确定，并录用平均成绩（百分制）最高的应聘者，则被录用的是__________． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数．根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以分别求出甲、乙、丙的成绩，然后比较大小即可． 详解】解：由题意可得， 甲的成绩为： 乙的成绩为： 丙的成绩为： ∵， ∴乙将被录取， 故答案为：乙． 13. 一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】弹簧总长弹簧原来的长度挂上重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【详解】解：挂上的物体后，弹簧伸长， 挂上的物体后，弹簧伸长， 弹簧总长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键． 14. 直角三角形两边长为6和8，则斜边中线长为_________． 【答案】5或4##4或5 【解析】 【分析】根据两种情况：6和8都为直角边；8为斜边，6为直角边，得到斜边长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答． 【详解】解：当6和8都为直角三角形的直角边时， 根据勾股定理可得，直角三角形的斜边为， 斜边上的中线长为； 当8为直角三角形的斜边，6为直角三角形的直角边时， 斜边上的中线长为， 综上所述，斜边中线长为5或4， 故答案为：5或4． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据情况能够正确地分类讨论是解题地关键． 15. 若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据直线过点，得出，把代入方程，整理得出，根据，得出，求出x的值即可． 【详解】解：∵直线过点， ∴， 把代入得：， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，． （1）比较，的大小：__________； （2）若，则的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质． （1）证明即可； （2）作交的延长线于点Q，设， ，则，，根据一线三垂直模型证明，可得， ，由可得，，即，再代入计算即可． 【详解】解：（1）∵为正方形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）作交的延长线于点Q，则， 设， ，则，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8题，共72分；第17～21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算和二次根式的加减计算： （1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算加法即可； （2）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上． （1）请用无刻度的直尺分别画出的中点E，F；（保留作图痕迹） （2）求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理： （1）如图所示，连接交于F，取格点H，连接交于O，连接并延长交于E，则E、F即为所求； （2）利用勾股定理得到，则由三角形中位线定理可得． 【小问1详解】 解：如图所示，连接交于F，取格点H，连接交于O，连接并延长交于E，则E、F即为所求； 【小问2详解】 解：由网格的特点和勾股定理可得， ∵的中点分别为E，F， ∴是中位线， ∴． 19. 如图，一次函数的图象过点，． （1）求此一次函数的解析式； （2）直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式、一次函数的图象等知识， （1）将A、B两点代入一次函数，利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象写出函数值小于等于2的自变量的取值范围即可； 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：观察图像可知：时，， 故答案为：． 20. 如图，在正方形中，以B为圆心，长为半径画圆弧，与的延长线相交于点E，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． （1）由正方形的性质可得,再根据题意可知,然后根据等腰三角形的性质求得,然后根据角的和差即可解答； （2）由正方形的性质可得,再根据题意可知,然后运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴, 由题意可得, ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵正方形，， ∴, ∵， ∴， ∴． 21. 某校为了解七年级学生暑期体育锻炼情况，进行了两次跳绳水平测试（安排在学生就读七年级第二学期结束前与八年级第一学期开学初），每次测试成绩满分均为10分（分值为整数）．随机抽取了15名学生的两次成绩，数据整理如图（单位：分）： （1）学生甲第一次成绩是3分，则该生第二次成绩是__________分； （2）图中有两个点重叠了，所以只显示了14个点，查原始数据发现有5个学生的两次成绩不变，且第二次成绩中有2个学生满分．请你在图中圈出这个重叠的点； （3）根据统计图提供的信息，请你对该校七年级学生暑期跳绳锻炼情况进行评价． 【答案】（1）4 （2）见解析 （3）该校七年级学生暑期跳绳锻炼情况较差，造成成绩下降． 【解析】 【分析】本题考查平面坐标系中的点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据图象直接解答； （2）根据第二次成绩中有2个学生满分，结合图象即可解答； （3）根据图象判断比较第一次成绩与第二次成绩，即可作出评价． 【小问1详解】 解：∵统计图可以看出横坐标为3的点只有一个，其纵坐标为4， ∴学生甲第一次成绩是3分，则该生第二次成绩是4分． 故答案为：4 【小问2详解】 解：∵第二次成绩中有2个学生满分，而图中纵坐标为10的点只有一个 ∴这个重合的点应该是，如图 【小问3详解】 解：如图 直线l表示第二次与第一次的成绩相同，直线l左侧的点表示第二次的成绩优于第一次，直线l右侧的点表示第二次成绩差于第一次， 从图可得直线l右侧的点远远多于左侧的点，即更多的学生第二次成绩差于第一次， 所以该校七年级学生暑期跳绳锻炼情况较差，造成成绩下降． 22. 如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位：）随的长度x（单位：）的变化规律如图2所示． （1）指出图中点P坐标的实际意义； （2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： （3）直接写出B，D之间距离的变化范围． 【答案】（1）当的长度为时，千斤顶的高度为； （2） （3）大于等于，小于等于． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得点P的坐标的实际意义为当的长度为时，千斤顶的高度为； （2）连接交于O，当时，，由菱形的性质得到，则由勾股定理得到，当时，则，由勾股定理得，则； （3）根据（2）所求分别求出当和时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，点P的坐标的实际意义为当的长度为时，千斤顶的高度为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于O， 当时，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得； 由于菱形的边长不发生变化， ∴是定值， 当时，则， 在中，由勾股定理得， ∴，即； 【小问3详解】 解：在中，当时，；当时，； ∴B，D之间距离的变化范围为大于等于，小于等于． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，菱形的性质和勾股定理，正确读懂函数图象是解题的关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 有趣的迭代函数 素材 已知一次函数和（是常数，），我们称是的迭代函数．如函数的迭代函数是，即． 素材 当时，函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，我们称点是这个函数的迭代点． 问题解决 任务 直接写出函数的迭代函数及这个函数迭代点的坐标． 任务 求证：对于任意（是常数，）的迭代函数，随的增大而增大． 任务 若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 【答案】任务：， 任务：证明见详解． 任务：，证明见详解． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 任务：根据题意即可写出函数的迭代函数，再与函数联列，求解即可得到迭代点的坐标． 任务：根据题意写出的迭代函数，根据，即可证明随的增大而增大． 任务：联列函数和它的迭代函数，即可求出点，故若点的坐标为时，则有． 【详解】任务：解：由题意可得函数的迭代函数为， 即， 联列可得， 解得， ∴函数迭代点的坐标为． 任务：证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，）， 即， ∵， ∴， ∴在函数中，随的增大而增大． 任务：． 证明：由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点， 联列可得：， 解得：， 即点坐标为， ∴若点的坐标为时，则的数量关系为． 24. 如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，过点作，交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，求证：四边形是菱形； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分，交于点，请写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3）线段之间的数量关系为．证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据，可得，，再根据平行线的性质可得，从而，即可证明． （2）．根据平行线和全等三角形的性质，可得，再根据等角对等边，可得，加上，即可证明四边形是平行四边形，从而证明四边形是菱形． （3）根据平分，，易得，再根据可证明，从而得出，，即可得到为等腰直角三角形，根据勾股定理可得． 【小问1详解】 证明：由题意得， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 线段之间的数量关系为． 证明：连接，如图所示： ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∴线段之间的数量关系为． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线，矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$