精品解析：浙江省杭州市十三中2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

2024-2025学年浙江省杭州十三中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（共10个小题，满分30分，每小题3分） 1. 已知二次根式，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，即可求a的取值范围． 【详解】解：根据题意得：2a-1≥0， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义“形如的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是二次函数，故选项B符合题意； C、，不是二次函数，故选项C不符合题意； D、，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 3. 下列2024年巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 4. 某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：188，190，192，194，195．现用一名身高为190cm的队员换下场上身高为195cm的队员，与换人前相比，换人后场上队员的身高（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差的计算公式． 分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得． 【详解】解：解：原数据的平均数为， 方差为， 新数据的平均数为， 方差为， ∴平均数变小，方差变小， 故选：A． 5. 四张相同的卡片，每张的正面分别写着，，，，将卡片正面朝下扣在桌上，随机抽出一张，这张卡片上写的不是最简二次根式的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由，，，中，不是最简二次根式的只有，再用概率公式计算可得． 详解： ∵，，，中，不是最简二次根式的只有， ∴所以卡片上写的不是最简二次根式的概率是， 故选A． 点睛：考查了概率公式，掌握概率=所求情况数与总情况数之比和最简二次根式的定义是解题的关键． 6. 若关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是( ) A. k＜且k≠﹣2 B. k≤ C. k≤且k≠﹣2 D. k≥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，求出即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程（k+2）x2-3x+1=0有实数根， ∴k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0， 解得：k≤且k≠-2， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 7. 如图在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动.过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，则对角线的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（2，1），再根据矩形的性质得BD＝AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为2，从而得到BD的最小值． 【详解】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD＝AC， 而AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质． 8. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若，则四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形综合．熟练掌握矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定，是解题的关键． 根据矩形的判定，菱形的判定，以及平行四边形的性质定理逐一判定即得． 【详解】解：由作图知，， ∵， ∴， 在平行四边形中，当时， ， ∴四边形不一定是矩形， 故A不符合题意； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故B符合题意； 当时， 平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故C不符合题意； 当时， 平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形不一定是菱形， 故D不符合题意； 故选：B． 9. 在反比例函数图象上有三个点，、，、，，若，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．由可得反比例函数图象在第二、四象限，根据选项一—分析即可． 【详解】解：在反比例函数中，，图象在第二、四象限， 若 则或，故A错误； 当时，若，则且或， 故或 ，故B错误； 若则，则，故C错误； 若则且或，故，故D正确； 故选：D． 10. 在矩形中，点为边的中点，连结，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则的值为（　　） A. 18 B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．连接，作于，由翻折及矩形的性质得，，，，证明，由勾股定理建立方程可分别求出，的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：连接，作于， 在矩形中，，，， 四边形、都是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折，点为边的中点， ，，， ∵点为线段的中点， ∴ 在和中， ， ∴， ， ， 在中，， ∵， ， ， ， ， 设， ， ， 在中，，即， 解得， ， ， 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 【答案】5 【解析】 【详解】∵多边形的每个外角都等于72°， ∵多边形的外角和为360°， ∴360°÷72°=5， ∴这个多边形的边数为5. 故答案为5. 12. 某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分（含边界）时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查几何概率，该顾客获奖的概率等于阴影部分面积与圆面积的比．先求出在整个转盘中所占面积的比值，此比值即为获奖的概率． 【详解】解：∵阴影部分占， ∴其占整个圆面积的， 即该顾客获奖的概率为． 故答案为：． 13. 若二次函数的图象与x轴交于，则的值是 _________． 【答案】2029 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点和二次函数的性质，熟练掌握整体代入求代数式的值是解题的关键．将代入得：，即，代入到原式可得答案． 【详解】解：根据题意，将代入得：， 则， ， 故答案为：2029． 14. 小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：，这组数据的众数是 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查方差和众数，解题的关键是由计算方差的算式得出这组数据．由计算方差的算式得出这组数据为7、7、8、9、9、9，再根据众数的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为7、7、8、9、9、9， 所以这组数据的众数为9， 故答案为：9． 15. 如图，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，点D在x轴上，与y轴交于点E，若，则k的值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】过A向x轴作垂线，垂足为F，得到ABOF为矩形，又ABCD为平行四边形，，可得到平行四边形ABCD为6，根据平行四边形ABCD的面积等于矩形ABOF的面积，可得出k的值． 【详解】解：过A向x轴作垂线，垂足为F， ∴可得ABOF为矩形， 又ABCD为平行四边形， ∴， ∴S平行四边形ABCD=6， 又S平行四边形ABCD=S矩形ABOF=6， ∴k=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形中三角形与平行四边形面积关系，反比例函数中k的几何意义问题，解题关键在于找出三角形BCE与平行四边形ABCD面积的关系，根据k的几何意义求出k的值． 16. 如图，在正方形中，，为上一动点，交于点，过作，交于点，连结、，与交于点．下列结论：①，②，③△的周长为12，④，其中正确的结论有 ________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①作辅助线，过作于点，连接，利用边角边定理证明，推得，通过角的转换得，则，从而得，结合为的斜边，；②由，，则；③延长交于点，延长至点，使，过点作，可得，再证明，得到，证明，得到，最后根据的周长判断；④把绕顺时针旋转得，连接，可得，，得到，即，再证明得，代入可． 【详解】解：连接，过作于，如图1， ①四边形为正方形， ，，， 则， ，， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 为的斜边， ， 则，不符合题意； ②由题①得， 又， ，符合题意； ③延长交于点，延长至点，使，过点作， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ，， ， ∵，， ， ∴， ， ， ， ∵， ， ∴， ，， ， 、、、四点共 圆， ， 又， ， ，， ∴， ∴， ∴的周长， 的周长为12，为定值； 故③正确； ④如图，把绕顺时针旋转得，连接， ，，，， ∵， ∴， ，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，符合题意； 综上，②③④结论正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）；（2） 【答案】（1）原式＝5；（2）原式＝﹣4． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算； （2）利用平方差公式和二次根式的性质计算． 【详解】解：（1）原式＝1+ ＝1+4 ＝5； （2）原式＝4﹣5﹣3 ＝﹣4． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：， 不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）15 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论； （2）利用根与系数的关系求得，，代入，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ， ， ． 解得． 19. 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（3，0）和点B（4，3）． （1）求二次函数的表达式 （2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3； （2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为x＝2． 【解析】 【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=ax2+bx+3得关于a、b的方程组，然后解方程组即可； （2）先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题； 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）． ∴， 解得， ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3； （2）∵y═x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1）， 对称轴为x＝2． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 20. 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 （1）补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； （2）估计袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】（1）0.251，0.25 （2）3 （3） 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用频数总数频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率； （2）设袋子中白球的个数为，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案； （3）先列表得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：表中数据：， 观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25； 【小问2详解】 解：设袋子中白球的个数为， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 估算袋中白球的个数为3； 【小问3详解】 解：画树状图得： 共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， 两次都摸出白球的概率为． 21. 如图，在中，点D、E分别是的中点，，延长到点F，使得，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线性质，得，根据，得到，结合，推出四边形是平行四边形，推出平行四边形是菱形； （2）根据菱形性质得到， ，得到是等边三角形，根据正三角形面积公式得到． 【小问1详解】 证明：∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形综合．熟练掌握三角形中位线性质，平行四边形判定和性质，菱形判定和性质，等边三角形判定和性质，等边三角形面积公式，是解决问题的关键． 22. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，求的面积． （3）抛物线的对称轴上有一动点P，求出当最小时点P的坐标． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B坐标，再根据进行求解即可； （3）由轴对称的性质得到，则，故当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，求出直线解析式为，再求出抛物线对称轴为直线，在中，当时，，即． 【小问1详解】 解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，解得或， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵点P是抛物线对称轴上一点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴． 23. 综合实践：如何用最少的材料设计花园？ 【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米． 【项目解决】 目标1：确定面积与边长关系． 当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长． 目标2：探究最少的材料方案． 现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米． （1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． （2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米． 【答案】目标1：； 目标2：（1）不能，理由： 设的长为x米， 矩形花园面积为平方米， ， 所用的篱笆为米， ，即， ， 方程无解，故不能成功围成． （2）18，； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，根据题干找到等量关系，列出方程是解题的关键． 目标1：设的长为x米，根据矩形花园的面积为32平方米，则，由于篱笆全部用完，则，即，解方程即可； 目标2：（1）设的长为x米，根据矩形花园面积为平方米，，所用的篱笆为米，列方程，即，判别式小于零，无解，故不能围成；（2）设所用的篱笆为米，则，即，根据判别式大于等于零，可求得最小值，由此可求出此时的值； 【详解】解：目标1：设的长为x米， 当篱笆全部用完，矩形花园的面积为32平方米， ， 现可用的篱笆总长为20米，且篱笆全部用完， ，即， 解得，， 或， 又 墙长为10米，，不合题意，舍去， ． 目标2：（1）略 （2）设所用的篱笆为米， 则，即， ， ， 解得，或（舍去）， 故m的最小值为18米， 此时， 解得． 故米． 24. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 【答案】 【数学思考】证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 【解决问题】； 【拓展研究】或 【解析】 【分析】数学思考：证出，由可证明； 解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案； 拓展研究：分两种情况，当线段与交于点时，当的延长线交于点时，结合全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案． 【详解】数学思考：略 解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接 ， ， 矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 拓展研究：解：当线段与交于点时，作于， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 当的延长线交于点时，由上知， ， ， 综上所述，的面积是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省杭州十三中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（共10个小题，满分30分，每小题3分） 1. 已知二次根式，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列2024年巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：188，190，192，194，195．现用一名身高为190cm的队员换下场上身高为195cm的队员，与换人前相比，换人后场上队员的身高（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 5. 四张相同的卡片，每张的正面分别写着，，，，将卡片正面朝下扣在桌上，随机抽出一张，这张卡片上写的不是最简二次根式的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是( ) A. k＜且k≠﹣2 B. k≤ C. k≤且k≠﹣2 D. k≥ 7. 如图在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动.过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，则对角线的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若，则四边形是菱形 9. 在反比例函数图象上有三个点，、，、，，若，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在矩形中，点为边的中点，连结，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则的值为（　　） A. 18 B. 12 C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 12. 某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分（含边界）时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率是__________________． 13. 若二次函数的图象与x轴交于，则的值是 _________． 14. 小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：，这组数据的众数是 _____． 15. 如图，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，点D在x轴上，与y轴交于点E，若，则k的值为_______． 16. 如图，在正方形中，，为上一动点，交于点，过作，交于点，连结、，与交于点．下列结论：①，②，③△的周长为12，④，其中正确的结论有 ________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）；（2） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 19. 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（3，0）和点B（4，3）． （1）求二次函数的表达式 （2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 20. 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 （1）补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； （2）估计袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 21. 如图，在中，点D、E分别是的中点，，延长到点F，使得，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 22. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，求的面积． （3）抛物线的对称轴上有一动点P，求出当最小时点P的坐标． 23. 综合实践：如何用最少的材料设计花园？ 【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米． 【项目解决】 目标1：确定面积与边长关系． 当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长． 目标2：探究最少的材料方案． 现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米． （1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． （2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米． 24. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $