精品解析：2024年湖北省十堰市竹山县初中学业水平考试诊断训练数学试题

2024年初中学业水平考试诊断训练 数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 有四包真空小包装零食，每包以标准克数（100克）为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（　　） A. ﹣1 B. ﹣2 C. +3 D. ﹣4 2. 榫卯是我国古代建筑、家具一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若不等式组的解集为，则以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. 3x+3y=6xy B. a2•a3=a6 C. b6÷b3=b2 D. （m2）3=m6 5. 下列说法中正确的是（　　） A. 一组数据2、3、3、5、5、6，这组数据中没有众数 B. 袋中有10个蓝球，1个绿球，随机摸出一个球是绿球的概率是0.1 C. 对湛江市区全年水质调查，适合用全面调查 D. 画出一个三角形，其内角和是180度为必然事件 6. 将一个含有角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成的），则n的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴，且，则点B的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，是的直径，，分别切于点、，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若关于x的一元二次方程的两根为，则 D. 点，在抛物线上，当时 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算：___________． 12. 已知正比例函数的图象经过，则当时，函数y的值为___________． 13. 在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中S1，S2，S3表示电路的开关，L表示小灯泡，R为保护电阻．若闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，则小灯泡L发光的概率为_______ 14. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？根据题意，可求得共有______人． 15. 在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接交于点F（所给图形仅仅是示意图）．当是直角三角形时，___________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，四边形是平行四边形，且对角线，交于点，，，． 求证：四边形是菱形． 18. 甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？ 19. 新时代党的教育方针是：坚持马克思主义指导地位，坚持中国特色社会主义教育发展道路，坚持社会主义办学方向，立足基本国情，遵循教育规律，坚持改革创新，以凝聚人心、完善人格、开发人力、培育人才、造福人民为工作目标，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．这里“德智体美劳”就是要“五育并举”，其中“劳”就是劳动教育，家务劳动是劳动教育的一个重要方面．某校为了了解学生掌握劳动教育知识的情况，举行了“劳动光荣”为主题的知识竞答活动． 【收集数据】从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞答成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）. 【整理数据】将抽取的七年级的20名学生的成绩进行整理，得出了以下信息． 七年级20名学生测试成绩为：9，9，8，5，8，7，6，6，9，7，6，7，9，7，10，6，7，8，7，9． 【描述数据】根据统计数据得到八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图： 【分析数据】七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 7.5 7 八年级 7.5 8 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的a，b，c的值； （2）该校七、八年级共1600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ （3）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握劳动教育知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； 20. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． （1）求这两个函数的关系式． （2）结合图象直接比较：当时，根据自变量：x的取值范围比较和的大小． 21. 如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若线段与的交点是的中点，的半径为6，求阴影部分的面积． 22. 有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃． （1）存放x天后将鲜葡萄一次性出售，设鲜葡萄的销售金额为y元，写出y关于x的函数关系式； （2）为了使鲜葡萄的销售金额为760元，又为了尽早清空冷藏室，则需要在几天后一次性出售完； （3）问个体户将这批葡萄存放多少天后一次性出售，可获得最大利润?最大利润是多少?(本题不要求写出自变量x的取值范围) 23. 将一个矩形和一个如图1放置，已知，，，点是和的中点，将绕点顺时针旋转． （1）如图2，当时，四边形是一个特殊的四边形．请你判断四边形的形状，并说明理由； （2）在（1）的基础上连接，通过探究发现，在旋转过程中，的值始终为定值，请你求出这个定值； （3）若将绕点旋转，当时，边与交于，如图3，试直接写出线段的长． 24. 如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点坐标是，点的坐标是．    （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点是第四象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）如图3，点是第三象限内抛物线上一点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，连接交于点，连接，若，时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中学业水平考试诊断训练 数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 有四包真空小包装零食，每包以标准克数（100克）为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（　　） A. ﹣1 B. ﹣2 C. +3 D. ﹣4 【答案】A 【解析】 【分析】实际克数最接近标准克数的是绝对值最小的那个数． 【详解】∵|﹣1|＜|﹣2|＜|+3|＜|﹣4|， ∴其中表示实际克数最接近标准克数的是﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查了正负数在生活中的应用，理解超过或者减少的克数越小，越接近标准是关键． 2. 榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的定义逐项判断即可． 【详解】解：根据三视图的定义，其俯视图是 ； 故选：C． 【点睛】本题主要考查三视图，牢记三视图的定义（对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图）是解题的关键． 3. 若不等式组的解集为，则以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在数轴上表示解集的方法判断即可． 【详解】解：若不等式组的解集为，在数轴上表示解集为： 故选：C． 【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. 3x+3y=6xy B. a2•a3=a6 C. b6÷b3=b2 D. （m2）3=m6 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案． 【详解】试题解析：A、3x与3y不是同类项，不能合并，故A选项错误； B、a2•a3=a5，故B选项错误； C、b6÷b3=b3 ，故C选项错误； D、（m2）3=m6 ，故D选项正确． 故选D． 5. 下列说法中正确的是（　　） A. 一组数据2、3、3、5、5、6，这组数据中没有众数 B. 袋中有10个蓝球，1个绿球，随机摸出一个球是绿球的概率是0.1 C. 对湛江市区全年水质调查，适合用全面调查 D. 画出一个三角形，其内角和是180度为必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数，概率的求法，全面调查与抽样调查以及随机事件分别判断即可． 【详解】解：A、一组数据2、3、3、5、5、6，这组数据中众数为3和5，故错误； B、袋中有10个蓝球，1个绿球，随机摸出一个球是绿球的概率是，故错误； C、对湛江市区全年水质调查，数量较多，适合用抽样调查，故错误； D、画出一个三角形，其内角和是180度为必然事件，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了众数，概率的求法，全面调查与抽样调查以及随机事件，属于基础题，理解各知识点的定义是解题的关键． 6. 将一个含有角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成的），则n的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．根据题意可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数． 【详解】解：∵， ∴， ∴正多边形的一个外角为， ∴， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴，且，则点B的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据轴，A，可得B点纵坐标为3，又知，可以得到B点位于A左右两边的两个坐标点． 【详解】解：∵轴，A， ∴B点的纵坐标和A点的纵坐标相同为3， ∵， ∴在直线上可以找到两个到A点距离为4的点， 一个在A点左边为，一个在A点右边为， ∴B点坐标为或， 故选：C． 9. 如图，是的直径，，分别切于点、，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出的度数是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．连，根据切线的性质得到，根据和求出，可得，再根据四边形的内角和为即可计算出的度数． 【详解】解：连，如图， 、分别切于点、， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若关于x的一元二次方程的两根为，则 D. 点，在抛物线上，当时 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解题的关键．根据对称轴为得到，即可判断A选项；根据当时，，即可判断B选项；根据已知可得即可判断C选项；根据当时，y随着x的增大而增大即可判断D选项． 【详解】解：A．抛物线的对称轴为直线，则，则，即，故选项错误，不符合题意； B．抛物线的对称轴为直线，点A的坐标为，当时，，故选项错误，不符合题意； C．抛物线的对称轴为直线，若点A的坐标为，可得点，即关于x的一元二次方程的两根，，故选项正确； D．∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随着x的增大而增大， ∴点，在抛物线上，当时，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算：___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握同分母分式的加减法则是解题的关键．利用同分母分式的加减法则计算即可． 【详解】解：． 故答案：1． 12. 已知正比例函数的图象经过，则当时，函数y的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，把点代入，得出k，再把代入即可得出y的值，掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数的解析式为， 把代入，得， 故答案为：． 13. 在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中S1，S2，S3表示电路的开关，L表示小灯泡，R为保护电阻．若闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，则小灯泡L发光的概率为_______ 【答案】； 【解析】 【分析】利用列表法列出开关所有的闭合情况，再找出闭合任意两个开关时，小灯泡发光的情况，根据概率公式解题即可． 【详解】解：列表法如图所示： 如上表所示，共有6种情况，其中必须闭合S1，S3小灯泡才会发光，则有两种情况． 所以小灯泡L发光的概率为． 故答案为． 【点睛】本题考查了求概率的方法，熟练应用树状图法或列表法求出所求情况数和总情况数，本题还需要结合物理知识，理解必须闭合S1，S3小灯泡才会发光这个知识点是解题的关键． 14. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？根据题意，可求得共有______人． 【答案】39 【解析】 【分析】设共有x人，y辆车，根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设共有x人，y辆车， 依题意得：， 解得：． ∴共有39人，15辆车， 故答案为：39． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15. 在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接交于点F（所给图形仅仅是示意图）．当是直角三角形时，___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，根据，，可得，再由直角三角形两锐角的关系可得，，然后分两种情况讨论：当时，当时，分别进行计算即可得到答案，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 由折叠知：， ∵ ， ∴，， 如图，当时，则， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当时，则，   ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， 综上，值为或， 故答案为：或． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．根据零指数幂的意义，二次根式的性质，特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，四边形是平行四边形，且对角线，交于点，，，． 求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质与已知得出AB=OB，易证四边形ABOE是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵，． ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键． 18. 甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？ 【答案】特快列车的平均速度为，动车的速度为． 【解析】 【分析】设特快列车的平均速度为，则动车的速度为，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设特快列车的平均速度为，则动车的速度为， 由题意，得：， 解得：， 经检验得：是这个分式方程的解． ∴． 答：特快列车的平均速度为，动车的速度为． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 19. 新时代党的教育方针是：坚持马克思主义指导地位，坚持中国特色社会主义教育发展道路，坚持社会主义办学方向，立足基本国情，遵循教育规律，坚持改革创新，以凝聚人心、完善人格、开发人力、培育人才、造福人民为工作目标，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．这里“德智体美劳”就是要“五育并举”，其中“劳”就是劳动教育，家务劳动是劳动教育的一个重要方面．某校为了了解学生掌握劳动教育知识的情况，举行了“劳动光荣”为主题的知识竞答活动． 【收集数据】从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞答成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）. 【整理数据】将抽取的七年级的20名学生的成绩进行整理，得出了以下信息． 七年级20名学生的测试成绩为：9，9，8，5，8，7，6，6，9，7，6，7，9，7，10，6，7，8，7，9． 【描述数据】根据统计数据得到八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图： 【分析数据】七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 7.5 7 八年级 7.5 8 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的a，b，c的值； （2）该校七、八年级共1600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ （3）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握劳动教育知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； 【答案】（1），，； （2）1480人； （3）八年级学生掌握劳动教育知识较好，见解析． 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求出a和b的值．求出八年级学生成绩为8分及以上的人数，再除以八年级被调查的总人数即可得出c的值； （2）求出七、八年级样本中成绩合格的学生人数所占百分比，再乘总人数即可． （3）由平均数和中位数的定义即可解答； 本题考查条形统计图，众数和中位数的定义，由样本估计总体等知识．理解题意，由题意和统计图得到必要的信息和数据是解题关键． 【小问1详解】 由题中数据可知七年级20名学生的测试成绩为7分的人数最多， ∴； 八年级学生的成绩按顺序排列后位于最中间的两名同学的成绩分别为7分和8分， ∴； 由题中数据可知八年级学生成绩为8分及以上的人数有人， ∴； 【小问2详解】 （人）， 答：估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是1480人 【小问3详解】 我认为八年级学生掌握劳动教育知识较好 理由：因为七年级、八年级学生知识竞答活动平均分一样均为7.5分，但是八年级的中位数为7.5分大于七年级的中位数7分．因此我认为八年级学生掌握劳动教育知识较好 20. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． （1）求这两个函数的关系式． （2）结合图象直接比较：当时，根据自变量：x的取值范围比较和的大小． 【答案】（1）， （2）当时，，当时， 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出k值即可，进而求出B点坐标，再把A、B的坐标代入一次函数解析式求出即可； （2）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． 【小问1详解】 ∵函数图象过点， ∴，即， 又∵点在上， ∴， ∴， 又∵一次函数的图象交于点和点， 则，解得， ∴， 综上可得：，； 【小问2详解】 ∵， ∴根据图象可知： 当时，， 当时， 当时，． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的关系式，结合图象比较函数值的大小，解题的关键是正确求解函数关系式． 21. 如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若线段与的交点是的中点，的半径为6，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵，是的中点， ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃． （1）存放x天后将鲜葡萄一次性出售，设鲜葡萄的销售金额为y元，写出y关于x的函数关系式； （2）为了使鲜葡萄的销售金额为760元，又为了尽早清空冷藏室，则需要在几天后一次性出售完； （3）问个体户将这批葡萄存放多少天后一次性出售，可获得最大利润?最大利润是多少?(本题不要求写出自变量x的取值范围) 【答案】（1） （2）10天 （3）存放45天后出售获得最大利润405元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数的最值，解题的关键是求出二次函数的解析式． （1）根据“销售金额销售单价销售数量”即可列出函数解析式，整理化简即可； （2）令，解方程，取较小的值即可； （3）设利润为w元，则，整理后根据二次函数性质求得最大值即可． 【小问1详解】 解：y关于x的函数关系式为： ； 【小问2详解】 解：当时，， 解方程得，， ∵要尽早清空冷藏室， 所以， 答：要在10天后一次性出售完，可获得销售金额760元； 【小问3详解】 解：设利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w有最大值为：． 答：这批葡萄存放45天后一次性出售，可获得最大利润405元． 23. 将一个矩形和一个如图1放置，已知，，，点是和的中点，将绕点顺时针旋转． （1）如图2，当时，四边形是一个特殊的四边形．请你判断四边形的形状，并说明理由； （2）在（1）的基础上连接，通过探究发现，在旋转过程中，的值始终为定值，请你求出这个定值； （3）若将绕点旋转，当时，边与交于，如图3，试直接写出线段的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质和锐角三角函数求解是解答的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得到结论； （2）证明得到，，再证明得到，求解、即可求解； （3）过作于，延长交于，则四边形是矩形，，，易求，解直角三角形分别求得、、即可求解． 【小问1详解】 解：四边形为矩形， 理由如下： ∵点是和的中点 ∴，， ∴四边形为平行四边形 又∵， ∴四边形为矩形． 【小问2详解】 解：连接，，         ， 由（1）得， 由题意得：，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过作于，延长交于，则四边形是矩形， ， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，则， ∴， ∴． 24. 如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是．    （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点是第四象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）如图3，点是第三象限内抛物线上一点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，连接交于点，连接，若，时，求点的坐标． 【答案】（1） （2），． （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求出点坐标，根据点的横坐标，得出，待定系数法求求出直线的解析式为，再求出点坐标，求出的值，即可求解； （3）过点作轴交于点，过点作交于点，交轴于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，则，求出，，根据题意得出，，根据锐角三角函数求出，得出，推得，根据等腰直角三角形的定义得出，结合对顶角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，根据等角的余角相等得出，根据两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，推得，根据锐角三角函数求出，即可求解． 【小问1详解】 解：将点和点的坐标代入，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点， 故当时，， 解得：或， ∴， ∵点是第四象限内抛物线上一点，且点的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为， 将点和点的坐标代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴直线与轴交点的坐标是， ∴， ∵点在第四象限， ∴． 【小问3详解】 解：过点作轴交于点，过点作交于点，交轴于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图： 根据点是第三象限内抛物线上一点，设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， 即 故， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 即 解得：， 则， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形的相关计算等．熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$