第一章 勾股定理 复习课件2024－2025学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 一、概念 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 a b c 勾 股 弦 在西方又称 毕达哥拉斯定理 二、定理的验证 方法一：1876年，美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理.你能利用它验证勾股定理吗？ c c b b a a 等面积法 P7 2 方法二：据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，你能说说其中的道理吗？ a b b b c a a a b c a b a b c P17 7 （图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC C A B 方法三： a2+b2= c2 a b c 1.如图所示，已知直角三角形的两直角边，则斜边是多少？ 3 4 c 解：在直角三角形中，由勾股定理可知： 例题 2. 如图，求等腰三角形ABC的面积. A B C 6cm 5cm 5cm 解：过点C作CD⊥AB于D. ∵AC=BC，CD⊥AB ∴AD=BD=3 在Rt△ACD中，由勾股定理可知： CD2=AC2-AD2 =52-32 =16 ∵CD>0 ∴CD=4 D 3.求下列图中字母所表示的正方形面积. （1） （2） 225 400 A B 225 81 拓展提升 如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？ P17 6 S1+S2=S3 1 2 3 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 三、直角三角形判定: 即如果三角形的三边长a，b，c满足 那么这个三角形是直角三角形. 满足 的三个正整数，称为勾股数. 例如：3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； ... 哪条边所对的角是直角? 勾股数 3，4，5 5，12，13 8，15，17 7，24，25 直角三角形a、b、c三边都扩大k倍后，得到的三角形还是直角三角形吗？ 是！！ 解：在△ABD中，∵AB2+AD2=9+16=25=BD2， ∴∠A=90°. 如图，已知各边的长度，四边形ABCD的面积是多少？ 在△BCD中，∵BD2+BC2=25+144=169=CD2， ∴∠DBC=90° . 例题 四、勾股定理应用 类型一 最短距离 1.如图，有一个底面半径为3 cm，高为12 cm的圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，请问它需爬行的最短路程约是多少？(π取整数3) A B A B C 解：圆柱展开图如右图，则AB为最短距离. 已知AC=12，BC= πd =9, 在Rt△ABC中，由勾股定理可知： AB²=AC²+BC²=225 ∵AB>0, ∴AB=15, 即最短路程约为15cm. 2. 如图，有一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ 8cm 8cm 12cm B A 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解：设滑道AC的长度为x米，则AB的长度为x米，AE的长度为（x-1）米. 在Rt△ACE中，由勾股定理得： AE²+CE²=AC² 即(x-1)²+3²=x² 解得x=5. 故滑道AC的长度为5米. 类型二 利用勾股定理列方程 1. 如图，若将AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3cm，CD=1cm，试求滑道AC的长. A E C D B 3 1 x x-1 2. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ B C A D x x+1 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 小结 1.勾股定理； 2.勾股定理的应用； 3.勾股定理的逆用. $$