精品解析：山东省泰安市岱岳区开元中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

山东省泰安市岱岳区开元中学 2024-2025学年上学期9月月考九年级数学试题 一、单选题 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果等于（　　） A. B. C. D. 3. 在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的图象分布在第二、四象限 B. 一次函数的图象不经过第一象限 C. 对于一次函数，y随x的增大而增大 D. 若点，都在反比例函数图象上，且，则 5. 点都在反比例函数的图像上，则（　　） A. B. C. D. 6. 如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 3 8. 如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 函数y=kx﹣3与y=（k≠0）在同一坐标系内的图像可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. B. C. D. 2 11. 如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、填空题 13. 若反比例函数的图象经过点和，则的值为 _____． 14. 如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为，那么该大坝迎水坡的长度为______米． 15. 小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间（分）与骑车速度（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是__________千米/分． 16. 如图，在中，，，．点D在上，，连接，则__________． 17. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为__________米．（参考数据：，，） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点在第二象限内，，反比例函数的图象经过，两点．若的面积是6，则的值为 _______． 三、解答题 19. 计算：； 20. 如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 21. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 22. 直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围； （3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 23. 如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． （1）求B，C两处的距离； （2）该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 24. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 25. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． （1）求k的值． （2）x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省泰安市岱岳区开元中学 2024-2025学年上学期9月月考九年级数学试题 一、单选题 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵-2×（-6）=12，-2×6=-12，3×4=12，-4×（-3）=12， ∴点（-2，6）在反比例函数图象上． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线；图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 2. 计算的结果等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和特殊角的三角函数值，掌握二次根式的运算的运算法则是解答本题的关键．先将的值代入计算，再根据二次根式的运算法则运算即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数和勾股定理．根据题意画图，由，设，，利用勾股定理求出，根据正切定义求解即可． 【详解】解：由题意可画图如下： 在中，，， ． 设，，则， ， 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的图象分布在第二、四象限 B. 一次函数的图象不经过第一象限 C. 对于一次函数，y随x的增大而增大 D. 若点，都在反比例函数图象上，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数的性质是解答的关键．分别根据一次函数和反比例函数的图象与性质逐项判断求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、二象限， 故此选项说法错误，不符合题意； B、∵，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四，不经过第一象限， 故此选项说法正确，符合题意； C、∵， ∴对于一次函数，y随x的增大而减小， 故此选项说法错误，不符合题意； D、∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴当或时，， 故此选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 5. 点都在反比例函数的图像上，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据点的坐标特征即可得出结论． 【详解】解：∵在反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵ ∴点在第三象限，在第三象限， ∴ ∴， 故选：B 6. 如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求出，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵函数和函数的图象相交于点， ， ， ， 由图象可得：若，则的取值范围是或， 故选：C． 7. 如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了解直角三角形，解题的关键是理解正弦的定义． 根据算出，再算出，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， ， 这栋楼的高度为， 故选：A． 9. 函数y=kx﹣3与y=（k≠0）在同一坐标系内的图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据当k＞0、当k＜0时，y=kx-3和y=（k≠0）经过的象限，二者和选项一致的即为正确答案． 【详解】解：∵当k＞0时，y=kx-3过一、三、四象限，反比例函数y=过一、三象限， 当k＜0时，y=kx-3过二、三、四象限，反比例函数y=过二、四象限， ∴B正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像性质和一次函数的图像性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 10. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作轴于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵若点A在反比例函数（）的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵经过点B的反比例函数图象在第二象限， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数k的几何意义，正确得出是解题关键． 11. 如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，然后根据正切的概念求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴，， 由折叠可得，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则 在中， 解得： ． 故选C． 【点睛】此题考查了勾股定理、矩形的折叠问题、全等三角形的性质和判定、正切的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，全等三角形的判定和性质． 过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E，推出为反比例函数图象的对称轴，通过证明，得出，的面积，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E， 由旋转可知， ∵， ∴点A和点B关于对称，， ∴为反比例函数图象的对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴的面积， 故选：D． 二、填空题 13. 若反比例函数的图象经过点和，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，并求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和， ， ，即， ∴， 故答案为：． 14. 如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为，那么该大坝迎水坡的长度为______米． 【答案】15 【解析】 【分析】过点B作BC⊥AC于C，由迎水坡的坡度为，得到tan∠BAC=，求出AC=9米，再利用勾股定理求出答案． 【详解】过点B作BC⊥AC于C， ∵迎水坡的坡度为， ∴tan∠BAC=， ∵BC=12米， ∴AC=9米， ∴AB===15(米)， 故答案为：15． ． 【点睛】此题考查坡度的定义，解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解迎水坡的坡度为得到tan∠BAC=是解题的关键． 15. 小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间（分）与骑车速度（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是__________千米/分． 【答案】 【解析】 【分析】先求出小宇家到学校的距离和函数关系式，再把t=15代入函数关系式即可得到结果． 【详解】解：由图知小宇家到学校的距离是：0.15×20=3（km）， 设函数的解析式为：（t＞0） 又s=3， ∴（t＞0） 当t=15时，（千米/分）． 故答案为：0.2． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 16. 如图，在中，，，．点D在上，，连接，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点E，根据正切值，设，则，利用勾股定理求出，，进而得到，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点E， ，． 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：或（舍）， ，， ， ， 在中，， 故答案为：． 17. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为__________米．（参考数据：，，） 【答案】74 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题关键． 根据题意可得，则，再通过解直角三角形求得和，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题知, ∴, 在， ∴, ∴, 在中，, ∴, ∴． 故答案为：74． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点在第二象限内，，反比例函数的图象经过，两点．若的面积是6，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，设点坐标为，点坐标为，根据比例关系求出点的坐标，最后根据的几何意义和三角形的面积公式联立即可求出结果． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，设点坐标为，点坐标为， ，， ， 又， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 由题意得，， 解得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中比例系数的几何意义、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，解题的关键是表示出点的坐标． 三、解答题 19. 计算：； 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的加减计算．先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 20. 如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 【答案】6 【解析】 【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：延长DA交CB的延长线于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=90°， ∵∠DAB=120°， ∴∠EAB=60°， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=24， ∵∠D=90°， ∴∠C=60°， ∴DE= CD=30， ∴AD=DE-AE=6． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 21. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）； （2）电线塔的高度． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 22. 直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围； （3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键． （1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答； （2）根据函数图像确定不等式的解集即可； （3）先把代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，， 点坐标为，点坐标为， 把A点坐标，点坐标分别代入,可得，解得： ， 一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象可知，当时，或． 【小问3详解】 解：把时代入中，得， 点坐标为，即， ． 23. 如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． （1）求B，C两处的距离； （2）该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 【答案】（1）B，C两处的距离为16海里 （2）渔政船的航行时间为小时 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形． （1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答； （2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答． 【小问1详解】 解：过点A作于点E， ∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴B，C两处的距离为16海里． 【小问2详解】 解：过点D作于点F， 设海里， ∵， ∴， 由（1）可知，海里， ∴海里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴海里，海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）， 答：渔政船的航行时间为小时． 24. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 25. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． （1）求k的值． （2）x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10 （2）存在，或或或或 【解析】 【分析】此题是一道反比例函数综合题，涉及待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程； （1）先求出，再根据求出点坐标，最后代入计算即可； （2）先求出，，再设，根据为等腰三角形列方程求解即可． 【小问1详解】 对于，当时，． ∴， ∴， 设点B的横坐标为t，则 ∵， ∴， 解得． ∴， 把代入中，得 ∴． 【小问2详解】 由（1）得，则反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，． 设，则 ，，． ①若，即， ∴， 解得． 此时点E的坐标为．· ②若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， ③若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， 综上所述，x轴上存在一点或或或或，使为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $