5.3 第1课时 公式二、公式三和公式四-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

课时分层作业(四十六)　公式二、公式三和公式四 一、选择题 1．若sin A＝，则sin (6π－A)的值为(　　) A． B．－ C．－ D． 2．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos (π－θ)的值为(　　) A．－　 B．－ C． D． 3．sin 210°cos 120°的值为(　　) A． B．－ C．－ D． 4．已知sin ＝，则sin ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 5．(多选)已知△ABC的内角A，B，C，下列式子中正确的有(　　) A．sin (B＋C)＝sin A B．cos (B＋C)＝cos A C．tan (B＋C)＝tan A D．sin 2A＋cos 2(B＋C)＝1 二、填空题 6．已知sin (π－α)＝，则cos (α－2 025π)＝________． 7．已知tan ＝5，则tan ＝________． 8．若tan (5π＋α)＝m，则的值为________． 三、解答题 9．设角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边上有一点P，且tan α＝－． (1)求a及sin α，cos α的值； (2)求的值． 10．在△ABC中，A＝，则sin A－cos (B＋C)的值为(　　) A． B． C． D．2 11．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)＝(　　) A． B． C． D．－ 12．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”．已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是(　　) A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝ C．tan β＝ D．cos (2π－β)＝－ 13．(2021·北京高考)若点P(cos θ，sin θ)关于y轴的对称点为Q，则θ的一个取值为________． 14．已知<α<，cos ＝m(m≠0)，求tan 的值． 15．设k为整数，化简：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3　诱导公式 第1课时　公式二、公式三和公式四 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：(1)角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称． (2)点P1与点P关于原点对称． (3)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan (π＋α)＝tan α． 探究问题2　提示：(1)角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，点P2与点P关于x轴对称． (2)点P与点P2的横坐标相等，纵坐标相反． 探究问题3　提示：角π－α与角α的终边与单位圆的交点关于y轴对称，两点的横坐标相反，纵坐标相等． 新知生成　1．－sin α　－cos α　tan α 2．－sin α　cos α　－tan α 3．sin α　－cos α　－tan α 典例讲评　1．解：(1)sin ＝sin ＝－sin ＝－． (2)cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－． (3)tan (－1 560°)＝－tan 1 560°＝－tan (4×360°＋120°)＝－tan 120°＝－tan (180°－60°)＝tan 60°＝． 学以致用　1.1　[由题意，原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) －cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330° ＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) －cos(360°－60°)sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝×＋× ＝1．] 探究2 典例讲评　2．解：因为cos ＝cos ＝－cos ＝－， sin2＝sin2 ＝sin2＝1－cos2 ＝1－＝， 所以cos－sin2 ＝－－＝－． 母题探究 1．解：cos＝cos ＝cos ＝cos ＝． 2．解：cos －sin2＝cos－sin2＝－cos－sin2＝－－＝－． 学以致用　2．A　[因为105°－α＝180°－(75°＋α)，cos(75°＋α)＝， 所以cos (105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)] ＝－cos (75°＋α)＝－． 故选A．] 探究3 典例讲评　3．(1)－1　(2)－1　[(1) ＝＝－1． (2)原式＝ ＝＝－1．] 学以致用　3．解：因为tan (π＋α)＝3，所以tan α＝3． 故 ＝ ＝＝＝7． [应用迁移] 1．D　[sin (－390°)＝sin (－360°－30°) ＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－． 故选D．] 2．ACD　[因为α＋β＝180°，所以α＝180°－β． 对于A选项，cos α＝cos (180°－β)＝－cos β，故A选项错误，B选项正确； 对于C选项，sin α＝sin (180°－β)＝sin β，故C选项错误， 对于D选项，由于sin α＝sin β， 所以sin β＝cos β，显然不一定成立，故D选项错误．故选ACD．] 3．　[sin (135°－α)＝sin [180°－(45°＋α)] ＝sin (45°＋α)＝．] 4．(1)－cos 2α　(2)－cos α　[(1) ＝ ＝＝－cos 2α． (2)＝ ＝－cos α．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3　诱导公式 第1课时　公式二、公式三和公式四 [学习目标]　1．了解公式二、公式三和公式四的推导方法．(逻辑推理) 2．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(数学运算) [讨论交流]　预习教材P188－P190，并思考以下问题： 问题1．π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？ 问题2．诱导公式二、三、四的内容是什么？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　诱导公式二～四 探究问题1　观察单位圆，回答下列问题： (1)角α与角π＋α的终边有什么关系？ (2)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？ (3)在(2)中，点P，P1的坐标有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题2(1)角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos (－α)，sin (－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ (2)点P与点P2的坐标有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题3　你能否借助π＋α，－α与α的终边关系，猜想到角π－α与α终边与单位圆的交点之间的关系，两交点的坐标有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 1．公式二 sin (π＋α)＝____________， cos (π＋α)＝____________， tan (π＋α)＝__________． 2．公式三 sin (－α)＝____________， cos (－α)＝__________， tan (－α)＝____________． 3．公式四 sin (π－α)＝__________， cos (π－α)＝____________， tan (π－α)＝____________． [典例讲评]　1．(源自苏教版教材)求值： (1)sin ；(2)cos ；(3)tan (－1 560°)． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化． (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值． [学以致用]　1．求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)sin (－1 050°)＝________． 探究2　给值(式)求值问题 [典例讲评]　2．已知cos ＝，求cos －sin 2的值． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [母题探究]　 1．若本例的条件不变，求cos 的值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．若本例的条件不变，求cos －sin 2的值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解决条件求值问题的技巧 [学以致用]　2．已知cos (75°＋α)＝，则cos (105°－α)的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 探究3　利用诱导公式化简 [典例讲评]　3．(1)化简： ＝________． (2)＝________． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数． (3)注意“1”的代换：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan ． [学以致用]　3．已知tan (π＋α)＝3， 求的值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．sin (－390°)的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 2．(多选)如果α＋β＝180°，那么下列等式中不成立的是(　　) A．cos α＝cos β B．cos α＝－cos β C．sin α＝－sin β D．sin α＝cos β 3．已知sin (45°＋α)＝，则sin (135°－α)＝________． 4．化简：(1)＝________； (2)＝________． 1．知识链：(1)诱导公式二～四； (2)给角求值，给值(式)求值． 2．方法链：数形结合、公式法． 3．警示牌：注意确定三角函数式的符号． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(四十六) 1．B　2．C　3．A　4．B　5．AD　 6．±　7．－5　8． 9．解：(1)∵tan α＝＝＝－，∴a＝－4． 又P，|OP|＝1， ∴sin α＝y＝－，cos α＝x＝． (2)原式＝＝cos 2α＝． 10．B　[∵A＝，A＋B＋C＝π， ∴sinA－cos (B＋C)＝sin A－cos (π－A)＝sin A＋cos A＝×＋＝．故选B．] 11．A　[sin (α－360°)－cos (180°－α) ＝sin α＋cos α＝m， sin (180°＋α)cos (180°－α)＝sin αcos α ＝＝．] 12．ABD　[∵sin (π＋α)＝－sin α＝－， ∴sin α＝，若α＋β＝π，则β＝π－α． A中，sin β＝sin (π－α)＝sin α＝．故A符合条件； B中，cos (π＋β)＝cos (2π－α)＝cos α＝±，故B符合条件； C中，tan β＝，即sin β＝cos β， 又sin 2β＋cos 2β＝1， 故sin β＝±，即C不符合条件； D中，cos (2π－β)＝cos [2π－(π－α)]＝cos (π＋α)＝－cos α＝±，故D符合条件．故选ABD．] 13．(答案不唯一)　[由题意可知 结合诱导公式可知θ＋＝π－θ＋2kπ，k∈Z，解得θ＝＋kπ，k∈Z． 即符合题意的θ可取．] 14．解：∵＋＝π， ∴－α＝π－， ∵<α<， ∴<α＋<π， ∴sin ＝＝， ∴tan ＝tan ＝－tan ＝－ ＝－． 15．解：法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)， 则原式＝ ＝ ＝＝－1； 当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1．所以原式＝－1． 法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos [(k－1)π－α]＝cos [(k＋1)π＋α]＝－cos (kπ＋α)，sin [(k＋1)π＋α]＝－sin (kπ＋α)， sin (kπ－α)＝－sin (kπ＋α)． 所以原式＝＝－1． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$