第4章 指数函数与对数函数 章末重构拓展-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

章末重构拓展 例1　解：(1)原式＝1－＋＝1－2＋＝． (2)原式＝lg 25＋lg 4－2－log34×＝lg 100－2－1＝－1． 例2　AB　[因为ax＝b－x，即ax＝， 所以a＝， 当a>1时，则0<b<1， 指数函数y＝bx在R上单调递减，且过点(0，1)； 对数函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增且过点(1，0)，将y＝logax的图象关于y轴对称得到y＝loga(－x)的图象， 则y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减且过点(－1，0)，故A符合题意； 当0<a<1时，b>1， 同理可得，指数函数y＝bx在R上单调递增，且过点(0，1)， y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递增且过点(－1，0)，故B符合题意．故选AB．] 例3　(1)C　(2)A　[(1)因为0<x<y<1，则 对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误； 对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误； 对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确； 对于D，函数y＝在R上单调递减，故>，D错误．故选C． (2)由题意可得，函数f (x)的定义域为(－1，1)，且f (－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f (x)，故f (x)为奇函数．又f (x)＝ln ＝ln ，易知y＝－1在(0，1)上单调递增，故f (x)在(0，1)上单调递增．] (3)解：①因为loga3>loga2，所以f (x)＝logax在[a，3a]上单调递增． 又f (x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1， 所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3． ②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝＋． 令t＝log3x，因为1x3， 所以0log3x1，即0t1． 所以y＝＋∈， 所以所求函数的值域为． 例4　(1)C　(2)B　[(1)易知函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减， 又f (1)＝2>0，f (2)＝－2<0， 所以由函数零点存在定理可知，函数f (x)在(1，2)上有零点． (2)令g(x)＝f (x)－2x， 因为方程f (x)－2x＝0恰有三个不同的实根， 所以可得函数g(x)＝ 恰有三个不同的零点． 如图，作出函数y＝－x＋2与y＝x2＋3x＋2的图象， 结合函数y＝－x＋2与y＝x2＋3x＋2的图象可知－1a<2，故选B．] 例5　解：(1)选择②y＝kax＋b(k>0，0<a<1，x0)作为函数模型． 由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③； 当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①． 故应选择②y＝kax＋b(k>0，0<a<1，x0)． 将表中前2 min的数据代入，得 解得 所以函数模型的解析式为y＝80×0.9x＋20． (2)由(1)中函数模型，有80×0.9x＋20＝60， 即0.9x＝，所以x＝log0.9， 即x＝＝≈≈6.54， 所以刚泡好的茶大约放置6.54 min能达到最佳饮用口感． (3)由y＝80×0.9x＋20为减函数，且当x越大时，y越接近20，考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实， 所以这种茶所在实验室的室温约为20 ℃． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 类型1　指数与对数的运算 1．本章主要学习了指数幂的运算、对数的运算性质及换底公式，其中指数与对数的互化、应用相应运算性质化简、求值是考查的重点． 2．掌握指数与对数的运算性质，提升数学运算素养． 【例1】　计算下列各式的值． (1)π0－＋； (2)2lg 5＋lg 4－eln 2－log34×log43． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　指数函数、对数函数的图象及应用 1．函数y＝ax及y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，前者恒过(0，1)点，后者恒过(1，0)点，两函数的单调性均由底数a决定．在解题中要注意由翻折、平移等变换得出的函数图象． 2．掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移、翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养． 【例2】　(多选)已知ax＝b－x，函数y＝loga(－x)与y＝bx的图象可能是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　D [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　指数函数、对数函数的性质及应用 1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围． 2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，提升数学运算和逻辑推理素养． 【例3】　(1)若0<x<y<1，则(　　) A．3y<3x B．logx3<logy3 C．log4x<log4y D．< (2)设函数f (x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f (x)是(　　) A．奇函数，且在(0，1)上单调递增 B．奇函数，且在(0，1)上单调递减 C．偶函数，且在(0，1)上单调递增 D．偶函数，且在(0，1)上单调递减 (3)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f (x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1． ①求a的值； ②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型4　函数的零点与方程的根 1．函数的零点就是相应方程的根，是相应函数图象与x轴交点的横坐标．因此，判断函数零点的个数问题常转化为方程根的求解或两函数图象交点个数问题．函数零点存在定理是判断函数是否存在零点的一种方法，注意其使用条件：(1)连续性；(2)异号性． 2．掌握函数零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养． 【例4】　(1)函数f (x)＝－2x的零点所在区间是(　　) A． B． C．(1，2) D．(2，3) (2)已知函数f (x)＝若方程f (x)－2x＝0恰有三个不同的实根，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，1) B．[－1，2) C．[－2，2) D．[0，2] [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型5　函数的实际应用 1．本章主要学习了两类函数模型：一类是指数型函数模型，通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基数，p为增长率，x为时间)；另一类是对数型函数模型，通常可表示为y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)．解题的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式，然后利用相应解析式解决实际问题． 2．掌握函数建模方法，提升数学建模素养． 【例5】　中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种茶叶用100 ℃的水泡制，等到茶水温度降至60 ℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1 min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从100 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃，现给出以下三种函数模型： ①y＝kx＋b(k<0，x≥0)； ②y＝kax＋b(k>0，0<a<1，x≥0)； ③y＝loga(x＋k)＋b(a>1，k>0，x≥0)． (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2 min的数据求出相应的解析式； (2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.01)； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少，并说明理由．(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$