第2章 微专题1 基本不等式的应用技巧-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

微专题强化练(一) 1．C　2．B　3．C　4．B　5．ABD 6．4－1　[因为x>0，y>0， 由xy＋2x－y＝10，得x＝， 所以x＋y＝＋y＝＋y＋2－12－1＝4－1， 当且仅当y＝2－2时，等号成立． 故x＋y的最小值为4－1．] 7．1　[因为4x2－3xy＋y2－z＝0，所以z＝4x2－3xy＋y2， 所以＝＝＝＝1， 当且仅当＝，即y＝2x时等号成立，所以的最大值为1 ．] 8．2　[因为ab＝a－b＋3，所以b＝＝1＋， 则a＋b＝a＋1＋2，当且仅当a＝－1，b＝＋1时，“＝”成立．] 9．解：(1)法一：由x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则1＝＋2＝，得xy64， 当且仅当＝，即x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64． 法二：因为x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 所以xy＝2x＋8y2， 所以xy8，即8，xy64， 当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立， 所以xy的最小值为64． (2)由(1)可得＋＝1， 则x＋y＝(x＋y) ＝10＋＋10＋2＝18， 当且仅当＝， 即x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题强化练(一)　基本不等式的应用技巧 一、选择题 1．若x>0，y>0且xy＝x＋4y＋5，则xy的最小值为(　　) A．1 B．5 C．25 D．12 2．已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则＋＋1的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 3．若正实数x，y满足xy＋3x＝3，则12x＋y的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知x>0，y>0，2x＋y＝3，则＋的最小值是(　　) A．3 B． C． D．9 5．(多选)已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则(　　) A．ab的最大值为8　 B．2a＋b的最小值为8 C．＋的最小值为 D．b＋的最小值为 二、填空题 6．已知x>0，y>0，xy＋2x－y＝10，则x＋y的最小值为________． 7．设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为________． 8．已知a>0，b>0，且ab＝a－b＋3，则a＋b的最小值为________． 三、解答题 9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题1　基本不等式的应用技巧 探究1 典例讲评　1．解：由题意知，＋＝(x＋2y)＝1＋＋＋45＋2＝9， 当且仅当＝，即x＝y＝时取等号． 所以＋的最小值为9． 母题探究 1．解：＋＝(x＋2y)＝＝， 当且仅当＝，即y＝2－，x＝2－2时取等号． 所以＋的最小值为． 2．解：由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4， 即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1， ∴＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]＝×(5＋4)＝， 当且仅当＝， 即x＝，y＝时等号成立． ∴＋的最小值为． 学以致用　1．解：由x＋2y＝2xy，得＋＝2， 3x＋y＝(3x＋y)＝＝， 当且仅当＝时取等号． 所以3x＋y的最小值为． 探究2 典例讲评　2．解：由2a＋b＝ab－1，得a＝， 因为a>0，b>0，所以a＝>0，又b＋1>0， 所以b>2， 所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋52＋5＝5＋2， 当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立． 所以a＋2b的最小值为5＋2． 学以致用　2．A　[由题意x>0，xy＋y＝4，可得y＝>0， 所以z＝3x＋＋2＝3(x＋1)－3＋＋2＝3(x＋1)＋－12－1＝4－1， 当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1时等号成立．故选A．] 探究3 典例讲评　3．解：(1)由题知a，b>0， 所以ab－4＝a＋2b2， 当且仅当a＝2b时，上式取“＝”， 所以ab－2－40， 所以，或， 因为a，b>0，所以ab8＋4， 所以ab有最小值8＋4． (2)由ab＝a＋2b＋4得a＝＝2＋， 又a>0，所以b>1， 所以a＋b＝b－1＋＋33＋2， 当且仅当b－1＝，即b＝1＋时，a＋b＝3＋2， 所以a＋b的取值范围为{a＋b|a＋b3＋2}． 学以致用　3．解：(1)因为a2＋b22ab，所以a2＋b2＋2ab4ab，即ab，即ab，当且仅当a＝b时取等号，所以ab＝a＋b＋3， 即(a＋b)2－4(a＋b)－120， 即(a＋b＋2)(a＋b－6)0， 解得a＋b6或a＋b－2， 即a＋b的取值范围为{a＋b|a＋b6，或a＋b－2}． (2)因为a>0，b>0，则ab>0， 所以ab＝a＋b＋32＋3， 即ab2＋3， 则ab－2－30，即(＋1)(－3)0，解得3，即ab9，当且仅当a＝b＝3时取等号． 所以ab的取值范围为{ab|ab9}． 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 微专题1基本不等式的应用技巧 在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的 条件，需要做一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明. 口探究1常数代换法求最值问题 [典例讲评11.已知x>0,y>0,x十2y=1,求是十多的最小值. [尝试解答] [母题探究] 1,将本例条件“x十2y=1”换成“x十2y=2”,求是十的最小值. 2.将本例条件“x十2y=1”换成“x十y=1”,求十市的最小值 反思领悟 用常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定 值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把1” 的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商· [学以致用]1.已知x0,0,x十2y=2y,求3x十y的最小值. 探究2消元法求最值 1/3 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [典例讲评]2.已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,求a+2b的最小值. [尝试解答 反思领悟对含有多个变量的求最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可 尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中，将问题 转化为只含有一个变量的求最值问题. [学以致用]2.设>0，y十y=4,则z=3x十y+2的最小值为() A.4V5-1 B.4V5+2 C.4V2+1 D.6 少探究3有和、有积、有常数求最值 [典例讲评]3.若a>0,b>0,且ab=a+2b十4. (1)求ab的最小值： (2)求a十b的取值范围 [尝试解答] 反思领悟对已知条件式中同时含有和、积与常数，求和或积的最值（或范围）问 题，一般先利用基本不等式进行和与积的转化，把条件等式替换为关于和或积的 二次不等式，再解此不等式即可 [学以致用]3.(1)设a,b∈R.若ab=a十b+3,求a十b的取值范围； (2)设a>0,b>0,若ab=a十b十3，求ab的取值范围.。 2/3 ◆独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK.C0m○ 您身边的互联网+教辅专家 [尝试解答] 提示》请完成《微专题强化练（一）》见第249页 3/3 ·独家授权侵权必究：