第1章 探究课1 集合中元素的个数与容斥原理-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

探究课1　集合中元素的个数与 容斥原理 典例探究 典例　(1)C　(2)B　[(1)画出Venn图如下： 设：只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人， 则139＋128＋115＋30－(x＋y＋z)＋20＝400， x＋y＋z＝32． (2)如图所示，设两种项目都参加的有x人，“你追我赶”为集合A，“携手共进”为集合B，则数学组共有5＋18－x＋x＋20－x＝43－x(x8)人，显然43－x35人． 故选B．] 对点训练 1．C　[根据题意，画出Venn图，如图所示，设同时提交隶书作品和行书作品的有x人，则20＋12＋8－32＝2＋4＋x，解得x＝2，即同时提交隶书作品和行书作品的有2人．故选C．] 2．8　5　[设A，B，C分别代表参加数学、物理、化学的人数，U表示该班总人数，作出Venn图， 由题意可得：card(U)＝50，card(A)＝24，card(B)＝28，card(C)＝19，card(A∩B∩C)＝7，card(A∩B)＝5，card(B∩C)＝3，card(A∩C)＝4， 所以只参加数学竞赛的学生有：24－5－7－4＝8(名)， 只参加物理竞赛的学生有：28－5－7－3＝13(名)， 只参加化学竞赛的学生有：19－4－7－3＝5(名)， 没有参加任何一科竞赛的学生有：50－24－13－3－5＝5(名)．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　集合中元素的个数与容斥原理 在计数时，要保证无一重复，无一遗漏，这种计数的方法称为容斥原理． (1)两个集合的容斥原理 用card(A)表示有限集合A中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card(A)＝3．一般地，对于任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 如图所示： (2)三个集合的容斥原理 一般地，对于任意三个有限集合A，B，C，有card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B) ＋card(C)－card(A∩B) －card(A∩C) －card(B∩C) ＋card(A∩B∩C )． 如图所示： 【典例】　(1)为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，则只参与两项活动的同学的人数为(　　) A．30 B．31 C．32 D．33 (2)某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8，则数学组教师人数至多为(　　) A．36 B．35 C．34 D．33 [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一(1)班共有32名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有12人提交了隶书作品，有8人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有2人．没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有(　　) A．4人 B．3人 C．2人 D．1人 2．某班参加数学、物理、化学竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7名，只参加数学、物理两科的有5名，只参加物理、化学两科的有3名，只参加数学、化学两科的有4名，若该班共有50名学生，则只参加数学竞赛的学生有________名；没有参加任何一科竞赛的学生有________名． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$