第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末重构拓展-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步课件(人教A版)

章末重构拓展 第二章　一元二次函数、方程和不等式 巩固层·知识重构 章末重构拓展 章末重构拓展 类型1　不等式的性质及应用 1．本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实．该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题，求解时注意直接法和特值法的应用． 2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养． 提升层·题型探究 章末重构拓展 章末重构拓展 【例1】　(1)已知M＝a2＋4a＋1，N＝2a－，则M与N的大小关系是 (　　) A．M≤N B．M<N C．M≥N D．M>N (2)(多选)若a<b<0，则有(　　) A．> B．0<<1 C．ab>b2 D．a2<b2 (3)已知2<a<3，－2<b<－1，则ab的取值范围为________________． √ √ √ －6<ab<－2 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 (1)D　(2)AC　(3)－6<ab<－2　[(1)因为M＝a2＋4a＋1，N＝2a－，所以M－N＝a2＋4a＋1－＝a2＋2a＋＝(a＋1)2＋>0， 所以M>N．故选D． (2)对于A，由a<b<0，得ab>0， 所以<，即>，故A正确； 对于B，由a<b<0，得>，即>1，故B错误； 对于C，由a<b<0，得ab>b2，故C正确； 对于D，由a<b<0，得－a>－b>0， 所以(－a)2>(－b)2，即a2>b2，故D错误． 故选AC． (3)因为－2<b<－1，所以1<－b<2， 又因为2<a<3，所以2<－ab<6， 所以－6<ab<－2．] 类型2　基本不等式及其应用 1．基本不等式≤(a>0，b>0)常有两种变形：ab≤和a＋b≥2．其充分体现了利用两个正数和与积互化求最值的技巧，在应用该知识点解决最值问题时，务必把握“一正、二定、三相等”这三个条件． 2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 【例2】　(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A． B． C． D． √ 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 (2)(多选)下列结论中正确的是(　　) A．y＝x＋的最小值是2 B．如果x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，那么xy的最大值为3 C．函数y＝的最小值为2 D．如果a>0，b>0，且＋＝1，那么a＋b的最小值为2 √ √ 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 (1)B　(2)BD　[(1)因为0<x<1，所以1－x>0． x(3－3x)＝3x(1－x)≤3＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．故选B． (2)对于A，如果x<0，那么y＝x＋<0，最小值是2不成立，故A错误； 对于B，如果x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则9＝x＋3y＋xy≥2＋xy，整理得()2＋2－9≤0， 解得0<，当且仅当y＝1，x＝3时取等号，所以xy的最大值为3，故B正确； 对于C，函数y＝＝＋≥2，当且仅当＝1时取等号，此时x无解，故不能取得最小值2，故C错误； 对于D，如果a>0，b>0，且＋＝1，那么a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2＝×－2＝－2≥2＋2－2＝2，当且仅当a＝1，b＝1时取等号，故D正确．] 【教用·备选题】　求下列函数的最值． (1)若正实数a，b满足a＋2b＝1，求＋的最小值； (2)已知x<1，求y＝4x＋1＋的最大值． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 [解]　(1)∵a>0，b>0，a＋2b＝1，∴(a＋1)＋2b＝2， ∴＋＝[(a＋1)＋2b] ＝≥＝×(6＋4)＝3＋2， ∴＋的最小值为3＋2． (2)∵x<1，∴1－x>0， ∴y＝4(x－1)＋＋5＝－＋5≤－2＋5＝1． 当且仅当4(1－x)＝，即x＝时取等号， ∴y的最大值为1． 类型3　一元二次不等式的解法 1．一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系，解此相关问题应把握三个关键点：一是函数图象的开口方向，二是方程是否有根，三是根的大小关系．把握好以上三点，数形结合给出相应解集即可，对于由此知识点派生出的恒成立问题，同样数形结合求解便可． 2．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 【例3】　已知函数y＝x2＋(2a－2)x＋b． (1)若不等式y>1的解集为{x|x<－2或x>3}，求a，b的值； (2)若b＝－4a，求不等式y≤0的解集． [解]　(1)由不等式y>1的解集为{x|x<－2或x>3}，得x2＋(2a－2)x＋b－1>0的解集为{x|x<－2或x>3}， 因此方程x2＋(2a－2)x＋b－1＝0的两根为－2和3，则解得a＝，b＝－5， 所以a＝，b＝－5． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 (2)当b＝－4a时，由y≤0得x2＋(2a－2)x－4a≤0，即(x－2)(x＋2a)≤0， 当a>－1时，－2a<2，解得－2a≤x≤2； 当a＝－1时，－2a＝2，解得x＝2； 当a<－1时，－2a>2，解得2≤x≤－2a， 所以当a>－1时，原不等式的解集为{x|－2a≤x≤2}； 当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x＝2}； 当a<－1时，原不等式的解集为{x|2≤x≤－2a}． 类型4　不等式在实际问题中的应用 1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题的关键． 2．利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 【例4】　为更好的开展高一社团活动，某校学生会各部门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个部门使用．如图，一份矩形宣传海报的排版面积(矩形ABCD)为P，根据设计要求，它的两边都留有宽为a的空白， 顶部和底部都留有宽为2a的空白． (1)若AB＝20 cm，BC＝30 cm，且该海报的面 积不超过1 000 cm2，求a的取值范围； (2)若a＝2 cm，P＝800 cm2，则当AB长多少时， 才能使纸的用量最少？ 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 [解]　(1)依题意可得(20＋2a)(30＋4a)≤1 000， 即2a2＋35a－100≤0， 解得－20≤a≤2.5． 又∵a>0， ∴0<a≤2.5， 故a的取值范围为{a|0<a≤2.5}． (2)记宣传海报的面积为S，设AB＝x cm，则BC＝ cm， ∴S＝(x＋4)·＝8x＋＋832≥2＋832＝ 1 152． 当且仅当8x＝，即x＝20时，等号成立， ∴当AB长为20 cm时，宣传海报面积最小，最小值为1 152 cm2． 章末综合测评(二)　一元二次函数、方程和不等式 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式(x－2)(1－2x)≥0的解集为(　　) A． B． C． D． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 章末重构拓展 章末重构拓展 B　[原不等式即为(x－2)(2x－1)≤0，解得≤x≤2， 故原不等式的解集为．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．已知x>2，则x＋的最小值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 A　[由x>2，知x－2>0， 所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝时，即x＝4时，等号成立， 所以x＋的最小值为6．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3．不等式≥0的解集为(　　) A． B． C． D． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 B　[由题意≥0，即 解得－≤x<1，即不等式≥0的解集为，故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．已知a＞b，且ab≠0，c∈R，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a2＞b2 B．＜ C． D．＞ √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D　[当a＝1，b＝－2时，1＞－2，而12＜(－2)2＝4，＞，而无意义，故ABC错误； 因为c2＋1＞0，所以＞，D正确．] 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 5．已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<－2}，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为(　　) A． B． C．{x|－3<x<2} D．{x|x<－3，或x>2} √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 A　[由于不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<－2}，所以 解得a＝－1，b＝－6， 所以不等式bx2－5x＋a>0， 即－6x2－5x－1>0，则6x2＋5x＋1<0， 即(3x＋1)(2x＋1)<0，解得－<x<－， 所以不等式bx2－5x＋a>0的解集为 ．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6．已知命题“∃x∈R，使(m－2)x2＋(m－2)x＋1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为(　　) A．m>6 B．2<m<6 C．2≤m<6 D．m≤2 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 C　[由题意可知∀x∈R，(m－2)x2＋(m－2)x＋1>0恒成立． ①当m－2＝0，即m＝2时，1>0恒成立； ②当m－2≠0时， 解得2<m<6．综上，2≤m<6．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．在欧几里得之后，获得与基本不等式等价结果的数学家是芝诺多鲁斯，他写了一本名为《论等周图形》的书，专门研究等周问题，在书中他给了这样一个命题：“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大．”由此可知，若一个矩形的长为a，宽为b，则与这个矩形周长相等的所有四边形中，面积最大值为(　　) A． B．a2 C．b2 D．ab √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 A　[由题知矩形周长为定值2(a＋b)，所以面积S＝a·b≤，当且仅当a＝b时取“＝”．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则(　　) A．小齐两次购买葡萄的平均价格比小港低 B．小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低 C．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格一样 D．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格无法比较 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 B　[设两次葡萄的单价分别为a元/千克和b元/千克，且a≠b， 则小齐两次均购买3千克葡萄，平均价格为＝元/千克， 小港两次均购买50元葡萄，平均价格为＝元． 因为－＝＝>0， 所以小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知2<x<3，2<y<3，则(　　) A．6<2x＋y<9 B．2<2x－y<3 C．－1<x－y<1 D．4<xy<9 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 ACD　[∵2<x<3，2<y<3， ∴4<xy<9．∴4<2x<6，6<2x＋y<9， ∴－3<－y<－2，－1<x－y<1，1<2x－y<4． 故选ACD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为x＝1，点B坐标为(－1，0)，则下面结论中正确的是(　　) A．2a＋b＝0 B．8a＋c<0 C．b2－4ac>0 D．当y<0时，x<－1或x>4 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 ABC　[因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1， 所以x＝－＝1，得2a＋b＝0，故A正确； 当x＝－2时，y＝4a－2b＋c＜0，把A选项代入得8a＋c<0，故B正确； 该函数图象与x轴有两个交点，则b2－4ac>0，故C正确； 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，点B坐标为(－1，0)， 所以点A的坐标为(3，0)，所以当y<0时，x<－1或x>3，故D错误．故选ABC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 BC　[对于A，B，由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤， 即1≥(x＋y)2－＝， ∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确； 对于C，D，由x2＋y2－xy＝1，得 x2＋y2－1＝xy≤， ∴x2＋y2≤2，故C正确，D错误．故选BC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若a<b，d<c，并且(c－a)(c－b)<0，(d－a)(d－b)>0，则a，b，c，d由小到大的顺序排列是________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 d<a<c<b　[由a<b且(c－a)(c－b)<0，则a<c<b， 由a<b且(d－a)(d－b)>0，则d>b或d<a， 综上，结合d<c，故d<a<c<b．] d<a<c<b 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 13．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边．现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为4，则该矩形周长的最大值为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 8　[设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则a2＋b2＝42＝16，a，b>0， 矩形周长为2(a＋b)， (a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤a2＋b2＋a2＋b2＝2(a2＋b2)＝32， 故a＋b≤4， 当且仅当a＝b＝2时等号成立， 故周长的最大值为8．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．若实数x>0，y>0，且满足x＋y＝8－xy．则xy的最大值为________；x＋y的最小值为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 4 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 4　4　[∵x>0，y>0，∴8－xy＝x＋y≥2， 即(＋4)(－2)≤0，解得0<xy≤4， 当且仅当x＝y＝2时，等号成立， ∴xy的最大值为4． 又8－(x＋y)＝xy≤， ∴[(x＋y)＋8][(x＋y)－4]≥0， ∴x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立． 即x＋y的最小值为4．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 [解]　因为－(a＋b)＝－b＋－a＝＋＝(a2－b2)＝(a2－b2)·＝，又a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，所以－(a＋b)>0，即＋>a＋b． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(本小题满分15分)已知函数y＝(m＋1)x2－mx＋1． (1)当m＝5时，求不等式y>0的解集； (2)若不等式y>0的解集为R，求实数m的取值范围． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)当m＝5时，得y＝6x2－5x＋1， 由y>0，得6x2－5x＋1>0，即(3x－1)(2x－1)>0， 解得x<或x>， 故不等式y>0的解集为． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 (2)由题意得，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R， 当m＝－1时，不等式可化为x＋1>0，解得x>－1，即(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为{x|x>－1}，不符合题意，舍去； 当m≠－1时，y＝(m＋1)x2－mx＋1的图象开口向上，且与x轴没有交点时，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以 解得 即2－2<m<2＋2， 综上，得2－2<m<2＋2． 故实数m的取值范围为{m|2－2<m<2＋2}． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(本小题满分15分)当a>0时，求关于x的不等式ax2－3x＋2>ax－1的解集． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　ax2－3x＋2>ax－1⇒ax2－(a＋3)x＋3>0⇒(ax－3)(x－1)>0，当a>0时， 方程ax2－3x＋2＝ax－1的两个根分别为，1． 当a＝3时，两根相等，故不等式的解集为{x|x≠1}； 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 当a>3时，<1，不等式的解集为； 当0<a<3时，>1，不等式的解集为． 综上，当a>3时，不等式的解集为； 当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠1}； 当0<a<3时，不等式的解集为． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(本小题满分17分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间有函数关系：y＝(v>0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01) (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 [解]　(1)y＝＝≤＝≈11.08． 当v＝，即v＝40(千米/时)时，车流量最大，最大值约为11.08千辆/时． (2)据题意有：≥10， 化简得v2－89v＋1 600≤0， 即(v－25)(v－64)≤0， 所以25≤v≤64． 所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64千米/时这个范围内． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(本小题满分17分)已知实数a，b，c满足a>b>c． (1)求证：＋＋>0； (2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得＋＋>0对任意的a，b，c恒成立，求p的值； (3)继续推广，自然数m，n，p满足什么条件时，不等式＋＋>0对任意a，b，c恒成立？ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 [解]　(1)证明：因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>0， 所以(a－c)＝[(a－b)＋(b－c)] ＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即a－b＝b－c，即a＋c＝2b时等号成立， 所以＋≥>， 所以＋＋>0． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)＋＋>0恒成立，可变形为p<[(a－b)＋(b－c)]恒成立， 由(1)知[(a－b)＋(b－c)]的最小值为4， 所以p<4． 又p>1，且p∈N，所以p＝2或3． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)类似(2)，不等式＋＋>0恒成立， 即p<[(a－b)＋(b－c)]恒成立， 而[(a－b)＋(b－c)]＝m＋n＋＋≥m＋n＋2， 当且仅当＝， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 即(b－c)＝(a－b)时等号成立， 所以p<m＋n＋2，即p<()2， 即<． 所以当自然数m，n，p满足<时，不等式＋＋>0对任意a，b，c恒成立． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$