第2章 微专题2 不等式恒成立、能成立问题-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步课件(人教A版)

微专题2　不等式恒成立、能成立问题 第二章　一元二次函数、方程和不等式 在不等式的知识中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立、能成立．这类条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，解决这类题型常用的方法有：分离参数法、数形结合法、判别式法、更换主元法等． 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 探究1　在R上的恒成立问题 [典例讲评]　1．(1)已知关于x的不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　) A．{a|－4≤a≤4} B．{a|－4<a<4} C．{a|a≤－4，或a≥4} D．{a|a<－4，或a>4} √ 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 (2)若关于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围． (1)A　[由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4．] 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 (2)[解]　当m2－2m－3＝0时，m＝3或m＝－1． ①若m＝3，不等式可化为－1<0，显然对于x∈R恒成立，满足题意． ②若m＝－1，不等式可化为4x－1<0，显然不满足题意． 当m2－2m－3≠0时，由题目条件，知 得 即－<m<3． 综上所述，实数m的取值范围是． 反思领悟　不等式恒成立的情况 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意x∈R恒成立的条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意x∈R恒成立的条件是 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 (3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意x∈R恒成立的条件是 (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意x∈R恒成立的条件是 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意x∈R恒成立时满足的条件为或 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 [学以致用]　1．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0对任意实数x恒成立，则实数k的取值范围是_______________． {k|－3<k≤1}　[①当k－1＝0，即k＝1时，－1<0恒成立，符合题意． ②当k－1≠0时，由题意可知 解得－3<k<1． 综上可知－3<k≤1．] {k|－3<k≤1} 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 探究2　在给定范围上的恒成立问题 [典例讲评]　2．(1)若对任意的x>0，x2－mx＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是_____________． (2)∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围． (1){m|m<2}　[∀x>0，x2－mx＋1>0⇔m<x＋，而当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，则m<2，所以实数m的取值范围是{m|m<2}．] {m|m<2} 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 (2)[解]　由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0， 所以m(x2－x)<1可化为m<恒成立． 因为x2－x＝－≤6， 所以≥，所以m<． 故m的取值范围是． 反思领悟　在给定范围上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0． (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0． 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 [学以致用]　2．已知命题p：存在x∈R，使x2－ax＋1≤0成立． (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)命题q：∀x∈{x|0≤x≤2}，都有x2－2x－a≤0恒成立．如果命题p，q都是假命题，求实数a的取值范围． [解]　(1)若命题p为真命题，即存在x∈R，使x2－ax＋1≤0成立，则Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2， 故实数a的取值范围为{a|a≤－2，或a≥2}． 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 (2)由对任意实数x∈{x|0≤x≤2}，都有x2－2x－a≤0恒成立， 即x2－2x≤a在x∈{x|0≤x≤2}上恒成立， 可得a≥(x2－2x)max，所以a≥0， 如果命题p，q都是假命题， 结合(1)可得 解得实数a的取值范围为{a|－2<a<0}． 探究3　解决简单的能成立问题 [典例讲评]　3．(1)若存在x∈R，使得≥2成立，则实数m的取值范围为(　　) A．{m|m≤0} B．{m|m>0} C．{m|m≥－2} D．{m|m<－2} (2)若x>0，不等式>m2－m有解，则实数m的取值范围是______________． √ {m|－1<m<2} 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 (1)C　(2){m|－1<m<2}　[(1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2， ∴m的取值范围为{m|m≥－2}． (2)∵x>0，∴＝≤＝2，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，∴＝2，∴m2－m<2，即(m＋1)(m－2)<0，得－1<m<2，∴实数m的取值范围是{m|－1<m<2}．] 反思领悟　解决能成立问题的方法 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值或最大值，求得参数的取值范围． 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 [学以致用]　3．(1)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a>4，或a<－4} B．{a|－4<a<4} C．{a|a≥4，或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4} (2)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a≥4，或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1} √ √ 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 (1)A　(2)A　[(1)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4． (2)因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解， 即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解， 只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点， 所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0， 即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0， 解得－1≤a≤4， 所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}．故选A．] 微专题强化练(二)　不等式恒成立、能成立问题 一、选择题 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是(　　) A． B． C． D． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 D　[一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 2．若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是 (　　) A．{m|m≤－2，或m≥2} B．{m|－2≤m≤2} C．{m|m<－2，或m>2} D．{m|－2<m<2} √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 A　[因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，即x2－mx＋1≤0有解， 所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2．] 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 3．已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　) A．{k|0≤k≤1} B．{k|0<k≤1} C．{k|k<0，或k>1} D．{k|k≤0，或k>1} √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 A　[当k＝0时，不等式为8≥0恒成立，符合题意；当k>0时，若不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立， 则Δ＝36k2－4k(k＋8)≤0，解得0<k≤1； 当k<0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0不能对任意x∈R恒成立．综上，k的取值范围是{k|0≤k≤1}．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 4．若当1≤x≤2时，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≥1} B．{a|a>1} C．{a|a≤1} D．{a|a<1} √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 D　[x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x> a在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1．] 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 5．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≥3} B．{m|m≤3} C．{m|m≤6} D．{m|m≥6} √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 D　[∵a>0，b>0，＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当3a＝b，即a＝4，b＝12时，“＝”成立． 若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立， 则－x2＋4x＋18－m≤16， 即－x2＋4x＋2≤m对任意实数x恒成立． ∵－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6≤6， ∴m≥6，故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 二、填空题 6．下列不等式在R上恒成立的是________． ①x2＋a2>0；②x2－ax＋a2≥0 ； ③－x2＋2x－2<0；④－x2－x－≤0 ． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 ②③④ 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 ②③④　[当a＝0时，x2＋a2>0在R上不恒成立；因为x2－ax＋a2＝＋a2，所以x2－ax＋a2≥0在R上恒成立；由－x2＋2x－2<0，得x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以－x2＋2x－2<0在R上恒成立；由－x2－x－≤0，得－≤0，所以－x2－x－≤0在R上恒成立．故填②③④．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 7．已知命题“∃x∈R，x2＋x＋a<0”是真命题，则实数a的取值范围为____________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 　[因为命题“∃x∈R，x2＋x＋a<0”是真命题，所以Δ＝1－4a>0，解得a<．] 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 8．设二次函数y＝kx2－kx＋． (1)若方程y＝0有实根，则实数k的取值范围是_____________； (2)若不等式y>0的解集为∅，则实数k的取值范围是________； (3)若不等式y>0的解集为R，则实数k的取值范围是________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 k<0或k≥3 ∅ 0<k<3 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 (1)k<0或k≥3　(2)∅　(3)0<k<3　[对于(1)，因为方程y＝0有实根，故解得k<0或k≥3． 对于(2)，因为不等式y>0的解集为∅，故 解得k∈∅． 对于(3)，不等式y>0的解集为R， 故故0<k<3．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 三、解答题 9．已知关于x的不等式x2＋mx>4x＋m－4． (1)若对任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对于0≤m≤4，不等式恒成立，求实数x的取值范围． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 微专题2　不等式恒成立、能成立问题 [解]　(1)若对任意实数x，不等式恒成立，即x2＋mx－4x－m＋4>0恒成立， 则关于x的方程x2＋mx－4x－m＋4＝0的判别式Δ＝(m－4)2－4(－m＋4)<0， 即m2－4m<0，解得0<m<4，所以实数m的取值范围为{m|0<m<4}． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 (2)不等式x2＋mx>4x＋m－4可看成关于m的一次不等式m(x－1)＋x2－4x＋4>0，又0≤m≤4，所以解得x≠2且x≠0， 所以实数x的取值范围是{x|x≠2且x≠0}． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 $$