第2章 微专题1 基本不等式的应用技巧-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步课件(人教A版)

微专题1　基本不等式的应用技巧 第二章　一元二次函数、方程和不等式 在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要做一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明． 微专题1　基本不等式的应用技巧 探究1　常数代换法求最值问题 [典例讲评]　1．已知x>0，y>0，x＋2y＝1，求＋的最小值． [解]　由题意知，＋＝(x＋2y)＝1＋＋＋4≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即x＝y＝时取等号． 所以＋的最小值为9． 微专题1　基本不等式的应用技巧 [母题探究]　 1．将本例条件“x＋2y＝1”换成“x＋2y＝2”，求＋的最小值． [解]　＋＝(x＋2y)＝≥＝， 当且仅当＝，即y＝2－，x＝2－2时取等号． 所以＋的最小值为． 微专题1　基本不等式的应用技巧 2．将本例条件“x＋2y＝1”换成“x＋y＝1”，求＋的最小值． [解]　由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4， 即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1， ∴＋＝·[(x＋2)＋(y＋1)]＝≥×(5＋4)＝， 微专题1　基本不等式的应用技巧 当且仅当＝， 即x＝，y＝时等号成立． ∴＋的最小值为． 反思领悟　用常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 微专题1　基本不等式的应用技巧 [学以致用]　1．已知x>0，y>0，x＋2y＝2xy，求3x＋y的最小值． [解]　由x＋2y＝2xy，得＋＝2， 3x＋y＝(3x＋y)＝ ≥＝， 当且仅当＝时取等号． 所以3x＋y的最小值为． 微专题1　基本不等式的应用技巧 探究2　消元法求最值 [典例讲评]　2．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，求a＋2b的最小值． [解]　由2a＋b＝ab－1，得a＝， 因为a>0，b>0，所以a＝>0，又b＋1>0， 所以b>2， 微专题1　基本不等式的应用技巧 所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2， 当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立． 所以a＋2b的最小值为5＋2． 反思领悟　对含有多个变量的求最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中，将问题转化为只含有一个变量的求最值问题． 微专题1　基本不等式的应用技巧 [学以致用]　2．设x>0，xy＋y＝4，则z＝3x＋y＋2的最小值为(　　) A．4－1 B．4＋2 C．4＋1 D．6 A　[由题意x>0，xy＋y＝4，可得y＝>0， 所以z＝3x＋＋2＝3(x＋1)－3＋＋2＝3(x＋1)＋－1≥2－1＝4－1， 当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1时等号成立．故选A．] √ 微专题1　基本不等式的应用技巧 探究3　有和、有积、有常数求最值 [典例讲评]　3．若a>0，b>0，且ab＝a＋2b＋4． (1)求ab的最小值； (2)求a＋b的取值范围． 微专题1　基本不等式的应用技巧 [解]　(1)由题知a，b>0， 所以ab－4＝a＋2b≥2， 当且仅当a＝2b时，上式取“＝”， 所以ab－2－4≥0， 所以，或， 因为a，b>0，所以ab≥8＋4， 所以ab有最小值8＋4． (2)由ab＝a＋2b＋4得a＝＝2＋， 又a>0，所以b>1， 所以a＋b＝b－1＋＋3≥3＋2， 当且仅当b－1＝， 即b＝1＋时，a＋b＝3＋2， 所以a＋b的取值范围为{a＋b|a＋b≥3＋2}． 反思领悟　对已知条件式中同时含有和、积与常数，求和或积的最值(或范围)问题，一般先利用基本不等式进行和与积的转化，把条件等式替换为关于和或积的二次不等式，再解此不等式即可． 微专题1　基本不等式的应用技巧 [学以致用]　3．(1)设a，b∈R．若ab＝a＋b＋3，求a＋b的取值范围； (2)设a>0，b>0，若ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围． 微专题1　基本不等式的应用技巧 [解]　(1)因为a2＋b2≥2ab，所以a2＋b2＋2ab≥4ab，即≥ab，即≥ab，当且仅当a＝b时取等号，所以ab＝a＋b＋3≤， 即(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0， 即(a＋b＋2)(a＋b－6)≥0， 解得a＋b≥6或a＋b≤－2， 即a＋b的取值范围为{a＋b|a＋b≥6，或a＋b≤－2}． (2)因为a>0，b>0，则ab>0， 所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab≥2＋3， 则ab－2－3≥0，即(＋1)(－3)≥0，解得≥3，即ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号． 所以ab的取值范围为{ab|ab≥9}． 微专题强化练(一)　基本不等式的应用技巧 一、选择题 1．若x>0，y>0且xy＝x＋4y＋5，则xy的最小值为(　　) A．1 B．5 C．25 D．12 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 微专题1　基本不等式的应用技巧 微专题1　基本不等式的应用技巧 C　[因为x，y>0，所以xy＝x＋4y＋5≥2＋5＝4＋5， 当且仅当x＝4y时取等号，解不等式xy≥4＋5⇒≥5，xy≥25，当x＝10，y＝时，取等号．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 2．已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则＋＋1的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 B　[因为a，b为正实数，且a＋b＝1， 所以＋＋1＝＋＋1＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立．故选B．] 微专题1　基本不等式的应用技巧 3．若正实数x，y满足xy＋3x＝3，则12x＋y的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 微专题1　基本不等式的应用技巧 C　[∵x>0，y>0，xy＝3－3x>0， ∴0<x<1，y＝， ∴12x＋y＝12x＋＝12x＋－3≥2－3＝9， 当且仅当即x＝时取等号， ∴12x＋y的最小值为9．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 4．已知x>0，y>0，2x＋y＝3，则＋的最小值是(　　) A．3 B． C． D．9 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 微专题1　基本不等式的应用技巧 B　[∵x>0，y>0，2x＋y＝3，所以(2x＋1)＋y＝4，则＋＝[(2x＋1)＋y]＝≥＝＝， 当且仅当＝且2x＋1＋y＝4，即x＝，y＝时取等号，则＋的最小值是．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 5．(多选)已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则(　　) A．ab的最大值为8　 B．2a＋b的最小值为8 C．＋的最小值为 D．b＋的最小值为 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 √ √ 微专题1　基本不等式的应用技巧 ABD　[因为16＝ab＋2a＋b≥ab＋2，当且仅当2a＝b时取等号，结合>0，解不等式得0<≤2，即ab≤8，故ab的最大值为8，A正确； 由16＝ab＋2a＋b，得b＝＝－2， 所以2a＋b＝2a＋－2＝2(a＋1)＋－4≥2－4＝8， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 当且仅当2(a＋1)＝，即a＝2时取等号，此时取得最小值8，B正确； ＋≥2＝2＝， 当且仅当a＋1＝b＋2时取等号，此时＋取得最小值，C错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 b＋＝＋－2＝－2＝＋－≥2－＝， 当且仅当＝，即a＝时取等号，此时b＋取得最小值，D正确．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 二、填空题 6．已知x>0，y>0，xy＋2x－y＝10，则x＋y的最小值为_________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 4－1　[因为x>0，y>0， 由xy＋2x－y＝10，得x＝， 所以x＋y＝＋y＝＋y＋2－1≥2－1＝4－1， 当且仅当y＝2－2时，等号成立． 故x＋y的最小值为4－1．] 4－1 微专题1　基本不等式的应用技巧 7．设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 1　[因为4x2－3xy＋y2－z＝0，所以z＝4x2－3xy＋y2， 所以＝＝≤＝＝1， 当且仅当＝，即y＝2x时等号成立，所以的最大值为1 ．] 1 微专题1　基本不等式的应用技巧 8．已知a>0，b>0，且ab＝a－b＋3，则a＋b的最小值为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 2　[因为ab＝a－b＋3，所以b＝＝1＋， 则a＋b＝a＋1＋≥2，当且仅当a＝－1，b＝＋1时，“＝”成立．] 2 微专题1　基本不等式的应用技巧 三、解答题 9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 微专题1　基本不等式的应用技巧 [解]　(1)法一：由x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则1＝＋≥2＝，得xy≥64， 当且仅当＝，即x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 法二：因为x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 所以xy＝2x＋8y≥2， 所以xy≥8，即≥8，xy≥64， 当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立， 所以xy的最小值为64． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 (2)由(1)可得＋＝1， 则x＋y＝·(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当＝， 即x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 $$