第1章 集合与常用逻辑用语 章末重构拓展-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步课件(人教A版)

章末重构拓展 第一章　集合与常用逻辑用语 巩固层·知识重构 章末重构拓展 章末重构拓展 巩固层 提升层 课时分层作业 章末重构拓展 类型1　集合的基本概念 1．理解集合的概念、集合中元素的特性、常用数集的表示、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能根据具体问题选择不同的表示方法，能在不同的表示方法之间进行转换． 2．掌握集合的基本概念，提升逻辑推理和数学抽象素养． 提升层·题型探究 章末重构拓展 章末重构拓展 【例1】　(1)已知集合A＝{0，2}，B＝{1，2，3}，C＝{ab|a∈A，b∈B}，则集合C中元素的个数为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 (2)(多选)已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}，下列关系正确的是(　　) A．(1，2)∈B B．A＝B C．0∉A D．2∈B √ √ √ 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 (1)C　(2)AC　[(1)因为A＝{0，2}，B＝{1，2，3}，a∈A，b∈B，所以ab＝0或ab＝2或ab＝4或ab＝6，故C＝{ab|a∈A，b∈B}＝{0，2，4，6}，即集合C中含有4个元素．故选C． (2)点(1，2)在函数y＝x2＋1图象上，有(1，2)∈B，A选项正确；集合A为数集，集合B为点集，A≠B，B选项错误；函数y＝x2＋1的函数值y的取值范围为{y|y≥1}，则A＝{y|y≥1}，0∉A，C选项正确；集合B为点集，2∉B，D选项错误．故选AC．] 类型2　集合的基本关系与运算 1．集合的运算主要包括交集、并集和补集的运算，它与集合的基本关系都是高考的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形结合分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． 2．掌握集合的基本关系与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 【例2】　已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}． (1)当a＝－时，求A∪B及其子集个数； (2)当A∪B＝A时，求实数a的取值范围． [解]　(1)A＝{0，－4}， 当a＝－时，B＝＝， 故A∪B＝，有24＝16个子集． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 (2)若A∪B＝A，则B⊆A， 当B＝A时，方程x2＋4x＝0与x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0是同一方程，故得a＝1． 当BA时： ①B＝∅时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，得a<－1； ②B≠∅时，B是单元素集，则Δ＝0， ∴a＝－1，此时B＝{0}，符合题意． 综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1，或a＝1}． 类型3　充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的判断和证明是平时考试的一个重点，常与不等式等知识结合命题，学会用集合的观点分析和解决充分条件与必要条件的判断和求参数的范围问题，提升转化和化归能力． 2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理能力和数学运算素养． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 【例3】　(1)(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A．x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件 B．x>0的必要不充分条件是x>1 C．Δ＝b2－4ac＝0是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的充要条件 D．x>y是x2>y2的既不充分也不必要条件 (2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}，q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． √ √ 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 (1)AD　[对于A，由x>2且y>3，得x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3， 所以x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件，A正确； 对于B，x>1可以推出x>0，但x>0不能推出x>1，所以x>1是x>0的充分不必要条件，B错误； 对于C，Δ＝b2－4ac＝0，可以推出ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根， 但是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根，推出Δ＝b2－4ac≥0， 所以Δ＝b2－4ac＝0是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的充分不必要条件，C错误； 对于D，由x>y不能推出x2>y2，比如－1>－2时，有(－1)2<(－2)2； 由x2>y2不能推出x>y，比如(－2)2>12时，有－2<1； 所以x>y是x2>y2的既不充分也不必要条件，D正确． 故选AD．] (2)[解]　∵q是p的充分不必要条件， ∴BA， ∴或 解得a≤－a4，或－≤a<0． ∴a的取值范围为． 类型4　全称量词命题和存在量词命题 1．全称量词强调的是“一切”“每一个”等，常用符号“∀”表示，而存在量词强调的是部分，常用符号“∃”表示，对于全称量词命题和存在量词命题的否定要把握两点：一是改量词，二是否结论． 2．掌握利用命题及其否定的真假求参数的范围的方法，提升逻辑推理能力和数学运算素养． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 【例4】　(1)(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　) A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0 B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，¬p是假命题 D．p是假命题，¬p是真命题 √ √ 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 (2)已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0．若命题p的否定是真命题，且命题q是真命题，求实数a的取值范围． (1)AC　[命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．p是真命题，¬p是假命题．] 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 (2)[解]　若p：“∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”为真命题，则a小于等于x的最小值，即a≤1，∴当命题p的否定是真命题时，命题p为假命题，∴a>1． 若q：“∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0”为真命题，则Δ＝4－4(2－a)≥0，解得a≥1． ∵命题p的否定是真命题，且命题q是真命题， ∴需满足解得a>1． 即实数a的取值范围为{a|a＞1}． 章末综合测评(一)　集合与常用逻辑用语 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝(　　) A．∅ B．{2} C．{0} D．{－2} √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 章末重构拓展 章末重构拓展 B　[由x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2， 则B＝{－1，2}，又A＝{－2，0，2}， 则A∩B＝{2}．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则x－y＝(　　) A．1 B．0 C．－1 D．1或－1 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A　[由题意，当x＝0时，y＝x2＝0，此时A＝{0，0}，不满足集合中元素互异性； 当y＝0时，x＝x2且x≠0，则x＝1，此时A＝B＝{0，1}满足条件．故x－y＝1．故选A．] 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 3．集合M＝{x∈N|0≤x<2}的子集的个数是(　　) A．16 B．8 C．7 D．4 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D　[因为M＝{x∈N|0≤x<2}＝{0，1}， 所以集合M的子集的个数为22＝4．故选D．] 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 4．下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是(　　) A．菱形的四条边都相等 B．∃x∈N，使2x为偶数 C．∀x∈R，x2＋2x＋1>0 D．π是无理数 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 A　[对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题． 对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题． 对于C，∀x∈R，x2＋2x＋1>0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题． 对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3}，集合B＝{3，4，6}，集合U，A，B的关系如图所示，则图中涂色部分所表示的集合用列举法表示为(　　) A．{1，2，5} B．{4，6} C．{3，4，6} D．{2，5} √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 B　[∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，4，6}，∴∁UA＝{2，4，5，6}，则B∩(∁UA)＝{4，6}， ∴题图中阴影部分表示的集合为{4，6}．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 B　[法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝ －2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2 a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B． 法二：因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 A　[法一(列举法)：因为M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A． 法二(描述法)：集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．某校高一(4)班共有学生47人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 D　[设参加足球队的学生组成集合A，参加排球队的学生组成集合B，参加游泳队的学生组成集合C，则card(A)＝25，card(B)＝22，card( C )＝24， card(A∩B)＝12，card(A∩C )＝9，card(B∩C )＝8， 设三项都参加的人数为x，则card(A∩B∩C )＝x， 因为card(A∪B∪C )＝47，所以由card(A∪B∪C )＝card(A)＋card(B)＋card( C )－card(A∩B)－card(A∩C )－card(B∩C )＋card(A∩B∩C )， 得47＝25＋22＋24－12－9－8＋x，解得x＝5， 即三项都参加的人数为5．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　) A．∅⊆A B．－2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3} √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ACD　[∵A＝{0，2}，∴∅⊆A，－2∉A，{0，2}⊆A，A⊆{y|y<3}．故选ACD．] √ √ 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 10．下列说法中错误的是(　　) A．命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x” B．命题“∃x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0” C．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” D．若命题“∃x∈R，x2＋4x＋m＝0”为假命题，则实数m的取值范围是m≤4 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 ACD　[A，命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，A错误； B，命题“∃x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，B正确； C，a，b，c∈R，ab2>cb2能推出a>c，但a>c推不出ab2>cb2，C错误； D，命题“∃x∈R，x2＋4x＋m＝0”为假命题，即“∀x∈R，x2＋4x＋m≠0”，即没有实根， Δ＝42－4m<0，即m>4，D错误． 故选ACD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．设集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈N*}，若x1∈A，x2∈A，x1⊕x2∈A，则运算⊕可能是(　　) A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 AC　[由题意可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2， 其中m1，m2，n1，n2∈N*， 则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)，x1＋x2∈A， 所以加法满足条件，A正确； x1－x2＝(m1－m2)＋(n1－n2)， 当n1＝n2时，x1－x2∉A， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以减法不满足条件，B错误； x1x2＝m1m2＋3n1n2＋(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A， 所以乘法满足条件，C正确； ＝， 当＝＝λ(λ>0)时，∉A， 所以除法不满足条件，D错误．故选AC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合A＝{x|0<x<4}，集合B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 a≥4　[由题意知， 所以a≥4．] a≥4 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 13．已知集合U＝{1，a，a2}，A＝{1，a}，∁UA＝{4}，则a＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ±2 ±2　[∵∁UA＝{4}，A＝{1，a}，∴a2＝4，a＝±2，经检验满足题意．] 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 14．“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句话阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的___________________．(填条件关系，例如充分不必要条件、充要条件等等．) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 必要不充分条件　[不积跬步，无以至千里，等价于“积跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必须“积跬步”， 所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．] 必要不充分条件 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)如果集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}至多有一个元素，求实数a的取值范围． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　若a＝0，此时A＝∅，符合题意； 若a≠0，要使集合至多有一个元素，则Δ＝a2－4a≤0，由二次函数y＝a2－4a的图象(图略)知，0<a≤4，综上，0≤a≤4． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 16．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|－1≤x<4}，B＝{x|x－a<0}． (1)当a＝2时，求A∩B； (2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)当a＝2时，A＝{x|－1≤x<4}，B＝{x|x<2}， 所以A∩B＝{x|－1≤x<2}． (2)因为A∪B＝B，所以A⊆B， 所以a≥4，所以a的取值范围为{a|a≥4}． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 17．(本小题满分15分)已知命题α：2≤x≤4，命题β：3m－1≤x≤ －m，且α是β的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　由α是β的充分不必要条件， 则{x|2≤x≤4}真包含于{x|3m－1≤x≤－m}， 得且等号不同时成立，解得m≤－4， 即实数m的取值范围为{m|m≤－4}． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 18．(本小题满分17分)求证：“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2”的充要条件是“4a＋2b＋c＝0”． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [证明]　必要性：若ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，则x＝2满足方程，即4a＋2b＋c＝0； 充分性：若4a＋2b＋c＝0，则a×22＋b×2＋c＝0， 即x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0， 则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2． 综上命题得证． 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 19．(本小题满分17分)已知集合A为非空数集，定义A＋＝{x|x＝a＋b，a，b∈A}，A－＝{x|x＝|a－b|，a，b∈A}． (1)若集合A＝{－1，1}，直接写出集合A＋及A－； (2)若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A－＝A，求证：x1＋x4＝x2＋x3． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 巩固层 提升层 章末综合测评 章末重构拓展 [解]　(1)根据题意，由A＝{－1，1}， 则A＋＝{－2，0，2}，A－＝{0，2}． (2)证明：由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A－＝A， 所以A－中也只包含四个元素， 即A－＝{0，x2－x1，x3－x1，x4－x1}， 剩下的x3－x2＝x4－x3＝x2－x1， 所以x1＋x4＝x2＋x3． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$