期中真题必刷易错95题（28个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

期中真题必刷易错95题（28个考点专练） 考点一 全等图形 1．（23-24八年级上·江苏常州·期中）找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 考点二 全等三角形的性质 2．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，，，，，则的度数为(   ) A．20° B．25° C．30° D．50° 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点C运动；点Q从B点出发沿路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E，于F．则点P运动时间为 时，与全等．    4．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 考点三 全等三角形的判定与性质 5．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，点B、C、D共线，，则的长是（　　）    A．7 B．8 C．9 D．10 6．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是延长线上的点，，于，交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 7．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，的平分线交于点于点，若与的周长分别为13和3，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 8．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，，，，与相交于点与相交于点，若，则 ． 9、（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，点D在上，．若，则 ． 10．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，平分，，则 ；若，则的长为 ． 11．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 ．      12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 13．（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)求证：． 14．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，点是上一点，交于点，，．      (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）在四边形ABDC中，，，，，E是上一点，F是延长线上一点，且． (1)在图1中，试说明：； (2)在图2中，若G在上且，试猜想之间的数量关系并证明所归纳结论； (3)若题中条件“且”改为，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）． 18．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）（1）理解证明：如图1，，射线在这个角的内部，点，在的边上，且于点于点．求证； （2）类比探究 如图2，点在的边上，点在内部的射线上，分别是、的外角已知．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，，点在边上，，点在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为________．    考点四 添加条件使三角形全等 19．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，，要使，则需要添加的条件是 ．（写一个即可） 21．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    考点五 尺规作图 22．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知，直线． (1)利用无刻度直尺和圆规过点D作直线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，记直线m与BC交于点P，与相等吗？为什么？ 考点六 倍长中线模型 23．（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 24．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．    25．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 考点七 旋转模型 26．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 27．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中∠BAC=120°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=60°若BM=2，CN=3，则MN的长为 ． 28．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 考点八 垂线模型 29．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 30．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）如图，在中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则 ． 31．（23-24八年级上·广东汕尾·期末）如图，，，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)猜想线段之间具有怎样的数量关系，并说明理由． 考点九 全等三角形证明大题 32．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等． 33．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图1：中，，延长到，过点作交的延长线于点，延长到，过点作交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如图2，连接与相交于点，若，求的长． 34．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点分别在的边上，且于点于点．求证：； （2）如图2，点分别在的边上，点都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且，点是的中点，．求的长； （3）如图3，在中，，点在边上，点在线段上，点是的中点，，连接．若的面积为4，求的面积．    35．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，已知，，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 36．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知点E在四边形的边上，，，．    (1)与全等吗？说明理由； (2)若，，求的度数． 37．（23-24八年级上·江苏南京·期中）[问题背景] 如图①，将沿折痕翻折，使点落在边上点处，已知，，求的度数； [变式运用] 如图②，在中，，求证：． 考点十 轴对称图形 38．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 39．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在线段、等腰三角形、直角三角形和圆这四个图形中，是轴对称图形的有 个． 40．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图是3×3正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．移动其中一个黑色方块到其他无色位置，使得整个图形成为轴对称图形（包括黑色部分），你有 种不同的移法． 考点十一 根据轴对称图形的特征进行求解 41．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，为内任意一点，分别画出点关于，的对称点，，连接．交于点，交于点．若，则的周长为 ．    42．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若的面积为，，，求的长． 43．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点十二 折叠问题 44．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落在点E处，若，则的度数为(     )    A． B． C． D． 45．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，将三角形纸片的折叠，使得点的对应点落在直线上，折痕为，再将折叠，使得折叠后点的对应点落在直线上，折痕为，此时可得，若，则的度数为 ． 考点十三 角平分线的判定与性质 46．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，对角线平分，若，则的面积为（　　）    A．6 B． C． D． 47．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中：①平分；②；③；④其中表示的周长．正确的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 48．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，中，D是的中点，交于，则 ． 考点十四 垂直平分线的判定与性质 49．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，中是上一点，是边的垂直平分线，若＝，＝，则的周长为（   ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．9 B．10 C． D．11 51．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，中，的垂直平分线交于P点，若，的周长为，则的长是 ．    52．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）在中，边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，与相交于点，的周长为． (1)求的长； (2)分别连结、、，若的周长为，求的长． 考点十五 尺规作角平分线、垂线 53．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点F是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题： (1)在边上作点D，使得点D到边的距离相等； (2)在射线上作点E，使得点E到点A、点C的距离相等； (3)若点P是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点P，的最小值是 ． 考点十六 等腰三角形的判定与性质 54．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，下列结论：①和都是等腰三角形；②；③；④；⑤的周长．其中正确的是(　　) A．①②③ B．①②⑤ C．③④ D．②④⑤ 55．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，与的平分线交于点E，过点E作交于点M，交于点N，若，则 ． 56．（23-24八年级上·江苏南通·期中）以的为边作和，且，与相交于，． (1)如图1，求证：； (2)在图1中，连接，则_______， _______；（都用含的代数式表示） (3)如图2，若，分别是的中点，求的度数． 考点十七 等边三角形的判定与性质 57．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 58．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，，在内有一点P，，点P和点关于对称，点P与点关于对称，连接、，则= ． 59．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”，“”或“”）． (2)特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 理由如下：如图2，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程） (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）． 考点十八 含30度角的直角三角形 60．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，点在的延长线上，，，则（　　） A． B． C． D． 61．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，，点在射线上，连结． （1）若，则 ； （2）设，若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ． 62．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，在中，，若，则． 根据材料，解决下列问题： 如图2，中，，，，动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿线段以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)当时，__________； (2)当为何值时，是等腰三角形？请说明理由； (3)当为何值时，是直角三角形？请说明理由． 考点十九 斜边的中线定理 63、（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ． 64．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，，点E、F分别是的中点，连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，则______． 考点二十 勾股定理的证明与计算 65．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 66、（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法： ①； ②； ③； ④． 其中说法正确的是( ) A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 考点二十一 用勾股定理解三角形 67．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，，连接， 过点D作分别交、于E、F， 若， 则的长为（      ） A．2 B． C． D．3 68．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，过点C作，且，连接，的值为 ． 69．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点二十二 勾股定理的逆定理 70．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，在的网格中， ． 71．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 考点二十三 勾股定理的简单应用 72．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则为（    ）尺． A．3 B．4 C．5 D．7 73．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口及以内时（图②中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．②图所示，一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C到门铃A的距离为 ． 74．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，． (1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求图书室E到居民区A的距离． 考点二十四 求最短路径问题 75．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 76．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图所示的长方体中，，一只蚂蚁从点处，沿长方体表面爬行到点处吃食，蚂蚁需要爬行的最短路程为 ． 77．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 考点二十五 平方根 78．（23-24七年级下·江苏南通·期中）一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（      ） A．5 B．25 C．121 D．121或 79．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，，则 ． 80．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）若a、b满足，则 ． 81．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）求x的值 (1)； (2)． 82．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)求的算术平方根． 考点二十六 立方根 83．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如果是9的平方根，那么等于（    ）． A．－3 B．－ C．±3 D．或－ 84．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中的x． (1)； (2)． 85．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的算术平方根是3，求的立方根． 考点二十七 实数 86．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图，如果数轴上M，N两点之间的距离是，点M表示数，且点N在原点左侧，那么点N表示的数是（   ） A． B． C． D． 87．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知a，b是两个连续整数，，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）下列说法：①数轴上的点与实数一一对应；②的平方根是±4；③＝3；④实数不是有理数就是无理数，其中错误的个数（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 89．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记，如，若，则a的值是 ． 90．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则的值是 ． 91．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）计算： (1) (2) 92．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知的算术平方根是3，是的立方根，是的整数部分． (1)求 的值； (2)求的平方根， 考点二十八 近似数 93．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）小星用天平称得一个罐头的质量为，用四舍五入法将2.046精确到0.01的近似值为（  ） A．2 B．2.0 C．2.04 D．2.05 94．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到十分位 B．近似数3140万精确到个位 C．近似数万精确到 D．精确到百位 95．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）华为系列手机自从上市以来就备受关注，销量也非常火爆，短短几周就售出了1694000部，将1694000精确到十万位并用科学记数法表示的结果是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错95题（28个考点专练） 考点一 全等图形 1．（23-24八年级上·江苏常州·期中）找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的定义，直接根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合， 故A选项不符合题意； ∵图形②和图形⑦不能够完全重合， 故B选项不符合题意； ∵图形③和图形④能够完全重合， 故C选项符合题意； ∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合， 故D选项不符合题意； 故选：C． 考点二 全等三角形的性质 2．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，，，，，则的度数为(   ) A．20° B．25° C．30° D．50° 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，直接利用全等三角形的性质得出，，进而结合三角形内角和定理得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点C运动；点Q从B点出发沿路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E，于F．则点P运动时间为 时，与全等．    【答案】1或 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是分两种情况：①时，与全等，②点P与点Q重合，与全等，然后计算出t的值 【详解】解：如图1所示；    ∵与全等， ∴． ∴． 解得：． 如图2所示：    ∵点P与点Q重合， ∴与全等， ∴． 解得：． 故答案为：1或． 4．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或2时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得 ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或2时与全等． 考点三 全等三角形的判定与性质 5．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，点B、C、D共线，，则的长是（　　）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，利用证明是解题的关键． 先证明可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是延长线上的点，，于，交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，可证，根据，可证，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵，点是延长线上一点， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， 故选：A ． 7．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，的平分线交于点于点，若与的周长分别为13和3，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质．解题的关键证明，则，，由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，， 由题意知，， ∴， 解得， 故选：D． 8．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，，，，与相交于点与相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查利用三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理求角度，涉及对顶角相等，先由题中所给条件，利用三角形全等的判定定理得到，进而由三角形全等的性质确定，再根据对顶角相等得到，在和中，由三角形内角和定理即可确定答案，熟练掌握三角形全等的性质、三角形内角和定理求角度是解决问题的关键． 【详解】解：在和中， ， ， 在和中，，，则由三角形内角和定理可得， 故答案为：． 9、（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，点D在上，．若，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 10．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，平分，，则 ；若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由和间角的关系可得；延长交于点，由ASA证得，求出，再由ASA证得，得到，从而求出的长． 【详解】 ，即 ，平分 如图所示，延长交于点 在和中， （ASA） 平分 在和中， （ASA） 故答案为：， 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，延长构造全等三角形是解题的关键． 11．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 ．      【答案】 【分析】由直角三角形的性质得出，根据可证明，由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答．证明是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵, ∴． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的面积，解决问题的关键是理解全等三角形的面积相等，三角形的中线将原三角形分成两个面积相等的三角形； （1）由是的中点得，再根据得，，由此可得出结论； （2）由（1）的结论得，由此可证和全等，则，进而得，根据是边上的中线得，则，然后求出的面积可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， 是边上的中线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 13．（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、线段中点的定义、平行线的判定等知识． （1）点是的中点，得，而，，即可根据全等三角形的判定定理证明； （2）由全等三角形的性质得，则． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ∴． 14．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题重点考查等角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识； （1）由，根据“等角的补角相等”推导出，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由全等三角形的性质得，而，所以． 由推导出是解题的关键． 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ． （2）， ， ， ， 的长为4． 15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，点是上一点，交于点，，．      (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用． （1）根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ，， ． 16．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，证明，再由证明即可； （2）先求出，再根据进行计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解：，，， ， ． 17．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）在四边形ABDC中，，，，，E是上一点，F是延长线上一点，且． (1)在图1中，试说明：； (2)在图2中，若G在上且，试猜想之间的数量关系并证明所归纳结论； (3)若题中条件“且”改为，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)．证明见解析 (3)当时，仍然成立． 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定． （1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出； （2）猜想、、之间的数量关系为：．首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得，，再根据，判断出，据此推得，所以，最后根据，判断出即可． （3）当时，仍然成立，依照（2）的证明过程即可解答． 【详解】（1）证明：，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）解：猜想、、之间的数量关系为：． 证明：如图，连接， 在和中， ， ， ， 又， ，， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， 又，， ； （3）解：当时，仍然成立， 证明：如图，连接， 在和中， ， ， ， 又， ，， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又，， ； ∴当时，仍然成立． 18．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）（1）理解证明：如图1，，射线在这个角的内部，点，在的边上，且于点于点．求证； （2）类比探究 如图2，点在的边上，点在内部的射线上，分别是、的外角已知．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，，点在边上，，点在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为________．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据垂直的性质可得，根据全等三角形的判定方法即可求解； （2）根据分别是、的外角，可证，再根据全等三角形的判定和性质即可求解； （3）根据（2）中的证明方法可得，，，根据，可得，且的面积为，由此即可求解； 本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，几何面积的计算方法的综合运用，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2），，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）根据（2）中的证明方法可得， ∴，设点到边的高为， ∴，且， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 考点四 添加条件使三角形全等 19．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形判定方法进行判断即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】A. 添加，根据能判定，故本选项不符合题意； B. 添加时，根据不能判定，故本选项不符合题意； C. 添加，根据不能判定，故本选项不符合题意； D. 添加，根据不能判定，故本选项符合题意； 故选：D. 20．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，，要使，则需要添加的条件是 ．（写一个即可） 【答案】或或（写一个即可） 【分析】本题考查全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．由，可得，再根据题干中的条件，可添加角相等或边相等即可． 【详解】解：添加， ， ， 又，， ， 添加， ， ， 又，， ， 添加， ， ， 又，， ， 故答案为：或或（写一个即可）． 21．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 考点五 尺规作图 22．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知，直线． (1)利用无刻度直尺和圆规过点D作直线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，记直线m与BC交于点P，与相等吗？为什么？ 【答案】(1)见解析， (2)相等，理由见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质： （1）结合平行线的判定以及作一个角等于已知角的方法作图即可． （2）由可得．由直线可得，则． 【详解】（1）解：如图，作，交于点P， 则所在的直线m即为所求． （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵直线， ∴， ∴． 考点六 倍长中线模型 23．（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，边的取值范围可在中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线的取值范围可延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 【详解】如图所示， 在中，则， 即，， 延长至点，使，连接， 是的边上的中线， ， 又， ， ， 在中，，即， ，即， ． 故选：D． 24．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形，三角形三边关系；倍长中线，构造全等三角形，在新的三角形中运用三边关系定理求解．延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：如图所示，延长到，且，并连接，   是中点， ， 又， ， ， 在中， 有， ，即， ． 25．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系． （1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解； （2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到． 延长交于F，由三角形的三边关系得到，即． 【详解】（1）∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为： （2）， 理由：如图，延长到M，使得，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 延长交于F， 则，且， ∴， ∴， 即． 考点七 旋转模型 26．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 27．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中∠BAC=120°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=60°若BM=2，CN=3，则MN的长为 ． 【答案】 【分析】利用旋转作△APC，连接PN，根据旋转得：△ABM≌△ACP，PC=BM=2，证明△MAN≌△PAN，则MN=PN，作高线PD，利用勾股定理计算PD和PN的长，可得结论． 【详解】如图，△ABM绕点A逆时针旋转120°至△APC，连接PN，过点P作BC的垂线，垂足为D， ∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=30°, 由旋转可得△ABM≌△APC， ∴∠B=∠ACP=30°，PC=BM=2，∠BAM=∠CAP， ∴∠NCP=60°， ∵∠MAN=60°， ∴∠BAM+∠NAC=∠NAC+∠CAP=60°=∠MAN， 又∵AM=AP，AN=AN， ∴△MAN≌△PAN（SAS）， ∴MN=PN， ∵PD⊥CN，∠NCP=60° ∴， ∴DN=CN-CD=3-1=2， ∴ ∴MN= 【点睛】本题考查勾股定理中的旋转问题，利用旋转构造全等三角形，再利用特殊角度计算出边长是解题的关键. 28．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明； （2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证 ，再证，最后根据边的关系即可证明； 【详解】解：（1） 证明：延长到，使得      连接      ∵四边形是正方形      ∴，      又∵      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ （2） 证明：延长到，使得      连接      ∵，      ∴      又∵，      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键． 考点八 垂线模型 29．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故选：A． 30．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）如图，在中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得出，，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 31．（23-24八年级上·广东汕尾·期末）如图，，，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)猜想线段之间具有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：， 理由如下：∵， ∴， ∴． 考点九 全等三角形证明大题 32．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等． 【答案】（1）见解析（2）和仍然全等，理由见解析 【分析】（1）根据中点可得，运用“边边边”可证，可得，在运用“边角边”可证； （2）延长至，使，连接，延长至，使，连接， 可得，，可证，同理可证，由此即可求证． 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握中点的运用，倍长中线的运用，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）证明：是的中线， ， 分别是的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：和仍然全等，理由如下： 延长至，使，连接，延长至，使，连接， 和分别是和的和边上的中线， ，． 在和中， ， ， ，， 同理，， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， 又，， ∴． 33．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图1：中，，延长到，过点作交的延长线于点，延长到，过点作交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如图2，连接与相交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先求出，再利用即可证明； （2）根据可得，求出，再证明，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 34．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点分别在的边上，且于点于点．求证：； （2）如图2，点分别在的边上，点都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且，点是的中点，．求的长； （3）如图3，在中，，点在边上，点在线段上，点是的中点，，连接．若的面积为4，求的面积．    【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）的面积为8 【分析】（1）利用等角的余角相等得到，证明，推出，，即可证明结论成立； （2）利用三角形的外角性质求得，，证明，推出，，据此求解即可； （3）过点作垂足为，过点作垂足为，得到，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，    ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴，    ∴； （3）解：过点作垂足为，过点作垂足为，    由（2）得， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为8． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 35．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，已知，，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由平行线的性质得出，根据可得出； （2）求出，可得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 36．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知点E在四边形的边上，，，．    (1)与全等吗？说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由 得出，再由，，利用“”即可证明； （2）由得出，可得，再由得出，进而得出，即可得出的度数． 【详解】（1）全等， 理由：∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 37．（23-24八年级上·江苏南京·期中）[问题背景] 如图①，将沿折痕翻折，使点落在边上点处，已知，，求的度数； [变式运用] 如图②，在中，，求证：． 【答案】问题背景：；变式运用：证明见解析 【分析】①根据折叠的性质可得，继而得到，再根据三角形外角的性质可得结论； ②利用①的方法，将沿折痕翻折，点的对应点为点，可得，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质即可得证． 【详解】①解：∵沿折痕翻折，，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，沿折痕翻折，点的对应点为点， ∵， ∴点落在边上， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查翻折变换，折叠的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质．掌握折叠的性质和全等三角形的性质是解题关键． 考点十 轴对称图形 38．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查轴对称的性质，由点E和点F分别是点D关于和的对称点，得，再根据，所以，即可求出答案． 【详解】解：点E和点F分别是点D关于和的对称点， ， ， ， ， 故选：A． 39．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在线段、等腰三角形、直角三角形和圆这四个图形中，是轴对称图形的有 个． 【答案】3 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴； 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可； 【详解】解：线段、等腰三角形和圆都能找到一条(或多条) 直线，使图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 直角三角形(等腰直角三角形除外) 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 所以是轴对称图形的有3个， 故答案为：3． 40．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图是3×3正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．移动其中一个黑色方块到其他无色位置，使得整个图形成为轴对称图形（包括黑色部分），你有 种不同的移法． 【答案】8 【分析】本题考查的轴对称图形，根据轴对称的性质只要把其中一个移到的位置能符合轴对称即可． 【详解】解：如图随时，一共有8种情况， 故答案为：8． 考点十一 根据轴对称图形的特征进行求解 41．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，为内任意一点，分别画出点关于，的对称点，，连接．交于点，交于点．若，则的周长为 ．    【答案】11 【分析】本题考查的是轴对称的性质．由点关于，的对称点，，可得，，再利用三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：∵点关于，的对称点，， ∴，， ∵， ∴的周长为． 故答案为：11． 42．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若的面积为，，，求的长． 【答案】(1)证明详见解析； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积； （1）证明即可得证； （2）先算出的面积，得出的面积，从而算出． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 又， ∴， ∴； （2）解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 考点十二 折叠问题 44．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落在点E处，若，则的度数为(     )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，然后由邻补角得到，然后根据折叠的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 由折叠可得，． 故选：A． 45．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，将三角形纸片的折叠，使得点的对应点落在直线上，折痕为，再将折叠，使得折叠后点的对应点落在直线上，折痕为，此时可得，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，由折叠的性质可得：，求出，从而得出，即可推出，再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点十三 角平分线的判定与性质 46．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，对角线平分，若，则的面积为（　　）    A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点E，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式即可得到答案．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，    ∵，对角线平分，， ∴， ∴ ∴， 故选：B 47．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中：①平分；②；③；④其中表示的周长．正确的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；过P作PQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质得出，，求出，求出，根据全等三角形的判定得出，，逐项分析判断即可求解．． 【详解】解：过作于， 、的角平分线、交于点，，， ，， ， 在的角平分线上，即平分，故①正确； ，，， ，， 在和中， ， ， ， 同理， ， ， ， ，故②正确； 平分，平分， ， 又， ， ，故③正确； ，， ，， ∴ ，故④正确； 即正确的个数是4， 故选：D． 48．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，中，D是的中点，交于，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 先连接，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出，进而判定，即可得到，据此列出方程，求得的值，即可得到长． 【详解】解：连接，过作于， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ， 解得， ， 故答案为：10． 考点十四 垂直平分线的判定与性质 49．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，中是上一点，是边的垂直平分线，若＝，＝，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要了考查线段的垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质，可得，然后，根据三角形的周长和等量代换，即可解答． 【详解】是中边的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长． 故选：B． 50．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．9 B．10 C． D．11 【答案】A 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 【详解】解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值是． 故选：A． 51．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，中，的垂直平分线交于P点，若，的周长为，则的长是 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．先根据是线段的垂直平分线，可以得到，根据的周长是，得出，根据，即可得到答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线，    ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 52．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）在中，边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，与相交于点，的周长为． (1)求的长； (2)分别连结、、，若的周长为，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)的长为 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后根据已知可得，再利用等量代换即可解答； （2）利用线段垂直平分线的性质可得，，再根据已知和（1）的结论可得，即可解答． 【详解】（1）边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为； （2）如图： 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为． 考点十五 尺规作角平分线、垂线 53．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点F是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题： (1)在边上作点D，使得点D到边的距离相等； (2)在射线上作点E，使得点E到点A、点C的距离相等； (3)若点P是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点P，的最小值是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析，13 【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，即作的平分线交于一点，即为点D，即可作答． （2）根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，即作线段的垂直平分线与相交于一点，即为点，即可作答． （3）作点F关于射线的对称点，连接，交射线于一点P，此时，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：点D如图所示： （2）解：点E如图所示： （3）解：点P如图所示： ∵， ∴， 即在中，， 即， 即． 【点睛】本题考查了作角平分线，作垂直平分线，轴对称性质，勾股定理等知识内容：难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 考点十六 等腰三角形的判定与性质 54．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，下列结论：①和都是等腰三角形；②；③；④；⑤的周长．其中正确的是(　　) A．①②③ B．①②⑤ C．③④ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 【详解】解：， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ，， ，都是等腰三角形．故①正确； ，，即有故②正确； 的周长，故⑤正确， 选项③在条件下成立，但本题没有这个条件； ，故④错误． ①②⑤正确， 故选：B． 55．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，与的平分线交于点E，过点E作交于点M，交于点N，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据角平分线和平行的性质，可推出，可得，同理可得，最后做线段的等量代换即可得到． 【详解】解：如图所示， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 故答案为：9． 56．（23-24八年级上·江苏南通·期中）以的为边作和，且，与相交于，． (1)如图1，求证：； (2)在图1中，连接，则_______， _______；（都用含的代数式表示） (3)如图2，若，分别是的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)的度数是 【分析】（1）由得，再由证明即可； （2）连接，设交于点，由得，，作于点，于点，得出，则平分，由角平分线的定义可得，由此即可得到答案； （3）连接，证明得到，再证明，从而即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：如图1，连接，设交于点， ， ， ； 作于点，于点， ， ， ， ∴点在的平分线上， 平分， ，， 故答案为：，． （3）解：如图2，连接， 分别是的中点，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的度数是． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、根据三角形面积证明线段相等、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及其推论等知识点，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 考点十七 等边三角形的判定与性质 57．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用中垂线的性质，以及等边对等角和外角的性质，证明是等边三角形，即可得解． 【详解】连接， ∵分别为，的垂直平分线， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵cm， ∴cm． 故选A． 【点睛】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握中垂线上的点都线段两端点的距离相等，是解题的关键． 58．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，，在内有一点P，，点P和点关于对称，点P与点关于对称，连接、，则= ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称的性质，中垂线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．连接，由题意得到，再证明是等边三角形，即可． 【详解】解：连接， ∵点P和点关于对称，点P与点关于对称， ∴，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：3． 59．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”，“”或“”）． (2)特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 理由如下：如图2，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程） (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）． 【答案】(1)= (2)=，过程见解析 (3)1或3 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据等边三角形的性质，得，因为，且，得，即可作答． （2）过E作交于F，由是等边三角形，得是等边三角形，从而通过证明，则； （3）要注意分类讨论，①如图1：过A作于M，过E作于N，先得证，则，即；②如图2，作于M，过E作于N，由等腰三角形的三线合一，得，列式，即可作答． 【详解】（1）解：∵三角形是等边三角形，点E为的中点 ∴ 则 ∵ ∴ 则 ∴ ∵ ∴； 故答案为：； （2）解：过E作交于F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 即， 故答案为：=． （3）解：或3， 理由是：分为两种情况： ①如图1：过A作于M，过E作于N， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴ ∴； ②如图2，作于M，过E作于N， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 即或1． 考点十八 含30度角的直角三角形 60．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，点在的延长线上，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 61．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，，点在射线上，连结． （1）若，则 ； （2）设，若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ． 【答案】 2 或 【分析】本题考查全等三角形的判定，含角的直角三角形． （1）由含角的直角三角形的性质即可求出的长； （2）由全等三角形的判定，即可求解． 【详解】解：（1），， ． 故答案为：2． （2）当时，由（1）知，由判定的形状、大小是唯一确定的； 当时，以为圆心，的长为半径画弧，弧与射线有唯一公共点除外），的形状、大小是唯一确定的， 的取值范围是或． 故答案为：或． 62．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，在中，，若，则． 根据材料，解决下列问题： 如图2，中，，，，动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿线段以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)当时，__________； (2)当为何值时，是等腰三角形？请说明理由； (3)当为何值时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质；等边三角形的性质与判定，一元一次方程的应用； （1）根据含30度角的直角三角形的性质，得出，根据即可求解； （2）依题意当是等腰三角形，则是等边三角形，则只有一种可能，根据，建立方程，即可求解． （3）分，两种情况，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∵动点从点出发沿线段以的速度向终点运动， ∴ 当时， （2）解：∵， ∴当是等腰三角形，则是等边三角形， ∵，， 过点作于点， ∴当时， 解得： 即时，是等腰三角形 （3）解：当时，， ∴ 即 解得： 当时， ∴ 即 解得： 综上所述，或时，是直角三角形 考点十九 斜边的中线定理 63、（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出． 【详解】解：，是的中点， ，， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 64．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，，点E、F分别是的中点，连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质： （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，从而得到，即可求解； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴； （2）解：∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：65 考点二十 勾股定理的证明与计算 65．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的图形验证，利用正方形面积公式和梯形面积公式，以及三角形面积公式用两种不同方式表示图形的面积是解决问题的关键． 【详解】解：第一幅图中大正方形的面积为：， 四个直角三角形的面积和为， 中间小正方形边长为，中间小正方形则的面积为， 大正方形的面积还可以表示为：四个直角三角形的面积与中间小正方形则的面积之和， 即：， ∴第一幅图能利用面积验证勾股定理； 第二幅图中四边形的面积为：直角梯形的面积减去一个直角三角形的面积， 即：， 四边形的面积还可以表为：等腰直角三角形的面积加上一个直角三角形的面积， 即：， ∴， ∴第二幅图能利用面积验证勾股定理； 第三幅图中大正方形的面积为： 大正方形的面积还可以表示为：四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， 即：， ∴， ∴第三幅图能利用面积验证勾股定理； 第四幅图中五边形的面积为：大正方形的面积加上两个直角三角形的面积， 即：， 五边形的面积还可以表示为：两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， 即：， ∴， ∴第四幅图能利用面积验证勾股定理； 综上，四幅图均可以利用面积验证勾股定理． 故选：D． 66、（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法： ①； ②； ③； ④． 其中说法正确的是( ) A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确． 【详解】解：①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故式①正确； ②小正方形面积为，则其边长是2， 因为是四个全等三角形，所以有，所以，故式②正确； ③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即，化简得，故式③正确； ④因为，所以，故式④不正确． 综上，①②③正确． 故选：B． 考点二十一 用勾股定理解三角形 67．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，，连接， 过点D作分别交、于E、F， 若， 则的长为（      ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】连接交于点O，证明为等边三角形，则设，则，由 ，则在中，，得到，最后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴设，则， 而， ∴， ∵， ∴ ∴在中，， ∴，解得：， ∴， 在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理 ，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 68．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，过点C作，且，连接，的值为 ． 【答案】22 【分析】作，，交于点E，则，可证明，则，则，，由，得，则，而，即可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，，连接，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：22． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 69．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质、涉及用勾股定理解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据，可得，进一步根据证明全等即可； （2）根据（1）中证得的全等三角形的性质，可得，根据勾股定理，可得，进一步在中根据勾股定理，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴． （2）∵， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：． 考点二十二 勾股定理的逆定理 70．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，在的网格中， ． 【答案】45 【分析】连接，根据网格判定为等腰直角三角形，得出，根据平行线的性质得出，，根据即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明为等腰直角三角形． 71．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用面积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ，，， 故答案为：，，； （2）是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）设边上的高为， 的面积， ， ， 故答案为： 考点二十三 勾股定理的简单应用 72．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则为（    ）尺． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得，，由勾股定理得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 尺， 故选：B． 73．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口及以内时（图②中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．②图所示，一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C到门铃A的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确识图，理清题目中各线段的长度，运用勾股定理解题是本题的关键． 根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】如图，由题意知：，， ， ， 在中 ， 该学生头顶C到门铃A的距离为， 故答案为：5 74．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，． (1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求图书室E到居民区A的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-垂直平分线，勾股定理的应用： （1）连接，作的垂直平分线交于点E，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等，点E即为所求作； （2）设图书室E到居民区A的距为，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求作． （2）解：设图书室E到居民区A的距为，即，， ，， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得： 图书室E到居民区A的距离为． 考点二十四 求最短路径问题 75．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出的距离． 【详解】解：将半圆面展开可得： 米，米， 在中，（米）． 即滑行的最短距离为22米． 故选：C． 76．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图所示的长方体中，，一只蚂蚁从点处，沿长方体表面爬行到点处吃食，蚂蚁需要爬行的最短路程为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了平面展开图，利用勾股定理求最短路径问题，要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】①展开正面和右面，如图，连接， ∵长，高， ∴， ②展开正面和上面， 如图，连接， ∴， ③展开左面和上面， ∴， ∴爬行的最短距离为， 故答案为：10． 77．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 考点二十五 平方根 78．（23-24七年级下·江苏南通·期中）一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（      ） A．5 B．25 C．121 D．121或 【答案】C 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程计算即可． 【详解】解：∵和是同一个正数的平方根， ∴， 解得， ∴这个正数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 79．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，，则 ． 【答案】31.9 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：31.9． 80．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）若a、b满足，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．先根据完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】， ， 则或， 所以，， 所以． 故答案为：4． 81．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）求x的值 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查利用平方根的定义解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． 利用平方根的定义解各个方程即可． 【详解】（1）解：，                                            ； （2）解：， 或 或． 82．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义和性质．解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列式求解即可； （2）根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，， 解得， 则． （2）将与的值代入，得 ． 则． 故的算术平方根是6． 考点二十六 立方根 83．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如果是9的平方根，那么等于（    ）． A．－3 B．－ C．±3 D．或－ 【答案】D 【分析】 本题主要考查了平方根及立方根，熟练掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题关键．先根据平方根的定义可求得的值，再根据立方根的定义即可得答案． 【详解】解：∵是9的平方根， ∴， ∴或， 故选：D． 84．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中的x． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解： ． 85．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的算术平方根是3，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．利用一个正数的两个平方根互为相反数，求出a的值，再根据正的平方根是算术平方根求出b，即可求出立方根得解． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， ， 解得：， 的算术平方根是3， ， 解得：， ， 的立方根为2． 考点二十七 实数 86．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图，如果数轴上M，N两点之间的距离是，点M表示数，且点N在原点左侧，那么点N表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴的认识及无理数的减法，根据数轴可读出点N在M点左侧，且为负数，即可求值． 【详解】解： ∵点M表示数，且点N在原点左侧， ∴点N在M点左侧，且为负数， 又∵M，N两点之间的距离是， ∴，即N为， 故选：C． 87．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知a，b是两个连续整数，，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．先估算出的值的范围，从而估算出的值的范围，然后求出a，b的值，从而代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， a，b是两个连续整数，， ，， ． 故选：B． 8．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）下列说法：①数轴上的点与实数一一对应；②的平方根是±4；③＝3；④实数不是有理数就是无理数，其中错误的个数（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据实数的分类，实数与数轴的关系，平方根、立方根的定义即可解答． 【详解】①数轴上的点与实数一一对应，故①正确； ②，4的平方根是±2，故②错误； ③，故③错误； ④有理数和无理数统称为实数，所以实数不是有理数就是无理数，故④正确， ∴错误的个数是2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数，平方根，立方根，熟练掌握基本定义是解题的关键． 89．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记，如，若，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，理解题意是解题的关键． 先估算的取值范围，即可得出的取值范围，从而求出的值，继而求出的值，从而得出的值． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 90．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故答案为：． 91．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握实数是解题的关键． （1）先计算开方与零指数幂，再计算加减即可； （2）先计算开方，乘方，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 92．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知的算术平方根是3，是的立方根，是的整数部分． (1)求 的值； (2)求的平方根， 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，立方根，算术平方根的概念，无理数的估算： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此可求出a、b的值；再根据无理数的估算方法得到，即可求出c的值； （2）根据（1）所求计算出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3，是的立方根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分是3，即； （2）解：由（1）得，，， ∴， ∵16的平方根为， ∴的平方根为． 考点二十八 近似数 93．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）小星用天平称得一个罐头的质量为，用四舍五入法将2.046精确到0.01的近似值为（  ） A．2 B．2.0 C．2.04 D．2.05 【答案】D 【分析】本题主要考查近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．对千分位数字四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法将2.046精确到0.01的近似值为2.05， 故选：D． 94．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到十分位 B．近似数3140万精确到个位 C．近似数万精确到 D．精确到百位 【答案】D 【分析】本题考查的是近似数的精确度问题，掌握近似数的精确度是解本题的关键，一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，带有单位的近似数与用科学记数法表示的近似数要由最后一位在原数中的位置确定，再逐一分析各选项从而可得答案． 【详解】解：A、近似数精确到百分位，故A不符合题意； B、近似数3140万精确到万位，故B不符合题意； C、近似数万精确到百位，故C不符合题意； D、精确到百位，正确，故D符合题意； 故选：D． 95．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）华为系列手机自从上市以来就备受关注，销量也非常火爆，短短几周就售出了1694000部，将1694000精确到十万位并用科学记数法表示的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法及近似数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，直接用科学记数法表示即可． 【详解】解：将1694000精确到十万位并用科学记数法表示表示为：． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$