第12章 整式的乘除（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第12章 整式的乘除（单元测试） （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了幂的乘方运算与积的乘方．利用幂的乘方运算与积的乘方运算计算并判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项错误； D、，选项正确． 故选：D． 2．若则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答． 【详解】解：， 括号内应填的单项式为， 故选：A． 3．已知代数式化简后为一个完全平方式，且当时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，根据当时此代数式的值为0可推出，结合整式的混合运算即可求解． 【详解】解：∵当时此代数式的值为0， ∴， 即：； ∵ ∴， 由得， 故选：A 4．已知与的乘积中不含项，则的值是（   ） A．0 B．5 C． D．±5 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，利用整式不含项得出关于的方程是解题关键．根据多项式的乘法，可得整式，根据整式不含项，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由， 得的系数为． 若不含项，得， 解得， 故选：B． 5．如果，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，只要把等式的左边根据多项式乘多项式的法则展开，根据对应项的系数相等列式是解题的关键．根据多项式乘多项式的法则展开，然后根据对应项的系数相等列式即可求出的值． 【详解】解：， ，，， 故选：D． 6．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，把化为，利用完全平方公式展开，化简后即可求得的值． 【详解】 ∴． 故选：D． 7．如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的几何意义，是解决问题的关键． 利用长乘宽表示长方形面积，各类卡片组成此长方形，长方形面积等于各类卡片面积和，即可找出相应卡片的数量． 【详解】由图知（图形画法不唯一），长方形面积：， ∴需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故选：C． 8．如图，在长方形中，，点P为长方形内部一点，过点P分别做于点E、于点F，分别以为边做作正方形，正方形，若两个正方形的面积之和为 ， ，，则长方形的面积为（　） A．17 B．21 C．24 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，由正方形的性质和长方形的的面积公式可得由得，由完全平方公式可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴（负值已舍去）， ∵长方形的面积 ， ∴长方形的面积， 故选B． 9．如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于的多项式（中项的系数为（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】C 【分析】此题主要多项式乘以多项式，理解题目中给出的“杨辉三角”的规律，由已知规律得，再利用多项式乘多项式法则求出项的系数即可． 【详解】根据“杨辉三角”的规律得： ， ， ，， 项的系数为：． 故答案为：C． 10．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 二、填空题（5小题，每小题4分，共20分） 11．计算= ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，根据整式的运算法则进行计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若，，则的值是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了同底数幂除法和幂的乘方，熟记法则是解题的关键，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．根据同底数幂除法法则计算即可． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 13．无论x，y取任何值，多项式的值总是 数． 【答案】正 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．将利用配方法写成，由于，，即可得解． 【详解】解： ，， ， 的值总是正数． 故答案为：正． 14．如图，是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．观察此图，在横线上写出展开式中的未知项， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律问题，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．由，，可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，由此可得各项系数的绝对值依次为1、4、6、4、1． 【详解】解：． 故答案为：． 15．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）    ①小长方形C的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． 【答案】①③④ 【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 三、解答题（8小题，共70分） 16．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，平方差公式． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）用提取公因式法分解即可． 【详解】（1） （2） 18．已知，，求和的值． 【答案】； 【分析】本题考查了整式乘法的完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．利用两边平方，求出，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ． 19．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ， ，． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：， 小明给出了如下的证明： 设，则，即 所以，即， 所以． 试解决下列问题：   ①计算 ②请尝试运用这种方法证明． 【答案】(1)2，0，3 (2)①0；②证明见解析 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，新定义运算，熟练掌握幂的乘方运算是解题的关键． （1）根据新定义运算法则即可； （2）①根据新定义运算法则，得即可；②设 ，再根据新定义运算法则即可． 【详解】（1）解：，即； ，即； ，即； 故答案为：2，0，3； （2）①解： ； ②证明：设 ， ， ， ． 20．对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号，例如：． (1)求的值为__________； (2)求的值，其中． 【答案】(1)； (2)0． 【分析】本题主要考查了新定义，整式的化简求值： （1）直接根据新定义代值计算即可； （2）根据新定义得到，再根据多项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴原式． 21．图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． (1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； (3)观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查整式乘法与图形面积的关系， （1）根据图示中图形的边长的关系即可求解； （2）根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）分别算出、，即可求解； （4）根据（3）中的结论进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可得，图2中阴影部分的正方形的边长等于：， 故答案为：； （2）解：图2中阴影部分的面积表示如下： 方法一：；方法二：； 故答案为：，； （3）解：、， ∴， 故答案为：； （4）解：由（3）可得，， ∴，且， ∴ ． 22．阅读下列材料，完成相应的任务： 我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式． 类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式方法进行运算． 如：． 用如下列竖式的方法计算： 如果是多项式乘多项式，也可以类比整数乘法用列竖式方法进行运算，计算步骤如下： （1）先把多项式与分别按字母的次数从高到低排列； （2）用多项式中的常数项3去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； （3）再用多项式中的一次项去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； （4）最后把两次乘得的结果与相加得． （5）写出结果：． 任务一： 材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是（）； A．数形结合思想B．类比思想C．分类讨论思想D．转化思想 任务二： 请你用列竖式方法计算：； 任务三： 若多项式与相乘的结果中不含的一次项，则_______． 【答案】任务一：B；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了多项式的乘法，解题关键是：掌握多项式乘多项式的运算规则． 任务一：找到两种乘法之间的共同点，是类比思想； 任务二：根据多项式乘以多项式的竖式乘法，即可求解； 任务三：根据多项式乘以多项式的竖式乘法先计算，再根据结果中不含的一次项，即可求解． 【详解】解：任务一：根据由多项式乘以单项式的项式乘法到多项式乘以多项式的竖式乘法，是类比思想， 故选：B； 任务二： 列竖式如下： 故； 任务三： 列竖式如下： ， ， ∵多项式与相乘的结果中不含的一次项， ∴， 故． 23．乘法公式的探究及应用． (1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ； (2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题： ①； ②； ③已知，则 ； ④计算： ． ⑤计算：． ⑥ 【答案】(1) (2)①；②999991；③3；④；⑤；⑥ 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景及应用，掌握平方差公式的结构特点，并灵活运用是解题的关键． （1）利用大正方形面积减去小正方形面积可求得图1中阴影部分面积，再求出图2长方形面积，利用图1、图2面积相等即可得到整式的乘法公式； （2）①先利用得到的平方差公式计算，再利用完全平方公式展开即可； ②利用平方差公式计算即可； ③由及已知，即可求解； ④第一项乘，依次利用平方差公式即可求解； ⑤把每项用平方差公式，即可求解； ⑥从第一项开始，每相邻两项分别利用平方差公式，则转化为1到100这100个自然数的和，从而可求解． 【详解】（1）解：图1中阴影部分面积为，图2中长方形长为，宽为，则其面积为， 根据两部分面积相等得：； 故答案为：； （2）解：①原式 ； ②原式 ； ③∵， ∴， ∴； 故答案为：3； ④ ； 故答案为：； ⑤ ； ⑥ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 整式的乘除（单元测试） （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 3．已知代数式化简后为一个完全平方式，且当时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知与的乘积中不含项，则的值是（   ） A．0 B．5 C． D．±5 5．如果，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 8．如图，在长方形中，，点P为长方形内部一点，过点P分别做于点E、于点F，分别以为边做作正方形，正方形，若两个正方形的面积之和为 ， ，，则长方形的面积为（　） A．17 B．21 C．24 D．28 9．如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于的多项式（中项的系数为（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 10．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 二、填空题（5小题，每小题4分，共20分） 11．计算= ． 12．若，，则的值是 ． 13．无论x，y取任何值，多项式的值总是 数． 14．如图，是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．观察此图，在横线上写出展开式中的未知项， ． 15．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）    ①小长方形C的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． 三、解答题（8小题，共70分） 16．计算： (1) (2) 17．因式分解： (1) (2) 18．已知，，求和的值． 19．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ， ，． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：， 小明给出了如下的证明： 设，则，即 所以，即， 所以． 试解决下列问题：   ①计算 ②请尝试运用这种方法证明． 20．对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号，例如：． (1)求的值为__________； (2)求的值，其中． 21．图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． (1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； (3)观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 22．阅读下列材料，完成相应的任务： 我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式． 类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式方法进行运算． 如：． 用如下列竖式的方法计算： 如果是多项式乘多项式，也可以类比整数乘法用列竖式方法进行运算，计算步骤如下： （1）先把多项式与分别按字母的次数从高到低排列； （2）用多项式中的常数项3去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； （3）再用多项式中的一次项去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； （4）最后把两次乘得的结果与相加得． （5）写出结果：． 任务一： 材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是（）； A．数形结合思想B．类比思想C．分类讨论思想D．转化思想 任务二： 请你用列竖式方法计算：； 任务三： 若多项式与相乘的结果中不含的一次项，则_______． 23．乘法公式的探究及应用． (1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ； (2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题： ①； ②； ③已知，则 ； ④计算： ． ⑤计算：． ⑥ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$