专题16.3 期中压轴题专项复习（考试范围：第11～13章）【21大考点80题】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题16.3 期中压轴题专项复习【21大考点80题】 （考试范围：第11~13章） 【华东师大版】 【考点1 算术平方根的双重非负性】 1 【考点2 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 4 【考点3 与实数运算有关的规律问题】 7 【考点4 实数运算的应用】 10 【考点5 巧用幂的运算逆向运算】 12 【考点6 乘法公式的几何背景】 16 【考点7 整式运算中的整除问题】 23 【考点8 整式运算中的定值问题】 30 【考点9 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 34 【考点10 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】 43 【考点11 倍长中线模型】 50 【考点12 旋转模型】 54 【考点13 垂线模型】 60 【考点14 最短路径问题】 63 【考点15 格点中作等腰三角形】 68 【考点16 三角形中的多结论问题】 71 【考点17 等腰三角形的存在性问题】 77 【考点18 构成等腰三角形的点的个数】 83 【考点19 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 85 【考点20 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 94 【考点21 与三角形有关的新定义问题】 107 【考点1 算术平方根的双重非负性】 1．（23-24八年级·安徽芜湖·期中）已知实数满足，那么的值是(    ) A．1999 B．2000 C．2001 D．2002 【答案】C 【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案 【详解】解：， ，即， ∴ ， 即， ∴，即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键． 2．（23-24八年级·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【分析】根据实数的乘法解决此题． 【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克． 该饮料中蛋白质的含量不少于克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键． 3．（23-24八年级·四川内江·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，先根据题意得到，再由非负数的性质 ，据此化简绝对值推出，则，求出b、c的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级·河南漯河·期中）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的开方和非负数的性质，平方根，根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式，最后根据平方根的定义即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 5．（23-24八年级·浙江·期中）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则的值为 ． 【答案】0 【分析】利用二次根式被开方数非负性得到x、y、z大小关系，最后由符号之间的关系推导得到及y、z等量关系，最后直接计算整式的值即可． 【详解】及且x、y、z是两两不等的实数， 且， ， ，， 与、均同号，或， 又，，故、不同号， ， ， ， 故答案为0． 【点睛】本题考查二次根式的运算，由二次根式被开方数的非负性推导求值，通常这类由一个含有二次根式的式子进行求值的题，都能得到特殊大小或关系，从而求解目标式子，正确的利用二次根式被开方数的非负性推导字母符号和关系是解题的关键． 6．（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】201 【分析】根据能开平方的数一定是非负数，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，从而有=0，再根据算术平方根的非负性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③解方程组可得出m的值． 【详解】解：由题意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0， ∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①． ∴=0， ∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③， 联立①②③得，， ②×2-③×3得，y=4-m， 将y=4-m代入③，解得x=2m-6， 将x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201． 故答案为：201． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及方程组的解法，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 【考点2 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 7．（2024·山东菏泽·一模）已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 【答案】7 【分析】本题考查无理数的估算，根据与10最接近，与6最接近，且，得到与a的最接近的两个整数是3和4，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， 与的最接近的两个整数是3和4， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 9．（23-24八年级·陕西西安·期中）在比例尺为的地图上，某经济开发区的面积为，那么，该经济开发区的实际面积为 ． 【答案】3.2 【分析】结合题意，根据乘方的性质，首先计算得该经济开发区的实际面积，在根据实数的性质计算，即可得到答案. 【详解】根据题意，该经济开发区的实际面积 ∵， ∴该经济开发区的实际面积． 故答案为：3.2. 【点睛】本题考查了实数的知识；解题的关键是熟练掌握实数运算的性质，从而完成求解. 10．（23-24八年级·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】1 【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可． 【详解】∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为4，即b=4． ∴， 即的值是1． 【点睛】本题考查与算术平方根的整数部分有关的计算，掌握确定无理数的估算方法是解题的关键． 11．（23-24八年级·河南驻马店·阶段练习）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 【答案】±5 【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解． 【详解】解：∵＝3， ∴2a﹣1＝9， 解得：a＝5， ∵3a﹣b+1的平方根是±4， ∴15﹣b+1＝16， 解得：b＝0， ∵， ∴10＜＜11， ∴c＝10， ∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25， ∴a+b+2c的平方根为＝±5． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键． 【考点3 与实数运算有关的规律问题】 12．（23-24八年级·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数运算相关的规律的探究． （1）利用题中等式的计算规律得到的结果为； （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和； （3）根据规律得到，，，，，相加即可求解． 【详解】（1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 13．（23-24八年级·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 14．（23-24八年级·广东汕头·期中）观察： ， ； 猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想；那么呢？ 【答案】； 【分析】根据例子的方法进行计算． 【详解】解：，验证如下： ； ． 【点睛】考查了实数的运算，解题的关键是要求学生既会根据例子观察猜想，还要会进一步从理论上进行验证． 【考点4 实数运算的应用】 15．（23-24八年级·浙江·期末）阅读材料，回答问题： （1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________． （2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体收费标准如下： 里程范围 4公里以内（含4公里） 4-12公里以内（含12公里） 12-24公里以内（含24公里） 24公里以上 收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元 ①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元； ②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？ 【答案】（1）；；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里． 【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得； （2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得； ②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：；． （2）①∵ ∴3.07公里需要2元 ∵ ∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元 ∴7.93公里所需费用为：（元） ∵ ∴公里所需费用分为三段计费即：    前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元； ∴公里所需费用为：（元） 故答案为：2；3；6． ②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元； ∴乘坐24公里所需费用为：（元） ∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里 ∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：（公里） ∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里 答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里． 【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键． 16．（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为. 【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解． 【详解】（1）如图， ∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据题意得， ∴（负值舍去） 答：拼成的正方形边长为． 【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 17．（23-24八年级·全国·单元测试）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2．假如一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发生一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？(π≈3.14) 【答案】42次 【分析】根据题意可知，直接把数值代入公式中进行计算即可． 【详解】解：T＝2π≈1.42，≈42(次)． 答：在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声． 【点睛】本题考查了实数的应用.认真审题找准数值是关键． 【考点5 巧用幂的运算逆向运算】 18．（23-24八年级·河南安阳·期末）已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，将与同底数幂的乘法法则建立联系是解答本题的关键，同底数幂的乘法的逆运算是指 ,将，，，三式相乘,即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， ， 故选：A． 19．（23-24八年级·江苏泰州·期末）已知a+2b-2=0，则2a×4b（   ） A．4 B．8 C．24 D．32 【答案】A 【分析】把a+2b-2=0变形为a+2b=2，再将2a×4b变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵a+2b-2=0， ∴a+2b=2， ∴2a×4b= 故选：A． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的逆运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 20．（23-24八年级·福建厦门·阶段练习）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 21．（23-24八年级·浙江嘉兴·阶段练习）若，，，，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和幂的乘方运算．根据幂的乘方运算得到，，再得到，推出，求得，利用算术平方根的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴的值是． 故选：B． 22．（2024八年级·浙江·专题练习）已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是本题的关键． 分别将和的两边次方、次方，得和，将这两个等式的左边和右边分别相乘，得，从而得到，计算即可． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：C． 23．（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘以及积的乘方的逆运用，先把，再运用同底数幂相乘以及积的乘方的逆运算，即可作答． 【详解】解： 故选：D 24．（23-24八年级·辽宁鞍山·期中）已知 则 的值为（     ） A．250 B．160 C．150 D．133 【答案】A 【分析】根据幂的乘方的性质，同底数幂相乘、底数不变指数相加，同底数幂相除、底数不变指数相减，把所求算式转化为已知条件的形式，然后代入计算即可． 【详解】解： ，，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查幂的乘方的性质以及同底数幂的乘除法的性质的运用．熟记性质，把所求算式转化为已知条件的形式是解题的关键． 25．（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据幂的乘方的逆运算求出，，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知，是解题的关键． 【考点6 乘法公式的几何背景】 26．（23-24八年级·全国·单元测试）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图 2)． (1)观察图2，写出，，之间的等量关系是 ； (2)根据(1)中的结论，若，，则 (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据已知条件利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： 提示：由图可知，图1的面积为，图2中白色部分的面积为： 因为图1的面积和图2中白色部分的面积相等， 所以 ． （2）解：根据(1)中的结论，可知 ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 27．（23-24八年级·全国·单元测试）【教材还原】 （1）如图①，用含字母的等式表示图中图形的面积的运算为______； 【类比探究】 （2）若，，则的值为______； 【拓展应用】 （3）如图，某学校有一块梯形空地，于点E，，该校计划在和区域内种花，在和的区域影音部分内种草经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）种草区域的面积是． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形应用，掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． （1）根据图直接作答即可； （2）将两边同时平方，利用（1）中得到的等式计算即可； （3）由三角形的面积公式，分别将和的面积表示出来，根据已知条件得到，由得到，根据（1）中得到的等式得到的值；再由三角形的面积公式求得与的面积之和，将的值代入计算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得． 故答案为：． （2）将两边同时平方， 得， ， ． 故答案为：． （3），， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 种草区域的面积是． 28．（23-24八年级·全国·单元测试）【阅读理解】“若满足，求的值”． 解：设，， 则，， 那么． 【解决问题】 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积结果必须是一个具体的数值． 【答案】(1) (2)； (3)阴影部分的面积为． 【分析】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用． （1）根据举例进行对已知式子计算解答即可； （2）设，，则可得，，所以，可得，即可解答； （3）根据正方形的边长为，，，所以，，得到，设，，从而得到，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，， ， ， ， ， 即； （3）解：∵正方形的边长为，，， ，， ， 设，， ，， ， 答：阴影部分的面积为． 29．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可； 解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③公式中的和可以是单项式，也可以是多项式． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） ． 30．（23-24八年级·湖北武汉·期末）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请回答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式是 ； （2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有，的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）． 【答案】（1）；（2）； （3）大    小 【分析】（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b，宽为a+2b的矩形面积求出，也可以由两个边长为a与边长为b的两正方形，及4个长为a，宽为b的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x-y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可； （3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小； 【详解】（1）看图可知， （2） （3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小. 【点睛】本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 【考点7 整式运算中的整除问题】 31．（23-24八年级·福建泉州·期中）阅读材料： 试说明：命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”． 解：设表示一个三位数， 则 ． 因为能被3整除，所以如果也能被3整除，那么就能被3整除． (1)①一个四位数，如果能被9整除，试说明能被9整除； ②若一个五位数能被9整除，则　　； (2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是　(数字“1”除外)； (3)由数字1至9组成的一个九位数(各数位上的数不重复)，这个数的第一位m能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是　　． 【答案】(1)①见解析，②1 (2)3 (3)381654729 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，数的整除特征，熟练掌握因式分解的方法，理解整除数的特征是解答此题的关键． （1）①首先把四位数改写成，由能被9整除，能被9整除，即可得出结论； ②首先把五位数改写成，然后根据这个五位数能被9整除得能被9整除，即可求得答案； （2）假设，则三位数，据此可得出答案； （3）由能被1整除，可得为质数，由四位数能被4整除，可得两位数能被4整除，则，由九位数中已有7，9，可得，由五位数能被5整除，可得末尾数字，从而得到，由八位数能被8整除，可得三位数能被8整除，从而得到，从而得到对应，由为质数可得，由能被2整除可得，从而得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：①∵是一个四位数， 能被9整除，能被9整除， 四位数能被9整除； ② 是一个五位数， ， 五位数能被9整除， 能被9整除， ， 故答案为：1； （2）解：三位数的各位数字是任意三个连续的正整数， 不妨假设， ， 三位数的最小正因数一定是3(数字“1”除外)， 故答案为：3； （3）解： 均为0至9之间的整数， 由四位数能被4整除，可得两位数能被4整除，则， 由九位数中已有7，9，可得， 由五位数能被5整除，可得末尾数字，从而得到， 由八位数能被8整除，可得三位数能被8整除，从而得到， 这时的九位数为：， 对应， 两位数能被2整除， ， 当，，前七位组成的七位数是3816547，，符合题意， 此时这个九位数时：381654729， 当，，前七位组成的七位数是1836547，，不符合题意， 综上所述：此时这个九位数时：381654729， 故答案为：381654729． 32．（23-24八年级·重庆北碚·开学考试）材料一：若一个四位数的千位数字与十位数字之和为10，百位数字与个位数字之和为10，则称这个四位数为“十全数”．交换这个“十全数”的千位数字与十位数字的位置，百位数字与个位数字的位置，得到新的四位数叫做这个“十全数”的“对应数”． 例如：1298是“十全数”，其“对应数”为9812；5752是“十全数”，其“对应数”为5257． 材料二：若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数． 例如：，则0是完全平方数；，则121是完全平方数． (1)证明：一个“十全数”与其“对应数”之差能被11整除； (2)记为“十全数”，为的“对应数”，且．若，求满足是完全平方数的所有“十全数”． 【答案】(1)见解析 (2)7337 【分析】（1）用a，b表示“十全数”和“对应数”，再求差并分解因式证明； （2）列式表示，再利用代入验证法求解． 【详解】（1）解：设“十全数”的千位数字为a，百位数字为b， 则十位数字为，个位数字为， 则这个“十全数”为：， 它的“对应数”为，， ∴， 所以一个“十全数”与其“对应数”之差能被11整除； （2）解：设“十全数”m的千位数字为a，百位数字为b， 则十位数字为，个位数字为， ， ， ∴， 由题意得：或且， ∴ 为完全平方数， 所以当时，． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握代入验证法是解题的关键． 33．（23-24八年级·江西抚州·阶段练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）通过面积关系求长方形的边长． 【详解】（1）解：用竖式计算如下， 的商是，余式是． ∴答案为：，． （2）多项式能被整除，则 ∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0． ∴a=-6，b=2． ∴ab=（-6）2=36． （3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x． 长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12． ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12=8x． ∴a=2x-6． ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8） =3x2+16x-64． ∴长方形C的面积为：3x2+16x-140． ∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14． ∴长方形C的另一边长为：3x-14． 【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． 34．（23-24八年级·重庆·阶段练习）对于任意一个四位正整数m，若m的各位数字都不为0，且千位数字与百位数字不相等，十位数字与个位数字不相等，那么称这个数为“互异数”．将一个“互异数”m的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为Fm．例如，“互异数”m=1234，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234、134、124、123，这四个三位数之和为234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F(1234)=205． (1)计算F(1345)和F(8132)； (2)若“互异数”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），F(n)也是“互异数”且F(n)能被8整除，求n的值． 【答案】(1)， (2)8991 【分析】(1)根据新定义计算，即可分别求得； (2) 首先可求得，再根据能被8整除，1160能被8整除，可得能被8整除，且，，x，y都是正整数，，可得且，分类讨论即可求得． 【详解】（1）解：， ； （2）解：“互异数”n=8900+10x+y， 去掉千位：900+10x+y， 去掉百位：800+10x+y， 去掉十位：890+y， 去掉个位：890+x ， 能被8整除，1160能被8整除， 能被8整除，且，，x，y都是正整数，， 且， 当7x+y=8时，，不合题意； 当7x+y=16时，，不合题意； 当7x+y=24时，，不合题意； 当7x+y=32时，，不合题意； 当7x+y=40时，，不合题意； 当7x+y=48时，，不符合题意； 当7x+y=56时，，符合题意； 当x取1至6时，，不合题意， 当x=7时，y=7，不合题意； 当7x+y=64时，，符合题意； 当x取1至7时，，不合题意， 当x=8时，y=8，不合题意； 当x=9时，y=1，此时n=8900+90+1=8991； 当7x+y=72时，，符合题意； 当x取1至8时，，不合题意， 当x=9时，y=9，不合题意； 综上，n的值为8991． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，理解新定义，采用分类讨论的思想是解决此类题的关键． 【考点8 整式运算中的定值问题】 35．（23-24八年级·江苏苏州·期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________； (2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，则当a与b满足____时，S为定值，且定值为______．（用含b的代数式表示） 【答案】(1)＝ (2)见解析 (3)时， 【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式； （2）由a2+4ab+3b2可得A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片4张，根据题意画出图形即可； （3）设DG的长为x，求出S1，S2即可解决问题． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为（a+b）2， 方法2：图中四部分的面积和为a2+2ab+b2， ∴（a+b）2=a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2； （2）解：如图3， （3）解：设DG的长为x， ∵S1=a[x-（a+b）]=ax-a2-ab，S2=2b（x-a）=2bx-2ab， ∴S=S2-S1 =2bx-2ab-（ax-a2-ab） =（2b-a）x-ab+a2， 若S为定值，则2b-a=0， ∴a=2b， ∴当a与b满足a=2b时，S为定值，且定值为， 故答案为：a=2b，． 【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的特点，数形结合的数学思想是解决问题的关键． 36．（23-24八年级·江西赣州·期末）已知，如图1，我们在2018年某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)该十字星的十字差为，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48． （1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ． （2）若将正整数依次填入6列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗?如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （3）若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数有关的定值，请用表示出这个定值，并证明你的结论． 【答案】（1）24；（2）是，这个定值是35，理由见解析；（3）定值为，证明见解析. 【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值； （2）设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x-1，x+1，上下两数分别为x-6，x+6，进而表示出十字差，化简即可得证； （3）设十字星中心的数为y，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证． 【详解】解：（1）根据题意得：， 故答案为：24； （2）是，这个定值是35．理由如下： 设十字星中心的数为，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，， 十字差为：． 故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为35； (3)定值为，证明如下： 设设十字星中心的数为y，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，， 十字差为：， 故这个定值为． 【点睛】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键． 37．（23-24八年级·河北石家庄·期末）已知两个长方形纸片，其边长分别如图、图所示（其中），面积分别为和．    (1)①请用含的代数式分别表示______； ______； ②______（填“”“”或“”）． (2)若另有一个正方形纸片的周长与图的长方形的周长相等，其面积为， ①这个正方形的边长为______；（用含的代数式表示） ②试探究这个正方形的面积与图中长方形的面积的差是否是一个定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)①；②不是一个定值，理由见解析 【分析】（1）①用长方形的面积的计算方法可表示出为和；②利用作差法，可比较大小； （2）①根据图的长方形的周长，求出正方形纸片的边长；②先求出正方形的面积，然后作差，求出差后再作出判断即可． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：；； ②∵ ， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）（2）①图的长方形的周长：， ∵正方形的周长与图的长方形的周长相等， ∴正方形的边长为：， 故答案为：； ②不是一个定值．理由如下： ∵， ∴ ， ∵不是一个定值， ∴不是一个定值， ∴正方形的面积与图中长方形的面积的差不是一个定值． 【点睛】本题考查列代数式，长方形的周长和面积，正方形的周长和面积，多项式乘以多项式，完全平方公式，整式的加减运算，比较代数式的大小等知识，掌握多项式乘以多项式，整式的加减的计算法则是正确计算的前提，理解各个图形的周长和面积之间的关系是正确解答的关键． 【考点9 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 38．（23-24八年级·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 39．（23-24八年级·河南新乡·期中）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF． （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． （3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）AE+CF＝EF，证明见解析；（3）AE﹣CF＝EF，证明见解析 【分析】（1）利用SAS定理证明△ABE≌△CBF； （2）延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，分别证明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根据全等三角形的性质、结合图形证明结论； （3）延长DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）证明：在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； （2）解：AE+CF＝EF， 理由如下：延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK， 在△BAE与△BCK中， ， ∴△BAE≌△BCK（SAS）， ∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC， ∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠FBC+∠ABE＝60°， ∴∠FBC+∠KBC＝60°， ∴∠KBF＝∠FBE＝60°， 在△KBF与△EBF中， ， ∴△KBF≌△EBF（SAS）， ∴KF＝EF， ∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF； （3）解：AE﹣CF＝EF， 理由如下：延长DC至G，使CG＝AE， 由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS）， ∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC， ∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°， ∴∠GBF＝∠EBF， ∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF， ∴△GBF≌△EBF， ∴EF＝GF， ∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 40．（23-24八年级·江苏扬州·期中）我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题： （1）如图1，CD为△ABC的高，∠ABC＝2∠A，证明：AD＝CB+BD （2）如图2，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠ADB，AB=3，CD=5，求AC的长度 （3）如图3，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边AB，边AD上的两点，且∠ECF＝∠BCD，求证：BE+DF＝EF． （4）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．请直接写出AC、AE、AF之间的数量关系 【答案】（1）证明见详解；（2）8；（3）证明见详解；（4）． 【分析】（1）在上取一点使，连接，证明，得到 ，，根据可证得，则有，可证得； （2）在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可； （3）延长到，使，连接，根据 分别证明， 可以证得 ； （4）作于，在上截取，用证明，，得到，再根据可以证明，得到，进而可以得到． 【详解】解：（1）如图1，在上取一点使，连接， ∵为的高， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴； （2）如图2示，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，又， ， 而， ， ， ， ； （3）如图3示，延长到，使，连接， ∵，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （4）如图4示，作于，在上截取， ，， ， ， 点是外角平分线上一点，， ， ，， 在和中， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点10 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】 41．（23-24八年级·贵州黔东南·期中）如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 【答案】D 【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24﹣12＝12cm， ∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）； ②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24+12＝36cm， ∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）； ③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， ∵AB＝24cm， ∴BE＝24cm， ∴AE＝24+24＝48cm， ∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒）， 综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，分类讨论，找到所有符合题意的情况是解本题的关键． 42．（23-24八年级·河南周口·期中）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t= s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【分析】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE=CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论． 【详解】解：当E在BC上，D在AC上，即0＜t≤时， CE=（8-3t）cm，CD=（6-t）cm， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． ∴CD=CE， ∴8-3t=6-t， ∴t=1s， 当E在AC上，D在AC上，即＜t＜时， CE=（3t-8）cm，CD=（6-t）cm， ∴3t-8=6-t， ∴t=s， 当E到达A，D在BC上，即≤t≤14时， CE=6cm，CD=（t-6）cm， ∴6=t-6， ∴t=12s， 故答案为：1或或12． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出每种情况下CD和CE的长． 43．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)秒或秒 (2)cm/s或cm/s 【分析】本题主要考查了直角三角形综合，画出相应图形，熟练掌握直角三角形性质，三角形中位线性质，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为秒；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为秒； （2）分两种情况，当点P在上， ，Q的移动速度；②当点P在上， ，，点P移动的距离为32cm，点Q移动的距离为31cm，∴点Q移动的速度为 ． 【详解】（1）当点P在上时，如图①﹣1， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 当点P在上时，如图①﹣2 ∵的面积等于面积的一半； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 故答案为：秒或秒； （2）∵， ∴对应顶点为A与D，P与E，Q与F； 当点P在上，如图②﹣1所示， ∵， ∴点Q移动的速度为； 当点P在上，如图②﹣2所示： ∵，， ∴点P移动的距离为，点Q移动的距离为， ∴点Q移动的速度为； 故P、Q两点运动过程中的某一时刻，恰好时，点Q的运动速度为或． 44．（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．    (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；；②或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差； （1）由，可得，通过即可证明； （2）①根据题列出代数式即可得出，根据等角的余角相等即可证明； ②分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； （2）①解：依题意，， ∵ 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． ②解：存在， 如图2，当时， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【考点11 倍长中线模型】 45．（23-24八年级·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点， 为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, 同理可得: , ∴， 此时, 延长交于 点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 46．（23-24八年级·浙江台州·期中）已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题． ②延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，即可知道，所以，根据题干又可得到，所以，从而得出结论． （2）延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，，根据题干即可证明≌（HL），即得出结论． 【详解】（1）①∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为． ②如图，延长至点，使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）． 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴≌， ∴，， ∵． ∴≌， ∴． 【点睛】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键． 【考点12 旋转模型】 47．（23-24八年级·山东济南·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 48．（23-24八年级·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【答案】【基本模型】【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：． 【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）； （3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则， ，，，， 又， ， ， 又， ， 、、三点共线， 在和中，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。 【考点13 垂线模型】 49．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是 . 【答案】2 【分析】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造 得出BE=AF 利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC的面积为1进行计算即可. 【详解】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F, ∴∠BEA=∠AFD=90° ∴∠2+∠3=90° ∵∠BAD=90° ∴∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3 ∵AB=AD ∴ ∴BE=AF ∵AD=CD，DF⊥AC ∴AF= ∴BE=AF= ∴ ∴AC=2 故答案为2 【点睛】本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键. 50．（23-24八年级·浙江·期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC； （2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点． （3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或 【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论； （2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案； （3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵FD⊥AC， ∴∠FDA=90°， ∴∠DFA+∠DAF=90°， 同理，∠CAE+∠DAF=90°， ∴∠DFA=∠CAE， 在△AFD和△EAC中， ， ∴△AFD≌△EAC（AAS）， ∴DF=AC， ∵AC=BC， ∴FD=BC； （2）作FD⊥AC于D， 由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE， 在△FDG和△BCG中，， ∴△FDG≌△BCG（AAS）， ∴DG=CG=1， ∴AD=2， ∴CE=2， ∵BC=AC=AG+CG=4， ∴E点为BC中点； （3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D， BC=AC=4，CE=CB+BE=7， 由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB， ∴CG=GD，AD=CE=7， ∴CG=DG=1.5， ∴AG=CG+AC=5.5， ∴， 同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【考点14 最短路径问题】 51．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则由轴对称知识可知，所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出. 【详解】解：∵，平分， ∴， 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、， 则，，，，， ∴，，，， 当在一条直线上，且时，取最小值， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 【点睛】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键. 52．（2024·贵州毕节·一模）如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小． 【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AF=CF， ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°， ∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°）， 作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小， ∵CA=CM，∠ACM=60°， ∴△ACM是等边三角形， ∵AF=CF， ∴FM⊥AC， ∴∠CFE′=90°， 故选D． 【点睛】本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题． 53．（23-24八年级·辽宁营口·阶段练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接、，根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得，则欲求的最小值即为的最小值，即的最小值，则当时，即的值最小，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接、， 是、的对称轴， 即是线段的垂直平分线， ， 的最小值即为的最小值，即的最小值， 当时，即的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长， 在中，，，， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含角的直角三角形的性质，解题关键是找出点、的位置． 54．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在中，，，，点P，D分别为，上的动点，则的最小值是 ．    【答案】4 【分析】作点A关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，此时的值最小，且的长度就是的最小值．可证为等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，此时的值最小，且的长度就是的最小值．    是的垂直平分线， ，， ，， ， 为等边三角形． 又与均为等边三角形的高， ， ， 的最小值是4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了线段和最小值的典型问题，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，掌握解法是解题的关键． 55．（23-24八年级·四川成都·期中）如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    【答案】8 【分析】连接，由轴对称的性质可得也是边长为4的等边三角形，从而得到，，从而得到，证明得到，从而得到，由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，   ， 等边三角形的边长为4， ，， 与关于直线对称， 也是边长为4的等边三角形， ，， ， 在和中， ，，， ， ， ， 由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值， ， 的最小值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 【考点15 格点中作等腰三角形】 56．（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、格点问题等知识点，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形，然后统计即可解答． 【详解】解：如图:根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形如下： 以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选C． 57．（23-24八年级·辽宁盘锦·期中）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查利用网格作图及等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据等腰三角形的定义及网格作图即可； （2）根据等腰直角三角形的定义及网格作图即可； （3）根据线段垂直平分线的性质及网格作图即可． 【详解】（1）解：如图所示点C即为所求；    （2）如图所示线段，即为所求；    （3）如图所示线段即为所求．    58．（2024·江西抚州·一模）图①、图② 均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中找点D，连接、、，使得． (2)在图②中找点E，连接、，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识： （1）根据网格的特点，找到线段的垂直平分线与线段垂直平分线的交点即为所求点D； （2）根据网格特点得到，根据等腰直角三角形的性质作图即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，线段的垂直平分线与线段垂直平分线的交点D即为所求， ； （2）解：由图形可得，， 根据格点作等腰直角三角形，， ∴， ∴点E如图所示： ． 【考点16 三角形中的多结论问题】 59．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 60．（23-24八年级·重庆·阶段练习）如图，在中，，平分，平分，与交于点，为外一点，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 （只需要填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，①先证，再根据，，即可依据“”判定和全等，由此可对结论①进行判断；②根据等腰三角形性质得，则，再根据角平分线的定义得，，则，，由此可求出的度数，进而可对结论②进行判断；③根据等腰三角形性质得为边上的中线，则，由得，进而得，而是的平分线不是边上的中线，则，据此可对结论③进行判断；④由得，再证和全等得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】①∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故结论①正确； ②在中，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由①可知：，， ∴， 故结论②正确； ③在中，，平分， ∴是边上的中线， ∴， 由①可知：， ∴， ∴， ∵是的平分线，不是边上的中线， ∴， ∴， 故结论③不正确； ④由①可知：， ∴，，， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论④正确， 综上所述：结论正确的是 ①②④， 故答案为：①②④． 61．（23-24八年级·山东济南·期中）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是 （填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】①根据等边三角形的性质可得AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，利用“边角边”证明△ACE和△DCB全等；②通过△ACE和△DCB全等，可得到∠BDC=∠EAC，在△DMP和△ACM中，利用“8”字型可求得∠DPA=∠DCA=60°；③根据三角形外角性质得到∠AMC＞∠MCE，则∠AMC＞∠ACM，所以AC＞AM，又可证得△ACM和△DCN全等，得到AM=DN，从而得到AC＞DN；④根据全等三角形对应边相等可得AM=DN，CM=CN，然后求出EM=BN；⑤△DAC和△EBC均是等边三角形，所以∠ACD=∠BCE=60°，可得到∠DCE=60°，所以∠DCE=∠BEC，再根据内错角相等，两直线平行可得CD∥BE． 【详解】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形， ∴∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠ACE=∠DCB=120°， 在△ACE与△DCB中， ∴△ACE≌△DCB（SAS），故①正确； 在△DMP和△ACM中 ∵△ACE≌△DCB， ∴∠BDC=∠EAC 又∠DMP=∠AMC ∴∠DPA=∠DCA=60°，故②正确； ∵△ACE≌△DCB， ∴∠BDC=∠EAC 又∠ACD=∠BCE=60°，AC=CD 在△ACM和△DCN中 ∴△ACM≌△DCN（ASA） ∴AM=DN 又根据三角形外角性质得到∠AMC＞∠MCE， 则∠AMC＞∠ACM， ∴AC＞AM ∴AC＞DN，故③错误； 由②中△ACM≌△DCN可得AM=DN 又△ACE≌△DCB ∴AE=DB ∴EM=BN，故④正确； ∵△DAC和△EBC均是等边三角形， ∴∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠DCE=60°， ∴∠DCE=∠BEC， ∴CD∥BE，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤ 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，综合性较强，但难度不是很大，准确识图找出全等三角形是解题的关键． 【考点17 等腰三角形的存在性问题】 62．（2024上·河南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，，当的值等于 时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形． 【答案】28°或31° 【分析】首先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B＝∠AFD，AB＝AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG＝∠C，就可以求出∠DFG的值；再分两种情况讨论解答即可，当DF＝GF时，当DF＝DG时，从而求出结论． 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝124°， ∴∠B＝∠C＝28°． ∵△ABD和△AFD关于直线AD对称， ∴△ADB≌△ADF， ∴∠B＝∠AFD＝28°，AB＝AF，∠BAD＝∠FAD＝θ， ∴AF＝AC． ∵AG平分∠FAC， ∴∠FAG＝∠CAG． ∴△AGF≌△AGC（SAS）， ∴∠AFG＝∠C． ∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG， ∴∠DFG＝∠B+∠C＝28°+28°＝56°． ①当DF＝GF时， ∴∠FDG＝∠FGD． ∵∠DFG＝56°， ∴∠FDG＝∠FGD＝62°， ∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ， ∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28+θ+62°， ∴∠ADB＝28°+θ+62°， ∵∠ADB+∠B+θ＝180° ∴28°+θ+62°+28°+θ＝180°， ∴θ＝31°． ②当DF＝DG时， ∴∠DFG＝∠DGF＝56°， ∴∠GDF＝180°﹣56°﹣56°＝68°， ∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ， ∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28°+θ+68°， ∴∠ADB＝28°+θ+68°， ∵∠ADB+∠B+θ＝180°， ∴28°+θ+68°+28°+θ＝180°， ∴θ＝28°． ∴当θ＝28°或31°时，△DFG为等腰三角形． 故答案为：28°或31°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键． 63．（2024上·河南三门峡·八年级校考期中）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】 或 【分析】过D作，，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点， ∴， 过D作，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为： 或， 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 64．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，过△ABC的一个顶点，作一条直线把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC= °. 【答案】36或90或108或 【分析】本题要利用三角形内角和定理求解．由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论． 【详解】如图1， 当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AB=AC，AD=CD=BD， 设∠B=x°， 则∠BAD=∠B=x°，∠C=∠B=x°， ∴∠CAD=∠C=x°， ∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴x+x+x+x=180， 解得x=45， 则顶角是90°； ②如图2， AB=AC=CD，BD=AD， 设∠C=x°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=x°， ∵BD=AD， ∴∠BAD=∠B=x°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°， ∵AC=CD， ∴∠CAD=∠ADC=2x°， ∴∠BAC=3x°， ∴x+x+3x=180，x=36°，则顶角是108°． ③如图3， 当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AB=AC，BC=BD=AD， 设∠A=x°， ∵BD=AD， ∴∠ABD=∠A=x°， ∴∠CDB=∠ABD+∠A=2x°， ∵BC=BD， ∴∠C=∠CDB=2x°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x°， ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180， x=36°， 则顶角是36°． ④如图4， 当∠A=x°，∠ABC=∠ACB=3x°时，也符合， AD=BD，BC=DC， ∠A=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x， 则x+3x+3x=180°， x= ． 综上所述∠A=36°或90°或108°或° 故答案为36或90或108或 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． 【考点18 构成等腰三角形的点的个数】 65．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 66．（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形； ②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形； ③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形； ④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形． ⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形． 【详解】解：作图如下 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力． 【考点19 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 67．（23-24八年级·福建厦门·期中）在中，，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键． 作，与的延长线交于点G，作，交于点F，证明，得，再证明进而可得的长． 【详解】解：如图，作，与的延长线交于点G，作，交于点F， ， ， ， ， 同理，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 68．（23-24八年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则 ． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，过点作，先证明，得到，，再证明，得到，进而得到，推出，设，则，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接，过点作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，正确的添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 69．（23-24八年级·山东济南·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你帮小明求出的长． 【答案】（1）全等；理由见解析；（2）；理由见解析；（3） 【分析】（1）先根据等角对等边证明，再根据证明三角形全等即可； （2）延长，交于点G，证明，得出，证明，得出； （3）过点D作交的延长线于点G，交于点H，证明，得出，证明，得出，求出即可． 【详解】解：全等；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）；理由如下： 延长，交于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）过点D作交的延长线于点G，交于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 70．（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，已知和均为等腰直角三角形，，点M为的中点，过点E与平行的直线交射线于点N．    (1)求证： M为的中点． (2)将图1中的绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图2），求证：为等腰直角三角形； (3)将图1中绕点B旋转到图3位置，当A、B、N三点在同一直线上时（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)成立；理由见解析 【分析】（1）由和点M为的中点可以证得，从而证得M为的中点； （2）证，从而可以证得，进而可以证得，，则有为等腰直角三角形； （3）如图3，证，根据四边形内角和，可得，从而可以证得，进而可以证得，则有 为等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵点M为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴M为的中点； （2）证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A，B，E三点共线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：当A、B、N三点在同一直线上时（2）中的结论仍成立，（如图3）： 证明：∵， ∴． ∵点M为的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，在（3）中能够在掌握变中有不变的辩证思想是解决问题的关键． 【考点20 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 71．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线沿向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于，于．设点的运动时间为 (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上时，求证：． (3)连结，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出值． (4)当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)t的值为或 (4)t的值为1或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）分两种情况情况，点在上，在上，由题意可得出答案； （2）由直角三角形的性质可得出结论； （3）当点在边上，且时，是等边三角形，当点Q在边上，时，是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案； （4）由全等三角形的性质列出方程可得出答案． 【详解】（1）解：当点到点时， 当点到点时， 当时，在上，， ∴； 当时，点在上， ∵， ∴； ∴的长为或； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 当点在边上，且时，是等边三角形， 此时， ∴； 当点Q在边上，时，是等边三角形， 此时， ∴， 综上所述，当图中存在等边三角形时，t的值为或； （4）解：当点到点时， 当点到点时， 当时，点在边上，点Q在边上，，， 此时，，，则有， ∴， ∴ 解得：； 当时，点P，Q都在边上时，，， 点P，Q重合，此时， ∴， ∴， 解得：； 当时，点到终点停止不动，点P在边上此时两个三角形不全等； 当时，点到终点停止不动，点P在边上，，，此时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当与全等时，t的值为1或或． 72．（23-24八年级·贵州遵义·期中）已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”）． 理由如下，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点E在直线上，点D在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【答案】(1)＝ (2)＝，见解析 (3)，画图见解析． 【分析】（1）根据等边三角形性质得到，，结合E是中点，得到，根据等腰三角形性质得到，由三角形外角性质得到，得到 ，即得； （2）以下解答为：，根据等边三角形性质得到．得到，得到 为等边三角形，推出．根据等腰三角形性质得到．结合三角形外角性质得到 ．得到．得到．即得； （3）证明，根据，得到，根据，得到，结合，得到，得到，即得． 【详解】（1）∵在等边三角形中，，且E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：＝； （2）以下解答过程为： ∴， ∵为等边三角形， ∴． ∴， ∴ 为等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 故答案为：＝； （3）如图． ∵等边的边长为1，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的判定和性质 ，等腰三角形的判定和性质，含的直角三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 73．（23-24八年级·陕西西安·开学考试）在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)①等边三角形，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①证明即可推出为等边三角形；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，再利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①证明：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ②． 证明：∵为等边三角形, ∴,, 如图，作点D关于直线的对称点，连接． ∴, ∴，则点P在的延长线上时，的值最大，此时． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵,, ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 74．（23-24八年级·福建福州·单元测试）如图，在等边三角形中，，P是边上的任意一点，（点P可以与点A重合，不与点B重合）过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． (1)请将用含的式子表示出来； (2)当的长等于多少时，点P与点Q重合？ (3)当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了等边三角形和含直角三角形．熟练掌握等边三角形性质，含直角三角形的性质，一元一次方程应用，是解决问题的关键． （1）根据．，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即得； （2）当点P与点Q重合时，，得，解得，即得； （3）当点P在点Q右侧时，，得，解得，即得；当点P在点Q左侧时，，得， 解得 ，即得． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴； 在中， ∵， ∴； 在中， ∵， ∴， 故； （2）解：当点P与点Q重合时，， ∴， 解得：   故； （3）解：当点P在点Q右侧时，，， 有， 解得：，   ∴； 当点P在点Q左侧时，， 有， 解得： ， ∴， 综上所述，当时，的长为：或． 75．（23-24八年级·重庆渝北·期中）在中，，为的中线，的角平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)如图1，若，请直接写出线段，间的数量关系：__ ； (2)如图2，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，在的外部作，使，过点作交于点，点在上，连接，，若与互余，的面积为18，求的长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】 （1）先判断出是等边三角形，设，表示出、，根据两直线平行，内错角相等求出，表示出，然后相比即可； （2）取的中点，连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰直角三角形的对称性可得，然后求出，再求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，从而得到，，整理即可得证； （3）过点作于，过点作于，先求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再求出，根据等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得到，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰直角三角形的面积求出，然后求解即可． 【详解】（1） 解：，， 是等边三角形， ∴， 设， 为的中线，为的角平分线， ∴，， ， ，为的中线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ∴， ∵， ， ； 故答案为：； （2） 证明：取的中点，连接、， ，， 是等腰直角三角形， ∴， ∵为中线， ∴， ∴垂直平分， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 故； （3） 解：过点作于，过点作于， ， ， ， 与互余， ， ， 是的平分线， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为18， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记各性质并理解题目信息是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形． 【考点21 与三角形有关的新定义问题】 76．（23-24八年级·湖南衡阳·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【概念理解】 (1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°； (2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°； (3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由； 【应用拓展】 (4)如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是开心中的一个开心角，设，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据开心三角形的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案； （2）根据开心三角形的概念分两种情况求解即可； （3）由是开心中最小的内角，则与互为开心角的内角只能为，列出不等式求解即可； （4）分 与互为开心角和与互为开心角两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设最小角为， ∵为开心三角形，， ∴， ∴， ∴这个三角形中最小的内角为． 故答案为：； （2）∵， 当与互为“开心角”时，则最小角为； 当与互为“开心角”时，设最小角为， ∴， ∴， 综上：为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为； 故答案为：40； （3）∵是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角， ∴另一个开心角是， ∴第三个内角是， ∵是最小内角， ∴， ∴； （4）∵平分的内角，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵，则， ∵，， ∴，即， ∴， ∴ ①当与互为开心角时， 或， ∴或， 解得或； ②当与互为开心角， 或， ∴或， 解得； 综上所述：或或． 【点睛】本题为新定义题型，主要考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质以及开心角和开心三角形的概念，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 77．（23-24八年级·江苏盐城·期中）定义：若是同旁内角，并且满足，则称是的内联角． (1)如图1，已知是的内联角． ① 当时， _____； ② 当直线时，求的度数． (2)如图2，已知是的内联角，点O是线段上一定点． ①是的内联角吗？请说明理由； ② 过点O的直线分别交直线于点P、Q，若且是图中某个角的内联角．请直接写出是哪个角的内联角，以及此时的度数． 【答案】(1)①；② (2)①是，理由见解析；②当是的内联角时，；当是的内联角时，；当是的内联角时， 【分析】本题考查同旁内角，平行线的性质，几何图形中角度的计算，三角形的外角，掌握内联角的定义，是解题的关键： （1）①根据内联角的定义进行求解即可；②根据平行线的性质和内联角的定义，进行求解即可； （2）①根据邻补角求出和的度数，再根据内联角的定义进行判断即可；②分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵是的内联角， ∴， ∵， ∴； 故答案为：80； ②∵是的内联角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①是，理由如下： ∵是的内联角， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵是同旁内角， ∴是的内联角； ②∵是的内联角，， ∴， 当直线位于如下图所示位置时： ∴当是的内联角时，则：， 当是的内联角时，，解得： 当直线位于如下图所示位置时： ∵， ∴， ，    若是的内联角，则 ， ∵， ∴（舍去）． 若是的内联角，则 ， 得， 综上：当是的内联角时，；当是的内联角时，；当是的内联角时，． 78．（23-24八年级·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．    (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和； ①如图（2），当时，求证：； ②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由． (2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值． 【答案】(1)①见解析；②相等，理由见解析 (2)变化，最大值为18 【分析】（1）①由正方形的性质可以得出，，，即可得出而得出结论； ②如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点，通过证明就有而得出结论； （2）根据（1）可以得出，要使最大，就要使最大，当时最大，即可求出结论． 【详解】（1）解：①证明：正方形和正方形， ，，， ， ， ． 在和中， ， ． ， ． ②． 理由如下： 如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点．      ． 四边形，四边形均为正方形， ，， ，． ． 在和中， ， ， ． ， ，， ； （2）的值发生变化；的最大值为18；理由如下： 由（1）得，是面积的三倍， 要使最大，只需的面积最大， 当是直角三角形，即时，有最大值． 此时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键． 79．（23-24八年级·福建福州·期中）定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 【答案】(1)9 (2)见解析 (3)能，当点Q是的费马点时，的值最小．证明该位置满足设计要求见解析 【分析】（1）根据证明得，从而点O是三边垂直平分线的交点，延长交于点D，根据30度角的性质求出即可求解； （2）作于M，于N，设与交点为G．根据证明得，，然后证明平分，可得，进而可证结论成立； （3）分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，该点即为所求的点，根据证明得，从而可判断当D、K、Q、C四点共线时，为最小值，进而可证结论成立． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵点O是等边的费马点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点O是三边垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴． ∴延长交于点D，如图1， ∴， ∴． 故答案为：9． （2）如图2，作于M，于N，设与交点为G． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴，． 又∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分 ∴ ∴ ∴点P是的费马点． （3）能，如第（2）小题那样，分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，由（2）小题知该点是的费马点，即为所要建的污水处理站Q的位置． 证明如下：如图3，设点Q是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 当D、K、Q、C四点共线时，为最小值， 又∵， ∴这时， ∴， ∴点Q是的费马点 即当点Q是的费马点时，的值最小． 【点睛】本题考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 80．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）；（5）且；理由见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由和均为等边三角形，可证，可得，，由点、、在同一条直线上，可求即可； （2）延长到，使得，由，可证为等边三角形，可得，由，，可证为等边三角形，可证，可得即可； （3）由，由与都是等边三角形，可证，可得，，可证是直角三角形且即可； （4）将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．先证，再证，最后证，可得； （5）由两个等腰直角三角形和中，，，，可证，可得，再求即可； 【详解】解：（1）如图， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ．， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：，． （2）证明：如图中，延长到，使得． ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ． （3）解：以为边构造等边，连接，如图3所示： 与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （4）解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、． 由（1）可知， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ． （5）且； 理由如下：， ． ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：且． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16.3 期中压轴题专项复习【21大考点80题】 （考试范围：第11~13章） 【华东师大版】 【考点1 算术平方根的双重非负性】 1 【考点2 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 4 【考点3 与实数运算有关的规律问题】 7 【考点4 实数运算的应用】 10 【考点5 巧用幂的运算逆向运算】 12 【考点6 乘法公式的几何背景】 16 【考点7 整式运算中的整除问题】 23 【考点8 整式运算中的定值问题】 30 【考点9 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 34 【考点10 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】 43 【考点11 倍长中线模型】 50 【考点12 旋转模型】 54 【考点13 垂线模型】 60 【考点14 最短路径问题】 63 【考点15 格点中作等腰三角形】 68 【考点16 三角形中的多结论问题】 71 【考点17 等腰三角形的存在性问题】 77 【考点18 构成等腰三角形的点的个数】 83 【考点19 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 85 【考点20 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 94 【考点21 与三角形有关的新定义问题】 107 【考点1 算术平方根的双重非负性】 1．（23-24八年级·安徽芜湖·期中）已知实数满足，那么的值是(    ) A．1999 B．2000 C．2001 D．2002 2．（23-24八年级·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 3．（23-24八年级·四川内江·阶段练习）已知，则 ． 4．（23-24八年级·河南漯河·期中）已知，则的平方根为 ． 5．（23-24八年级·浙江·期中）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则的值为 ． 6．（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）若满足关系式 ，则 ． 【考点2 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 7．（2024·山东菏泽·一模）已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 8．（23-24八年级·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 9．（23-24八年级·陕西西安·期中）在比例尺为的地图上，某经济开发区的面积为，那么，该经济开发区的实际面积为 ． 10．（23-24八年级·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 11．（23-24八年级·河南驻马店·阶段练习）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 【考点3 与实数运算有关的规律问题】 12．（23-24八年级·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 13．（23-24八年级·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 14．（23-24八年级·广东汕头·期中）观察： ， ； 猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想；那么呢？ 【考点4 实数运算的应用】 15．（23-24八年级·浙江·期末）阅读材料，回答问题： （1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________． （2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体收费标准如下： 里程范围 4公里以内（含4公里） 4-12公里以内（含12公里） 12-24公里以内（含24公里） 24公里以上 收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元 ①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元； ②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？ 16．（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 17．（23-24八年级·全国·单元测试）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2．假如一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发生一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？(π≈3.14) 【考点5 巧用幂的运算逆向运算】 18．（23-24八年级·河南安阳·期末）已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 19．（23-24八年级·江苏泰州·期末）已知a+2b-2=0，则2a×4b（   ） A．4 B．8 C．24 D．32 20．（23-24八年级·福建厦门·阶段练习）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级·浙江嘉兴·阶段练习）若，，，，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 22．（2024八年级·浙江·专题练习）已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．1 D．2 23．（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级·辽宁鞍山·期中）已知 则 的值为（     ） A．250 B．160 C．150 D．133 25．（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【考点6 乘法公式的几何背景】 26．（23-24八年级·全国·单元测试）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图 2)． (1)观察图2，写出，，之间的等量关系是 ； (2)根据(1)中的结论，若，，则 (3)拓展应用：若，求的值． 27．（23-24八年级·全国·单元测试）【教材还原】 （1）如图①，用含字母的等式表示图中图形的面积的运算为______； 【类比探究】 （2）若，，则的值为______； 【拓展应用】 （3）如图，某学校有一块梯形空地，于点E，，该校计划在和区域内种花，在和的区域影音部分内种草经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 28．（23-24八年级·全国·单元测试）【阅读理解】“若满足，求的值”． 解：设，， 则，， 那么． 【解决问题】 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积结果必须是一个具体的数值． 29．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 30．（23-24八年级·湖北武汉·期末）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请回答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式是 ； （2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有，的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）． 【考点7 整式运算中的整除问题】 31．（23-24八年级·福建泉州·期中）阅读材料： 试说明：命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”． 解：设表示一个三位数， 则 ． 因为能被3整除，所以如果也能被3整除，那么就能被3整除． (1)①一个四位数，如果能被9整除，试说明能被9整除； ②若一个五位数能被9整除，则　　； (2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是　(数字“1”除外)； (3)由数字1至9组成的一个九位数(各数位上的数不重复)，这个数的第一位m能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是　　． 32．（23-24八年级·重庆北碚·开学考试）材料一：若一个四位数的千位数字与十位数字之和为10，百位数字与个位数字之和为10，则称这个四位数为“十全数”．交换这个“十全数”的千位数字与十位数字的位置，百位数字与个位数字的位置，得到新的四位数叫做这个“十全数”的“对应数”． 例如：1298是“十全数”，其“对应数”为9812；5752是“十全数”，其“对应数”为5257． 材料二：若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数． 例如：，则0是完全平方数；，则121是完全平方数． (1)证明：一个“十全数”与其“对应数”之差能被11整除； (2)记为“十全数”，为的“对应数”，且．若，求满足是完全平方数的所有“十全数”． 33．（23-24八年级·江西抚州·阶段练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 34．（23-24八年级·重庆·阶段练习）对于任意一个四位正整数m，若m的各位数字都不为0，且千位数字与百位数字不相等，十位数字与个位数字不相等，那么称这个数为“互异数”．将一个“互异数”m的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为Fm．例如，“互异数”m=1234，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234、134、124、123，这四个三位数之和为234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F(1234)=205． (1)计算F(1345)和F(8132)； (2)若“互异数”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），F(n)也是“互异数”且F(n)能被8整除，求n的值． 【考点8 整式运算中的定值问题】 35．（23-24八年级·江苏苏州·期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________； (2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，则当a与b满足____时，S为定值，且定值为______．（用含b的代数式表示） 36．（23-24八年级·江西赣州·期末）已知，如图1，我们在2018年某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)该十字星的十字差为，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48． （1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ． （2）若将正整数依次填入6列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗?如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （3）若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数有关的定值，请用表示出这个定值，并证明你的结论． 37．（23-24八年级·河北石家庄·期末）已知两个长方形纸片，其边长分别如图、图所示（其中），面积分别为和．    (1)①请用含的代数式分别表示______； ______； ②______（填“”“”或“”）． (2)若另有一个正方形纸片的周长与图的长方形的周长相等，其面积为， ①这个正方形的边长为______；（用含的代数式表示） ②试探究这个正方形的面积与图中长方形的面积的差是否是一个定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【考点9 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 38．（23-24八年级·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 39．（23-24八年级·河南新乡·期中）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF． （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． （3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 40．（23-24八年级·江苏扬州·期中）我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题： （1）如图1，CD为△ABC的高，∠ABC＝2∠A，证明：AD＝CB+BD （2）如图2，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠ADB，AB=3，CD=5，求AC的长度 （3）如图3，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边AB，边AD上的两点，且∠ECF＝∠BCD，求证：BE+DF＝EF． （4）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．请直接写出AC、AE、AF之间的数量关系 【考点10 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】 41．（23-24八年级·贵州黔东南·期中）如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 42．（23-24八年级·河南周口·期中）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t= s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 43．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 44．（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．    (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【考点11 倍长中线模型】 45．（23-24八年级·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 46．（23-24八年级·浙江台州·期中）已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【考点12 旋转模型】 47．（23-24八年级·山东济南·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 48．（23-24八年级·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【考点13 垂线模型】 49．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是 . 50．（23-24八年级·浙江·期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC； （2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点． （3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果） 【考点14 最短路径问题】 51．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 52．（2024·贵州毕节·一模）如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 53．（23-24八年级·辽宁营口·阶段练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ． 54．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在中，，，，点P，D分别为，上的动点，则的最小值是 ．    55．（23-24八年级·四川成都·期中）如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    【考点15 格点中作等腰三角形】 56．（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 57．（23-24八年级·辽宁盘锦·期中）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 58．（2024·江西抚州·一模）图①、图② 均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中找点D，连接、、，使得． (2)在图②中找点E，连接、，使得． 【考点16 三角形中的多结论问题】 59．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 60．（23-24八年级·重庆·阶段练习）如图，在中，，平分，平分，与交于点，为外一点，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 （只需要填写序号）． 61．（23-24八年级·山东济南·期中）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是 （填序号） 【考点17 等腰三角形的存在性问题】 62．（2024上·河南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，，当的值等于 时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形． 63．（2024上·河南三门峡·八年级校考期中）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 ． 64．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，过△ABC的一个顶点，作一条直线把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC= °. 【考点18 构成等腰三角形的点的个数】 65．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 66．（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点19 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 67．（23-24八年级·福建厦门·期中）在中，，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为 ． 68．（23-24八年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则 ． 69．（23-24八年级·山东济南·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你帮小明求出的长． 70．（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，已知和均为等腰直角三角形，，点M为的中点，过点E与平行的直线交射线于点N．    (1)求证： M为的中点． (2)将图1中的绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图2），求证：为等腰直角三角形； (3)将图1中绕点B旋转到图3位置，当A、B、N三点在同一直线上时（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由． 【考点20 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 71．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线沿向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于，于．设点的运动时间为 (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上时，求证：． (3)连结，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出值． (4)当与全等时，直接写出的值． 72．（23-24八年级·贵州遵义·期中）已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”）． 理由如下，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点E在直线上，点D在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 73．（23-24八年级·陕西西安·开学考试）在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 74．（23-24八年级·福建福州·单元测试）如图，在等边三角形中，，P是边上的任意一点，（点P可以与点A重合，不与点B重合）过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． (1)请将用含的式子表示出来； (2)当的长等于多少时，点P与点Q重合？ (3)当时，求的长． 75．（23-24八年级·重庆渝北·期中）在中，，为的中线，的角平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)如图1，若，请直接写出线段，间的数量关系：__ ； (2)如图2，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，在的外部作，使，过点作交于点，点在上，连接，，若与互余，的面积为18，求的长． 【考点21 与三角形有关的新定义问题】 76．（23-24八年级·湖南衡阳·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【概念理解】 (1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°； (2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°； (3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由； 【应用拓展】 (4)如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是开心中的一个开心角，设，求的度数． 77．（23-24八年级·江苏盐城·期中）定义：若是同旁内角，并且满足，则称是的内联角． (1)如图1，已知是的内联角． ① 当时， _____； ② 当直线时，求的度数． (2)如图2，已知是的内联角，点O是线段上一定点． ①是的内联角吗？请说明理由； ② 过点O的直线分别交直线于点P、Q，若且是图中某个角的内联角．请直接写出是哪个角的内联角，以及此时的度数． 78．（23-24八年级·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．    (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和； ①如图（2），当时，求证：； ②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由． (2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值． 79．（23-24八年级·福建福州·期中）定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 80．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$