精品解析：2024年湖北省荆门市沙洋县中考学情调研数学试题

沙洋县2024年初中毕业年级学情调研 数学试卷 （本试卷共24题，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，计30分．） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三种视图，掌握三视图的定义是关键．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.圆台的主视图和左视图都是梯形，俯视图是圆环，故此选项不符合题意； B.圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，故此选项不符合题意； C.正方体的主视图、左视图和俯视图都是正方形，此选项符合题意； D.圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，故此选项不符合题意． 故选：D． 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求交集即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 因此该不等式组的解集为． 故选C． 【点睛】本题考查求不等式组的解集，解题的关键是熟记不等式组的解集口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” ． 4. 在下列调查中，适宜全面调查的是（ ）． A. 调查汽车的抗撞力 B. 了解全市学生的身高情况 C. 调查春晚的收视率 D. 选出某校九年级短跑最快的学生参加全市比赛 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查．根据由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、调查汽车的抗撞力，适合用抽样调查，故本选项不符合题意； B、了解全市学生的身高情况，适合用抽样调查，故本选项不符合题意； C、调查春晚的收视率，适合用抽样调查，故本选项不符合题意； D、选出某校九年级短跑最快的学生参加全市比赛，适合用全面调查，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占(平方毫米)，用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法可表示为． 故选：C． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用合并同类项法则，可判断A、B，利用幂的乘方法则，可判断C，利用同底数幂的乘法法则，可判断D． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则等知识点，题目难度不大，掌握整式的运算法则是解决本题的关键． 7. 如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（ ） A. 100° B. 120° C. 135° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 8. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 又点在函数的图象上，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 9. 如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，重合）．设，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．由垂直的定义得到，由圆周角定理推出，即可求出． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 10. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则，其中正确的选项是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可得，，，可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：二次函数开口向下，则， 二次函数对称轴为，则，，， ∴，故①正确； ∵过点， ∴由对称性可得二次函数与轴的另一交点为， 由函数图象可得时， ，故②正确； 时， ， 代入得：，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，， ∴当时， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∵二次函数开口向下 ∴，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④． 故选： D． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键． 二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计15分．） 11. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 12. 已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象及其性质，完全平方公式．根据多项式是一个完全平方式得，再根据反比例函数的图象位于第二、四象限得，由此解得，据此可得出的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ， 故答案为：． 13. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单的概率公式求解即可． 【详解】解：卡片中有2张是物理变化，一共有6张卡片， ∴是物理变化的概率为：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查简单的概率公式计算，理解题意是解题关键． 14. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则绳长多少尺？木长多少尺？ 答：（1）绳长______尺；（2）木长______尺． 【答案】 ①. 11 ②. 6.5 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设绳子长尺，木长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：设绳子长尺，木长尺， 根据题意得：， 解得， 故答案为：11，6.5． 15. 如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为________，的值为__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】由与关于直线对称，矩形证明再证明 可得 再求解 即可得的长； 先证明 可得： 设 则 再列方程，求解 即可得到答案． 【详解】解： 与关于直线对称，矩形 矩形 为的中点， 如图， 四边形都是矩形， 设 则 解得： 经检验：是原方程的根，但不合题意，舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共有9题，计75分．将解答过程写在答题卡上指定的位置） 16. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】根据有理数的乘方，负整数指数幂，有理数的加法，绝对值计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了实数的运算，有理数的乘方，负整数指数幂，绝对值，熟练掌握实数的相关运算法则是解题的关键． 17. 小明根据题目，在直角中作出和，其中． （1）请你根据小明作图的痕迹，写出结论：是的，是边的______． （2）在(1)所作的图形中，若，，求的长． 【答案】（1）角平分线，垂线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，作垂线，勾股定理等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由作图痕迹可知，是的平分线，是边的垂线，即可得出答案． （2）根据角平分线的性质以及全等三角形的判定可得，则．设则在中，由勾股定理得，求出的值即可． 【小问1详解】 解：由作图痕迹可知，是的角平分线，是边的垂线． 故答案为：角平分线；垂线． 【小问2详解】 是边的垂线， ． 是的平分线，， ，． ， ． 设 则 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的长为 ． 18. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计) （1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）厘米 （2）7.9厘米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点C离桌面l的高度； （2）过点C作过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 答：支点C离桌面l的高度为； 【小问2详解】 解：过点C作过点E作于点H， ∴． ∵， ∴， 当时，； 当时，； ∴， ∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了约． 19. 某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．这30名学生第一次竞赛成绩 b．这30名学生两次知识竞赛的获奖情况统计表 参与奖 优秀奖 卓越奖 第一次 竞 赛 人 数 10 10 10 平均分 82 87 95 第二次 竞 赛 人 数 2 12 16 平均分 84 87 93 和第二次竞赛成绩得分情况统计图：（规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖；分数，获参与奖） c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下： 90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98 d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 第一次竞赛 m 87.5 88 第二次竞赛 90 n 91 根据以上信息，回答下列问题： （1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点； （2）直接写出m，n的值； （3）请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示． （2）， （3） 可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高， 理由是：第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛． 答：二，第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛． 【解析】 【分析】本题考查统计图分析，涉及中位数、加权平均数、众数， （1）根据这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标是89，纵坐标是90的点即代表小松同学的点； （2）根据平均数和中位数的定义可得m和n的值； （3）根据平均数，众数和中位数进行决策即可． 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 ， ∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为： 90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98， ∴第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数， ∴， ∴，； 【小问3详解】 略 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 【小问1详解】 解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于4， 所以如图所示，当过点时满足题意， 代入得：， 解得：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键． 21. 如图，是的直径，点在弧上，点是的内心，连接并延长交弧于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若点为弧的中点，求证：四边形是平行四边形． （3）连接，若的半径长为5，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接，设与交于点，如下图， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的切线； （2） 如下图， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设与交于点，利用三角形内心的性质和圆周角定理易得，再根据垂径定理可得，结合可证明，即可证明结论； （2）首先根据题意可得，进而可得，结合可得，可证明，进一步证明结论； （3）连接，设交于点，过点作，交于点，过点作交于点，首先利用勾股定理解得的值；证明，设，则，证明，利用相似三角形的性质可解得的值，进而可得的长度；利用三角函数可得，进而可得，设，则，由勾股定理解得的长度；证明，利用相似三角形的性质可解得的值；证明，设，则，再证明，利用相似三角形的性质可解得的值，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如下图，连接，设交于点，过点作，交于点，过点作交于点， ∵的半径为5， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点是的内心， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、垂径定理、三角形内心的性质、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理、三角函数、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，正确作出辅助线构造等腰三角形或相似三角形是解题关键． 22. 某公司电商平台经销一种益智玩具，先用元购进一批．售完后，第二次购进时，每件的进价提高了，同样用3000元购进益智玩具的数量比第一次少了25件．销售时经市场调查发现，该种益智玩具的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x（元/件），周销售量y（件）的三组对应值数据． x 40 70 90 y 180 90 30 （1）求第一次每件玩具的进价； （2）求y关于x的函数解析式； （3）售价x为多少时，第一周的销售利润W最大？并求出此时的最大利润． 【答案】（1）第一次每件玩具的进价为20元 （2） （3）当时，第一周的销售利润W最大，此时的最大利润为元 【解析】 【小问1详解】 解：设第一次每件玩具的进价为m元，则第二次每件玩具的进价为元，由题意得， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：第一次每件玩具的进价为20元； 【小问2详解】 解：设，把；分别代入得， ， 解得， ∴， 即y关于x的函数解析式是； 【小问3详解】 解： ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，第一周的销售利润W最大，此时的最大利润为． 【点睛】此题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，读懂题意，正确列式是解题的关键． 23. 正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F． （1）如图1，若，求的值； （2）如图1，，若，求m的值． （3）如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形判定定理的内容是解题关键． （1）证可得，结合即可求解； （2）由可得，进一步可得，据此即可求解； （3）由（1）可得，证得即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ∴ ∴ 即： 解得： 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴ 由（1）可得： ∴ ∴ ∵， ∴ 解得： 【小问3详解】 解：由（1）得： 即： 解得： ∵， ∴ ∴ 即： ∴ 整理得： ∵ ∴， 又 ∴ 故： 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． （1）求抛物线表达式； （2）点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式； （2）①由坐标求出解析式，然后根据四边形是平行四边形和得出，再分类讨论求得和的坐标； ②求出解析式，交点为，再求出坐标，然后由两点间距离公式求出和长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当旋转到轴上时，此时最短，所以此时等于，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于点，交轴于点和点， ， 解得： ； 【小问2详解】 如图 ， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 为与轴交点， ， ， 四边形是平行四边形， 且，且点在点下方， 点在轴上，点在平面内，， ， ， 或， 若为， ， 故， 若为， ，此时，矛盾，舍去， 综上，点的坐标为； ②如图，设的解析式为 抛物线交轴于点， 点的坐标为，， 将点、的坐标代入得： ， 解得， 的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 所以点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点、的坐标代入直线的解析式得： ， 解得， 所以直线的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 点的坐标为， 当旋转到轴上时，此时最短，如图 的最小值为． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数表达式、二次根式的化简、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识和方法，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙洋县2024年初中毕业年级学情调研 数学试卷 （本试卷共24题，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，计30分．） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（ ）． A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 4. 在下列调查中，适宜全面调查的是（ ）． A. 调查汽车的抗撞力 B. 了解全市学生的身高情况 C. 调查春晚的收视率 D. 选出某校九年级短跑最快的学生参加全市比赛 5. 随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占(平方毫米)，用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（ ） A. 100° B. 120° C. 135° D. 150° 8. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，重合）．设，则（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则，其中正确的选项是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计15分．） 11. 因式分解x3－9x=__________． 12. 已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为_______． 13. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是_______________． 14. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则绳长多少尺？木长多少尺？ 答：（1）绳长______尺；（2）木长______尺． 15. 如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为________，的值为__________． 三、解答题（本大题共有9题，计75分．将解答过程写在答题卡上指定的位置） 16. 计算： 17. 小明根据题目，在直角中作出和，其中． （1）请你根据小明作图的痕迹，写出结论：是的，是边的______． （2）在(1)所作的图形中，若，，求的长． 18. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计) （1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，） 19. 某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．这30名学生第一次竞赛成绩 b．这30名学生两次知识竞赛的获奖情况统计表 参与奖 优秀奖 卓越奖 第一次 竞 赛 人 数 10 10 10 平均分 82 87 95 第二次 竞 赛 人 数 2 12 16 平均分 84 87 93 和第二次竞赛成绩得分情况统计图：（规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖；分数，获参与奖） c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下： 90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98 d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 第一次竞赛 m 87.5 88 第二次竞赛 90 n 91 根据以上信息，回答下列问题： （1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点； （2）直接写出m，n的值； （3）请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 21. 如图，是的直径，点在弧上，点是的内心，连接并延长交弧于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若点为弧的中点，求证：四边形是平行四边形． （3）连接，若的半径长为5，，求线段的长． 22. 某公司电商平台经销一种益智玩具，先用元购进一批．售完后，第二次购进时，每件的进价提高了，同样用3000元购进益智玩具的数量比第一次少了25件．销售时经市场调查发现，该种益智玩具的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x（元/件），周销售量y（件）的三组对应值数据． x 40 70 90 y 180 90 30 （1）求第一次每件玩具的进价； （2）求y关于x的函数解析式； （3）售价x为多少时，第一周的销售利润W最大？并求出此时的最大利润． 23. 正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F． （1）如图1，若，求的值； （2）如图1，，若，求m的值． （3）如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． （1）求抛物线表达式； （2）点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $