第12课 平方根-2024-2025学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第12课 平方根 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解平方根的概念，会用根号表示. 2.理解平方根的相关事实. 3.了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求平方根. ( 知识精讲 ) 知识点01 平方根 1.平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，也叫做二次方根. 2. 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 3.求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方是平方运算的逆运算. 知识点02 算术平方根 算术平方根：正数的正平方根称为算术平方根. 0的算术平方根是0. ( 能力拓展 )考点01 平方根 【典例1】求下列各数的平方根． (1)196； (2)； (3)； (4)． 【即学即练1】求下列各数的平方根． (1)81； (2)1.96； (3)30； (4)； (5)； (6)． 考点02 算术平方根 【典例2】求下列各数的算术平方根． (1)225； (2)； (3)； (4)． 【即学即练2】求下列各数的算术平方根． (1)196 (2) (3)0.04 (4)100 (5) ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．用符号表示“的平方根是”正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 3．等于（    ） A． B． C． D． 4．的算术平方根为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．是的算术平方根，即 B．是的平方根，即 C．是的平方根，即 D．是的平方根，即 6．在，0，，23，1.44中，有平方根的数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．下列说法：①2是4的一个平方根；②16的平方根是4；③的平方根是；④是64的一个平方根．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．2 D．6 9．下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 10．下列说法正确的是（    ） A．1的平方根与算术平方根都是1 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D．4的平方根是 11．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 12．计算： ； ． 13．计算的结果为 ． 14．一个数的算术平方根是，则这个数是 ． 15．求下列各数的算术平方根： (1)0.49； (2)； (3)； (4)． 16．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题组B 能力提升练 17．一个数的平方根与它本身相等，这个数是（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 18．若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是（    ） A．1或 B．0或1 C．0或 D．0或1或 19．已知一个正方形的边长为，面积为，则下列说法中，正确的是（    ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D． 20．如果与为一个非负数的两个平方根，则 ． 21．若是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 22．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ． 23．的算术平方根是   ，若，则x= 题组C 培优拔尖练 24．已知，，则（  ） A． B． C． D． 25．中国古代有一种求算数平方根的方法，称为开方术，该方法的原理是利用二项式定理，对根式逐位估值．假设N为被开方数，a为首根，b为次根，若将根记为，则．以为例： （1）分节定位：以小数点为基准，每两位分一节得7，89，61；（2）估首根a：考虑被开方数的首节7，由于，故首根为2，由于，故继续开方；（3）估次根b：考虑余数的第一、二节389，考虑，尝试估出次根；（4）重复如上操作． 则的算术平方根为 ． 26．先观察下列各式：；；；． (1)计算：　 　；　 　； (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，计算：； (3)应用上述结论，请计算的值． ( 13 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12课 平方根 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解平方根的概念，会用根号表示. 2.理解平方根的相关事实. 3.了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求平方根. ( 知识精讲 ) 知识点01 平方根 1.平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，也叫做二次方根. 2. 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 3.求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方是平方运算的逆运算. 知识点02 算术平方根 算术平方根：正数的正平方根称为算术平方根. 0的算术平方根是0. ( 能力拓展 )考点01 平方根 【典例1】求下列各数的平方根． (1)196； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】（1）根据称x是a的平方根，且计算即可． （2）根据称x是a的平方根，且计算即可． （3）根据称x是a的平方根，且计算即可． （4）根据称x是a的平方根，且计算即可． 【解析】（1）∵， ∴． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴． （4）∵， ∴． 【点睛】本题考查了平方根的计算，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． 【即学即练1】求下列各数的平方根． (1)81； (2)1.96； (3)30； (4)； (5)； (6)． 【思路点拨】（1）利用平方根的意义解答即可； （2）利用平方根的意义解答即可； （3）利用平方根的意义解答即可； （4）利用平方根的意义解答即可； （5）利用平方根的意义解答即可； （6）利用平方根的意义解答即可． 【解析】（1）∵， ∴81的平方根为； （2）∵， ∴1.96的平方根为； （3）∵， ∴30的平方根为； （4）∵， ∴的平方根为； （5）∵， ∴的平方根为； （6）， ∵， ∴的平方根为． 【点睛】本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键； 考点02 算术平方根 【典例2】求下列各数的算术平方根． (1)225； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】（1）先把225写成一个非负数的平方，再根据算术平方根的含义可得答案； （2）先把写成一个非负数的平方，再根据算术平方根的含义可得答案； （3）先把写成一个非负数的平方，再根据算术平方根的含义可得答案； （4）先把写成一个非负数的平方，再根据算术平方根的含义可得答案； 【解析】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴． 【点睛】本题考查的是求解一个非负数的算术平方根，把非负数写成一个非负数的平方再结合算术平方根的含义解本题是关键． 【即学即练2】求下列各数的算术平方根． (1)196 (2) (3)0.04 (4)100 (5) 【思路点拨】根据算术平方根的性质，即可求解． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．用符号表示“的平方根是”正确的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】根据正数由两个平方根进行解答，即可得到答案． 【解析】解：“的平方根是”的表示法为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的概念， 2．下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 【思路点拨】分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项． 【解析】A．是16的平方根，说法正确； B． 的算术平方根是2，说法正确； C． 的平方根是，故原说法错误； D． ，说法正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了平方根以及算术平方根的定义，熟记相关定义是解题的关键． 3．等于（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】利用表示的算术平方根，进而得出答案即可 【解析】解：， 故选：． 【点睛】此题考查了算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根的概念． 4．的算术平方根为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】根据算术平方根的定义解答即可． 【解析】解：的算术平方根是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，其中非负的平方根叫做这个数的算术平方根． 5．下列说法正确的是（    ） A．是的算术平方根，即 B．是的平方根，即 C．是的平方根，即 D．是的平方根，即 【思路点拨】根据定义逐项分析判断即可求解，平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根． 【解析】解：A. 是的算术平方根，即，故该选项不正确，不符合题意；     B. 是的平方根，即，故该选项不正确，不符合题意； C. 是的平方根，即，故该选项正确，符合题意；     D. 是的平方根，即，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义， 6．在，0，，23，1.44中，有平方根的数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】根据平方根的性质即可求得答案． 【解析】根据平方根的性质即可求得答案． 【解答】解：0，，23，1.44有平方根，没有平方根， 则有平方根的数有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查平方根的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 7．下列说法：①2是4的一个平方根；②16的平方根是4；③的平方根是；④是64的一个平方根．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据平方根的定义，结合各项进行判断即可． 【解析】解：①2是4的一个平方根，说法正确； ②16的平方根是，原说法错误； ③没有平方根，原说法错误； ④是64的一个平方根，说法正确； 综上可得①④说法正确，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根的知识，注意掌握一个正数的平方根有两个，负数没有平方根． 8．下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【思路点拨】根据负数没有平方根，进行判断即可． 【解析】解：∵负数没有平方根， 又∵选项中只有A选项为负数， ∴A选项没有平方根． 故选：A． 【点睛】本题考查平方根的性质， 9．下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 【思路点拨】根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【解析】解：A、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根． 10．下列说法正确的是（    ） A．1的平方根与算术平方根都是1 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D．4的平方根是 【思路点拨】．分别对各选项进行计算即可． 【解析】解：A、1的平方根是，1算术平方根是1，原说法错误，不符合题意； B、负数没有算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、，而4的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、4的平方根是，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根与算术平方根的计算，理解这两个概念及区别是解题的关键．注意仔细审题 11．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先化简，再运算4的算术平方根，即可作答． 【解析】解： 故选：B 【点睛】本题考查了算术平方根的运算， 12．计算： ； ． 【思路点拨】根据算术平方根的定义，即可求解． 【解析】解：∵ ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 13．计算的结果为 ． 【思路点拨】根据算术平方根的定义解答即可． 【解析】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，属于应知应会题目，熟知算术平方根的概念是关键． 14．一个数的算术平方根是，则这个数是 ． 【思路点拨】本题考查了算术平方根，计算即可求解． 【解析】解：∵， ∴这个数是 故答案为： 【点睛】本题考查了算术平方根的定义 15．求下列各数的算术平方根： (1)0.49； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】（1）根据算术平方根的定义计算即可； （2）根据算术平方根的定义计算即可； （3）根据算术平方根的定义计算即可； （4）根据算术平方根的定义计算即可； 【解析】（1）解：∵， ∴0.49的算术平方根是0.7； （2）解：， ∵， ∴的算术平方根是3； （3）解：， ∵， ∴的算术平方根是； （4）解：∵， ∴的算术平方根是3． 【点睛】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义． 16．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】（1）根据算术平方根定义计算； （2）根据平方根定义计算； （3）根据算术平方根定义计算； （4）根据平方根定义计算． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式=； （3）解：原式； （4）解：原式； 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键． 题组B 能力提升练 17．一个数的平方根与它本身相等，这个数是（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【思路点拨】利用了开方运算，注意一个正数的平方根有两个． 【解析】解：若一个数的平方根等于它的本身，则这个数是0， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根，解题的关键是正确理解算术平方根的概念． 18．若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是（    ） A．1或 B．0或1 C．0或 D．0或1或 【思路点拨】0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，注意不能做被开方数． 【解析】解：， 则算术平方根等于它的本身的数是0，1； 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根. 19．已知一个正方形的边长为，面积为，则下列说法中，正确的是（    ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D． 【思路点拨】根据正方形的面积公式及算术平方根的定义即可作出判断 【解析】解：正方形的边长是a， ， 又正方形的面积为b， ， a是b的算术平方根， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的面积基本知识及算术平方根的定义，解题的关键是熟知算术平方根的定义． 20．如果与为一个非负数的两个平方根，则 ． 【思路点拨】利用平方根的定义即可求得答案；【解析】与为一个非负数的两个平方根 ， 解得：, 故答案为：1． 【点睛】本题考查平方根，熟练掌握其性质是解题的关键． 21．若是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 【思路点拨】，是完全平方数，据此即可求解． 【解析】∵，是完全平方数 ∴若是整数 则的最小值为 故答案为： 【点睛】本题算术平方根的定义．只要被开方数是完全平方数，则算术平方根为整数． 22．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ． 【思路点拨】．将图形剪拼成正方形，根据正方形的面积求出其边长即可． 【解析】解：分割图形如下： 这个正方形的面积为5， 故这个正方形的边长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根的概念，图形的剪拼，剪拼图形是解题的关键 23．的算术平方根是   ，若，则x= 【思路点拨】先求出，然后求出4的算术平方根即可解答第一空；先求出，然后求出4的平方根即可解答第二空． 【解析】解：∵，4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2； ∵， ∴， 又，， ∴． 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根的定义． 题组C 培优拔尖练 24．已知，，则（  ） A． B． C． D． 【思路点拨】由得到，即可求解． 【解析】解：，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 25．中国古代有一种求算数平方根的方法，称为开方术，该方法的原理是利用二项式定理，对根式逐位估值．假设N为被开方数，a为首根，b为次根，若将根记为，则．以为例： （1）分节定位：以小数点为基准，每两位分一节得7，89，61；（2）估首根a：考虑被开方数的首节7，由于，故首根为2，由于，故继续开方；（3）估次根b：考虑余数的第一、二节389，考虑，尝试估出次根；（4）重复如上操作． 则的算术平方根为 ． 【思路点拨】根据题目所给的方法进行解答即可． 【解析】解：（1）分节定位：以小数点为基准，每两位分一节得37，57，69； （2）估首根a：考虑被开方数的首节37，由于，故首根为6，由于，故继续开方； （3）估次根b：考虑余数的第一、二节157，考虑，尝试估出次根； （4）考虑榆树的第二、三节，考虑，， 综上：的算术平方根为； 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根， 26．先观察下列各式：；；；． (1)计算：　 　；　 　； (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，计算：； (3)应用上述结论，请计算的值． 【思路点拨】（1）通过观察该类算式结果的规律进行求解； （2）通过观察、猜想、归纳得到此类算式结果的规律； （3）对该算式变形后运用（2）题结果进行运算． 【解析】（1）由题意得， ， ， 故答案为：6，50； （2）∵， ， ， ， ……， ； （3）由（2）题结论可得， ＝52． 【点睛】此题考查了平方根运算规律的归纳与运用能力，关键是能通过观察、猜想准确归纳得该类问题的运算规律． ( 13 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$