第二章 函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

第二章 函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形中，可以表示函数的是（    ） A．B．C．D． 2．下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 3．已知，则（　　） A．5 B．11 C．21 D．27 4．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． 或 C．是奇函数 D．是偶函数 5．已知在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 6．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．函数满足，则 10．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在定义域上为增函数. C．当时， D．不等式的解集为 11．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，若，则 ． 13．设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 14．若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，若函数和之间存在隔离直线，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上是单调函数，求的取值范围 16．（15分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)写出当时，的解析式 17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的值域 . 18．（17分）若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. (1)求证：为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)解关于的不等式：. 19．（17分）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形中，可以表示函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的定义即可得解. 【详解】通过平移直线，只有B选项的图象满足： 其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 2．下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相同函数的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的值域是R，而函数的值不可能为负数，A不是； 对于B，函数中，，解得，即的定义域为， 函数中，，解得或，即的定义域为，B不是； 对于C，函数的值域为，函数的值域是R，C不是； 对于D，，函数与是相同函数，D是. 故选：D 3．已知，则（　　） A．5 B．11 C．21 D．27 【答案】C 【分析】根据函数解析式，令即代入解析式求解即可． 【详解】． 故选：C． 4．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． 或 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】利用幂函数的定义和单调性可求的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的正误. 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A，B； 所以，定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 5．已知在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性，由内向外求值即可. 【详解】由题意，所以. 故选：D 6．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列出不等式组，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 7．已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 8．已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可. 【详解】令，解得， 当时，，，即，且，解得； 当时，，，即，且，解得， 当时，， ，而为正实数，则此种情况无解， 所以正实数的取值范围为或. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．函数满足，则 【答案】AD 【分析】根据抽象函数的定义域的求法求解可判断A；利用同一函数得定义判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用方程组法求解函数解析式判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为， 对于函数，则，解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，定义域为，定义域为， 所以和不是同一个函数，故B错误； 对于C，令，则， 所以， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为，所以， 两边同乘以2得， 两式相加得，解得，故D正确． 故选：AD． 10．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在定义域上为增函数. C．当时， D．不等式的解集为 【答案】CD 【分析】对于A，利用的奇偶性直接求得；对于BC，利用的奇偶性求得的解析式，结合二次函数的性质即可判断；对于D，利用的单调性与奇偶性解不等式即可得解. 【详解】对于A：因为是定义域为上的偶函数，所以， 又当时，，所以，故A错误； 对于B：由二次函数可知，在上单调递增， 又因为函数是定义在上的偶函数，即的图象关于轴对称， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C：当时，，则，故C正确； 对于D：由的奇偶性与单调性可知，可化为， 所以，解得，故D正确. 故选：CD. 11．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 【答案】ABD 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中，令得，， 又，故， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项，，， 又，故， 又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域，分求解. 【详解】若，则无解； 若，则，所以. 若，则无解． 综上：. 故答案为：. 13．设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，即，得到， 又，得到，所以， 得到，， 故答案为：． 14．若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，若函数和之间存在隔离直线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】确定公共定义域为，变换得到和，根据二次函数的性质和均值不等式计算最值得到答案. 【详解】和的公共定义域为， ，即，，， 函数在单调递减，，故； ，即，， ， 当且仅当，即时等号成立，故， 综上所述：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上是单调函数，求的取值范围 【答案】(1)最大值是，最小值是 (2) 【分析】（1）分析二次函数在上的单调性，可得出函数在上的最大值和最小值； （2）令，对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，，对称轴为直线，开口向下， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 又因为，，则， 所以在区间上的最大值是，最小值是． （2）解：令， 函数的对称轴是直线，开口向下， 又在上是单调函数， 当函数在上单调递增时，则，解得； 当函数在上单调递减时，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 16．（15分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)写出当时，的解析式； 【答案】(1)图象见详解，的增区间为：. (2). 【分析】（1）利用偶函数的性质，结合图象求出函数的单调区间. （2）根据已知，利用函数的奇偶性求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象为：    由题可知，结合图象有：函数的增区间为：. （2）当时，，由题可知： ， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以当时，. 17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的值域 . 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义奇函数特征，，求出的值，又，求出的值，得到的解析式，并检验. （2）利用定义法证明函数单调性； （3）根据函数的单调性求值域即可. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即有， 且，则，解得， 则函数的解析式：，， 因为满足，所以是奇函数， 即. （2）证明：设任意满足， 则， 由于，则，，即， 又， 则有，即， 则在上是增函数. （3）由（2）知，函数在上是增函数， 所以，即， 所以函数在上的值域为. 18．（17分）若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. (1)求证：为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）先利用函数单调性的定义证明函数为上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值，即可得解； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）证明：因为函数的定义域为， 令，则，解得. 令，则，则， 所以，函数为奇函数. （2）解：任取，则， 因为当时，，则， 由（1）知，， 即，所以，函数在上单调递减， 所以，函数在上的最小值为， 因为，， ，所以，， 即函数在上的最小值为. （3）解：由（1）知，， 所以，， 因为函数在上单调递减，则，即， 解得，即不等式的解集为. 19．（17分）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)1； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解. （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． 【详解】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 取，，由，得，显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而， 于是，则有，解得，即， 所以的值是1. （3）由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ①当时，在上单调递增，则， 即，解得； ②当时，在上单调递减，则， 即，解得； ③当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$