第十二章 全等三角形单元培优卷-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

第12章 全等三角形单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第12章 全等三角形，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，平分，于点A，点D是射线上的一个动点，若，则线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示，，垂足分别是E、F，D是的中点，下列结论：①D是的中点；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．以上答案都不对 3．数学课上，小明用尺规在黑板上作的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的解答过程，则符号“、☺、、”代表的内容错误的是（ ） 已知：． 求作：射线，使． 作法：以点为圆心，在和上分别截取，，使； 分别以点，为圆心、以☺为半径作弧，两弧在内交于点； 作射线．就是的平分线． 理由：连接，，则，易知，理由； 所以，理由． A．表示“” B．☺表示“大于的长” C．表示“” D．表示“全等三角形的对应角相等” 4．如图，，添加条件后能用“”判定是（　　） A． B． C． D． 5．如图，，．若，的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，与的边与在同一条直线上，且．若需要证明，则可以增加条件（　　） A． B． C． D． 7．如图，要测量河岸相对两点A，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点A，，在一条直线上，测出，，则的长是（   ） A． B． C． D．以上都不对 8．如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知四边形的对角互补，且，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A．6 B． C．7 D． 10．如图，已知方格纸中是个相同的小正方形，则的度数为（    ）°    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，当其中一点到达终点停止运动时，另一点也随之停止运动．在点P，Q运动的过程中，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为 ． 12．如图，在中，，的平分线交点P，点E是上一点，且．若，则 °．    13．如图， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，画射线 ，以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交上一步所画弧于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，画射线 ，反向延长 ，得到射线 ，画出 的平分线 ，则   ．（用含 的代数式表示） 14．如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，若的面积为1.4，的面积为18，则的面积为 ． 15．如图，，P是上一动点，则的最小值为 ．    16．如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，，，．求证：． 18．如图所示，线段与射线有一公共端点O． (1)在所给图中，用直尺和圆规按所给的语句作图． ①在射线上，截取线段，使． ②连接线段． ③作的角平分线，与线段交于点D． (2)用刻度尺测量与的长度，你认为和的大小关系如何？ 19．如图，为线段上一点，，，判断与的关系，并证明． 20．如图，，，，，求的度数与的长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 22．如图，在中，点D是边上一点，，作，使，且，连接． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 23．如图，与相交于点C，，点P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）． (1)当时，线段的长度_______，线段的长度_______； (2)求证：； (3)连接，当线段经过点C时，直接写出t的值； (4)连接，当的面积等于面积的一半时，直接写出所有满足条件的t值． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)说明． (2)说明． (3)已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则_____． 25．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 全等三角形单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第12章 全等三角形，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，平分，于点A，点D是射线上的一个动点，若，则线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短． 过P点作于B，先根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过P点作于B， ∵平分，，， ∴， ∴线段的最小值为3． 故选：C． 2．如图所示，，垂足分别是E、F，D是的中点，下列结论：①D是的中点；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，由垂线的性质得到，据此可判断③；证明得到，据此可判断①②；根据现有条件无法证明和是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故③正确； ∵D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ∴D是的中点，故①正确； 根据现有条件无法证明和是等腰三角形，故④⑤错误； ∴正确的有3个， 故选：A． 3．数学课上，小明用尺规在黑板上作的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的解答过程，则符号“、☺、、”代表的内容错误的是（ ） 已知：． 求作：射线，使． 作法：以点为圆心，在和上分别截取，，使； 分别以点，为圆心、以☺为半径作弧，两弧在内交于点； 作射线．就是的平分线． 理由：连接，，则，易知，理由； 所以，理由． A．表示“” B．☺表示“大于的长” C．表示“” D．表示“全等三角形的对应角相等” 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的作法以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握角平分线的作法及全等三角形的判定与性质． 根据作的角平分线的方法求解即可． 【详解】作法：以点为圆心，在和上分别截取，，使； 分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； 作射线．就是的平分线． 理由：连接，，则， 又∵， ∴，理由； 所以，理由全等三角形的对应角相等． ∴错误的是表示“”． 故选：C． 4．如图，，添加条件后能用“”判定是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据（一组斜边和一组直角边对应相等的两个三角形全等）判断即可．本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是理解的意义，属于中考常考题型． 【详解】解：，， ， ， 当时，． 故选：A． 5．如图，，．若，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，直角三角形的性质，由全等三角形的性质可得，即可得，得到，再根据直角三角形的的性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，与的边与在同一条直线上，且．若需要证明，则可以增加条件（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．由，可得，增加条件，即可依据SSS即可得到． 【详解】解：由，可得， 又∵， ∴当时，可得， 而增加或或，均不能证明， 故选：D． 7．如图，要测量河岸相对两点A，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点A，，在一条直线上，测出，，则的长是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 由、均垂直于，即可得出，结合、，即可证出，由此即可得出，此题得解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了三角形全等的判定和性质，等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．延长交于点E，由题意证得，证得，即可证得，设，利用即可求得结果． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分，且于点D， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∵的面积为S， ∴， ∴． 故选：C． 9．如图，已知四边形的对角互补，且，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作交的延长线于点，证明，结合已知数据，求出和的长度，即可解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则， ， ， ， ， 平分， ， 四边形的对角互补， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10．如图，已知方格纸中是个相同的小正方形，则的度数为（    ）°    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质． 首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得与的和为. 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 故选：C；    二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，当其中一点到达终点停止运动时，另一点也随之停止运动．在点P，Q运动的过程中，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时， ∴，即， 解得； 当时， ∴，， 即，， 解得， 则， 解得， 综上，的值为2或， 故答案为：2或． 12．如图，在中，，的平分线交点P，点E是上一点，且．若，则 °．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的内角和定理．根据题意可证，设，则，根据三角形的内角和定理即可建立方程求解． 【详解】解：∵，分别平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．如图， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，画射线 ，以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交上一步所画弧于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，画射线 ，反向延长 ，得到射线 ，画出 的平分线 ，则   ．（用含 的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了尺规基本作图-作角等于已知角、作角的平分线，与角平分线相关的角的运算，关键是掌握利用角平分线的定义和角的和差的计算． 根据题意可知，推出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：由作法可得，， ， 为的角平分线， ， 故答案为：． 14．如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，若的面积为1.4，的面积为18，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质和三角形的面积求法．先证，得出，由的面积为18，，得出，，据此求解即可． 【详解】∵，，， ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为18，， ∴，， ∵的面积为1.4， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，，P是上一动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，根据垂线段最短得出时，的值最小，根据角平分线的性质得出，再求出答案即可，能熟记垂线段最短和角平分线上的点到这个角两边的距离相等是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交于点，    当时，有最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则 ． 【答案】/45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的性质，首先证明出，得到，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再证明，即可由证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 18．如图所示，线段与射线有一公共端点O． (1)在所给图中，用直尺和圆规按所给的语句作图． ①在射线上，截取线段，使． ②连接线段． ③作的角平分线，与线段交于点D． (2)用刻度尺测量与的长度，你认为和的大小关系如何？ 【答案】(1)作图见解析； (2) 【分析】本题主要考查了截取相等的两条线段和角平分线的作法，注意作图要仔细． （1）根据题意作出图形即可； （2）直接用刻度尺测量与的长度即可得出结论． 【详解】（1）解：①以为圆心，以为半径画弧，与射线交于点； ②连接、两点即成线段； ③分别以点和点为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接点和这一点得到的射线就是的角平分线． 根据题意作图如下： （2）解：经过测量得出，． 19．如图，为线段上一点，，，判断与的关系，并证明． 【答案】，，证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质可求得，结合，可求得，进而可求得的度数，由此可得出结论． 【详解】证明：，，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴． 20．如图，，，，，求的度数与的长． 【答案】，2 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理． 根据全等三角形的性质得到，．再利用三角形内角和定理求出的度数，根据全等三角形的性质得到，再利用线段的和差求出即可． 【详解】解：∵， ∴，． ∴ ∵， ∴， ∴． ∴． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 22．如图，在中，点D是边上一点，，作，使，且，连接． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的角度问题： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的内角和定理和全等三角形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．如图，与相交于点C，，点P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）． (1)当时，线段的长度_______，线段的长度_______； (2)求证：； (3)连接，当线段经过点C时，直接写出t的值； (4)连接，当的面积等于面积的一半时，直接写出所有满足条件的t值． 【答案】(1)3，2 (2)见详解 (3)或 (4)或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，一元一次方程的应用，解题的关键是注意不同时间段内点P的运动方向不同，需要分情况讨论． （1）根据点P、Q的运动速度、运动时间、运动方向即可； （2）先根据证明，得出，根据内错角相等、两直线平行，即可证明； （3）根据全等三角形的性质得出，，当线段经过点C时，根据可证，推出，用含t的代数式表示，分情况列出等式，即可求解； （4）由题意得，点为的中点，分类讨论，建立一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时．， ∵，P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度运动 ∴P从点A出发，到达点时，用时，然后从点返回向点运动，则路程为， ∴ 故答案为：3，2； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∴，， 当线段经过点C时，如下所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度匀速运动， ∴时，点P到达点B，时，点P返回点A， ∵， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上所述，t的值为或． （4）解：∵，时， ∴， 则当点从点向运动时，， ∴； 当点从点向运动时，， ∴， 综上所述，或3． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)说明． (2)说明． (3)已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，再由同角的余角相等得出，最后利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，即可得证； （3）由垂线的定义得出，再由同角的余角相等得出，最后利用证明，得出，，即可得解． 【详解】（1）证明：∵于D，于E． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴； （3）证明：∵于D，于E． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：2． 25．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】（1）延长至M，使得，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，，那么． 【详解】证明：（1）延长至M，使得，连接， ，， 在与中 ， ， ，， ， 在与中 ， ， ， ， 即； （2）线段、、之间的数量关系是， 在上截取，连接， ，，， ， 在与中 ， ， ， ， 又∵， ， 在与中 ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$