3.2一元一次方程及其解法（2个知识点+7个题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

3.2 一元一次方程及其解法 课程标准 学习目标 了解一元一次方程概念，会解一元一次方程； ①理解一元一次方程、方程的解等概念； ②掌握检验某个值是不是方程的解的方法； ③掌握解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。 知识点01 一元一次方程的相关概念 ·定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 ·标准形式：方程（其中是未知数，、是已知数，并且） 【即学即练1】（23-24七年级下·福建泉州·期中）下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，四个选项中只有D选项中的方程是一元一次方程， 故选：D． 【即学即练2】（23-24七年级下·福建泉州·期中）写出一个解为2的一元一次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的定义，一元一次方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，写出一个一元一次方程即可． 【详解】解：由题意，一元一次方程可以为：； 故答案为：． 知识点02 解一元一次方程的步骤 步骤1.‌去分母‌：将方程两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数； 步骤2.‌去括号‌：按照小括号、中括号、大括号的顺序，依次去掉括号，并应用乘法分配律。 步骤3.‌移项‌：将含有未知数的项移到等式的一边，其他项移到等式的另一边。 步骤4.‌合并同类项‌：将等式两边的相同项合并，简化等式。 步骤5.‌系数化为1‌：将等式两边同时除以未知数的系数，得到未知数的值。 【即学即练3】方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解法，属于基础题型．明确等式的性质是解题的关键．根据等式的性质求出方程的解． 【详解】解： 移向得， 系数化为得 故选A． 【即学即练4】方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解含分母的一元一次方程，解题的关键是熟练掌握去分母的方法， 根据等式的性质，在方程的两边都乘以所有分母的最小公倍数，不能漏乘常数项即可； 【详解】解： 去分母得：, 故选：C 【即学即练5】（23-24七年级下·福建泉州·期中）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1计算即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， 故选：C． 【即学即练6】（23-24七年级上·吉林白城·期末）张华同学在解方程时步骤如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)张华同学的解法从第___________步开始错误，错误的原因是___________． (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；去括号时，括号前面是负号，去掉括号没全变号 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）去括号时，变号错误； （2）根据解一元一次方程的步骤，求解即可． 掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， ∴张华同学的解法从第一步就开始出错，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，去掉括号没全变号； 故答案为：一；去括号时，括号前面是负号，去掉括号没全变号； （2） ， ， ． 【即学即练7】解方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查了利用等式的性质求解一元一次方程，熟记相关结论即可． （1）等式两边先同时加上，再同时除以即可求解； （2）等式两边同时乘以即可求解； （3）等式两边同时乘以即可求解； 【详解】（1）解：， ， （2）解：， （3）解：， 【即学即练8】（23-24七年级上·安徽六安·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)． (2)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】（1）解：移项合并得：， 解得：； （2）去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （3）去分母得：， 移项合并得：， 解得：． （4）去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． ·含小数的一元一次方程的去分母、去括号、合并同类项、系数化1的注意事项： 例： ①将的分母化为整数： 利用分数的基本性质，将分子分母同乘10或100得到． ②去分母解一元一次方程 【题型一：根据一元一次方程的概念求未知字母的值】 例1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解；关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：0． 变式1-1．已知关于x的方程是一元一次方程，求k的值. 【答案】k的值是 【详解】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，得到，，进行求解即可． 【解答】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 解得， 即k的值是 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义及一般形式，牢固掌握其定义是解题的关键． 变式1-2．若是关于的一元一次方程，则的值为（　　） A．5 B． C．或5 D．2 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】根据一元一次方程定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数（元，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 【技巧方法与总结】①只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1；②合并同类项后，若有二次项，二次项系数为0，一次项系数不为0 【题型二：解一元一次方程——移项与合并同类项】 例2．已知方程的解满足，则a的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】由可得，再代入中求解即可． 【详解】∵， ∴， 把代入得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的解的应用，能得出关于a的方程是解此题的关键． 【题型三：解一元一次方程——去分母】 例3．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）解方程左右两边乘以同一个数去分母时，该数最合适的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了去分母解方程，确定2，3的最小公倍数是去分母的关键． 【详解】2，3的最小公倍数是6， 故选C． 变式3-1．（22-23七年级上·安徽六安·期中）解方程，以下去分母正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】方程两边同时乘以12即可得到答案． 【详解】解： 方程左右两边同时乘以12得：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握去分母的方法是解题的关键． 变式3-2．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）解方程：去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据去分母的法则，等式的性质即可得出答案，注意不要漏乘常数项．熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：，去分母得：， 故选：C． 【技巧方法与总结】两边同乘分母的最小公倍数 【题型四：同解问题】 例4．（23-24七年级上·安徽淮北·期中）已知方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查同解方程，先求出的解，再把解代入，求出k的值，即可． 【详解】解：解方程得：， 把代入方程，得：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 变式4-1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一元一次方程的一般步骤，可得的解，把解代入方程，解方程可得答案． 【详解】解： 解得：， ∵方程与方程的解相同， ∴把代入得：， 解得：． 故答案为： 变式4-2．（23-24七年级上·安徽六安·期中）关于x的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、方程的解 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，分别解两个方程，根据解相同，得出，即可求解． 【详解】解： 解得：， ∴ 解得：， ∴， 解得：． 【技巧方法与总结】先求出一个一元一次方程的解，再将这个解代入到另一个方程中求未知数。 【题型五：方程的解的情况】 例5．已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】方程的解 【分析】此题考查了一元一次方程的解； （1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可； （2）根据方程有无数解确定出条件即可； （3）根据方程无解确定出条件即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴当时，即，方程有唯一解 （2）∵方程有无数个解， ∴，即 （3）∵方程无解， ∴， ∴ 变式5．已知关于x的方程 (1)当a取何值时，方程的解是； (2)当a取何值时，方程无解； (3)当a取何值时，方程有无穷多个解． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】此题考查了含字母系数的一元一次方程、含绝对值符号的一元一次方程． （1）将代入可得关于的方程，解出即可得出的值； （2）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程无解，列式求解即可； （3）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程方程有无穷多个解，列式求解即可． 【详解】（1）解：将代入可得：， 整理得， 当时，，解得． 当时，，解得， 故或时，方程的解是； （2）解：整理得， 当且时，方程无解， 解得， 故时，方程无解； （3）解：整理得， 当且时，方程有无穷多个解， 解得， 故时，方程有无穷多个解． 例6．（23-24七年级上·浙江台州·期中）若不论k取什么实数，关于x的方程(是常数)的解总是，求的值． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程计算，求出与的值，即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得： 去分母得：， 整理得：， ∵不论取什么实数，关于的方程(是常数的解总是， ∴， 解得：， 则． 变式6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母、相反数的定义 【分析】本题考查了解一元一次方程以及方程的解的应用，先解出的解，再化简，得出，则，再把代入，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 ∵ 解得， ∵方程的解与关于的方程的解互为相反数， ∴把代入 得 将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程无解，列式求解即可； 【技巧方法与总结】 ①将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程方程有无穷多个解； ②将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程无解 【题型六：定义新运算】 例7．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）一般情况下，对于数a和b，（“”不等号），但是对于某些特殊的数a和b，．我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作．例如当，时，有，那么就是“理想数对”． （1）如果是“理想数对”，那么 ． （2）若是“理想数对”，则的值为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，整式的化简求值．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，整式的化简求值解一元一次方程，整式的化简求值是解题的关键． （1）由题意得，，计算求解即可； （2）由题意得，，整理得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是“理想数对” ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：∵是“理想数对”， ∴，整理得，， ∴ ． 变式7．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若有a，b两个数满足关系式：，则称a，b为“共生数对”，记作．例如：当2，3满足时，则是“共生数对”．若是“共生数对”，则 ． 【答案】/ 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，根据“共生数对”的定义得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：因为是“共生数对”， 所以， 解得． 故答案为： 例8.（23-24七年级上·安徽淮北·期中）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程” 例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求常数b的值． 【答案】(1)2 (2) (3)或2 【知识点】一元一次方程的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）根据“反对方程”的定义，求解即可； （2）根据“反对方程”的定义，得到，求解即可； （3）先根据“反对方程”的定义，得到的反对方程，求出两个方程的解，根据两个方程的解都是整数，进行求解即可． 本题考查解一元一次方程，掌握“反对方程”的定义，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵方程与方程互为“反对方程”， ∴； 故答案为：2． （2）将写成的形式， 将写成的形式， 因为与方程互为“反对方程”， 所以，所以， 所以m，n的值分别是，2； （3）的“反对方程”为， 由得， 由得， 因为与的解均为整数， 所以与都为整数， 所以当即时，，与，都为整数， 当即时，，，都为整数， 所以b的值为或2． 变式8．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”例如：方程是方程的“后移方程” (1)判断方程是否为方程的“后移方程”； (2)若关于的方程是关于的方程的“后移方程”，求的值． 【答案】(1)方程是方程的后移方程 (2) 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】本题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解题的关键． （1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判定即可． （2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】（1）解：方程的解是， 方程的解是， 两个方程的解相差1， 方程是方程的后移方程； （2）解：， ， ，， 关于的方程是关于的方程的“后移方程”， 的解为， 把代入得：， ． 例9.（23-24七年级上·安徽池州·期末）我们知道，含有未知数的等式叫做方程，若规定符号“”的运算意义为，则方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查对题干中新运算的理解，根据，表示出，再结合一元一次方程的解题方法即可解题． 【详解】解：由题知，可化为， 整理得，解得． 故答案为：． 变式9．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）定义新运算“※"，规定：.例如：.当时，的值是 . 【答案】1 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，已知等式利用题中的新定义列出方程，解方程即可求出x值． 【详解】解： ∴可变形为：， ， ， ， 解得，， 故答案为：1． 【题型七：等量代换与解方程】 例10．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 【答案】7 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键．两个方程形式相似，第一个方程的解为，则第二个方程中与x对应，可得，可得结果． 【详解】解：关于的方程的解为， 则 ， ∴， ． 故答案为7 变式10．（23-24七年级上·安徽六安·期中）一般情况下是不成立的，但有些数，可以使得它成立，例如． (1)当，时，成立吗？请通过计算说明理由． (2)除了上面的，取值外，请列举一组能使得成立的，值． ， ． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)， 【知识点】等式的性质 【分析】（1）本题考查等式的性质，直接将，代入式中计算即可判断； （2）本题考查等式的性质，只需写出一组，代入等式中成立即可． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 把，分别代入原等式左右两边， 左边， 右边， 左边＝右边， 成立； （2）解：当，， 左边， 右边， 左边＝右边， 成立； 故答案为：，（答案不唯一） 一、选择题 1.（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）若是方程的解，则a的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握“方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值”． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：． 故选：C． 2．（23-24七年级上·安徽·期末）下列方程属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可求解，熟记：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】A．不是一元一次方程，不符合题意； B．是一元一次方程，符合题意； C．不是一元一次方程，不符合题意； D．不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 3.如果单项式与的和仍是单项式，则m的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】合并同类项、同类项的判断、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了同类项的定义，解一元一次方程，根据题意可得单项式与是同类项，由此可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， 解得， 故选C． 4．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【知识点】一元一次方程的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义．只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此得到，且，解之即可得到答案． 【详解】解；∵是关于x的一元一次方程， ∴，且， ∴， 故选；C． 5．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）方程，处被墨水盖住了，已知方程的解，那么处的数字是（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 【答案】C 【知识点】方程的解、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查整式方程的解求参数．根据题意将代入中即可求得本题答案． 【详解】解：∵方程的解， ∴将代入中得：，整理得：， ∴， 故选：C． 6．（23-24七年级上·吉林白山·期末）若关于的一元一次方程的解是，则的值是（    ） A．23 B． C． D． 【答案】B 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的定义和解一元一次方程，把代入方程得到关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】把代入方程，得. 解得. 故选B. 7．（23-24七年级上·安徽淮北·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查等式的性质，在方程两边同时减去即可判断选项A；在方程两边同时乘以即可判断选项B；在方程两边同时加上即可判断选项C；等号左边第一个式子分子和分母同时扩大倍，第二个式子分子和分母同时扩大倍即可判断选项D． 解题的关键是掌握：性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等．据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．若，则，原等式变形错误，故此选项不符合题意； B．若，则，原等式变形错误，故此选项不符合题意； C．若，则，原等式变形错误，故此选项不符合题意； D．若，则，原等式变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 8．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知是关于的方程的解，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了方程的解，掌握“使方程两边相等的未知数的值是方程的解”是解题的关键，把代入进行计算即可求解． 【详解】解：把代入得： ， 解得：， 故答案为∶1． 9．（23-24七年级上·安徽淮南·期中）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】或3 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查解一元一次方程的知识，难度不大，关键是根据题意表述得出的值． 根据是关于的一元一次方程可得得出的值． 【详解】解：由题意得：，解得或3． 故答案为：或3． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，根据一元一次方程的解求得，进而代值求解即可． 【详解】解：把代入方程中得，， ∴， ∴ ． 故答案为：0． 11．（16-17七年级上·江苏连云港·阶段练习）现规定一种新的运算：，若，则 ． 【答案】1 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程．根据新运算的法则，列出方程进行求解，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：1． 三、解答题 12．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： …．．．①     …．．．②     …．．．③     …．．．④     …．．．⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误．请你指出他错在第________步，错误的原因是___________________________．然后，请你自己细心地解此方程． 【答案】①，去分母时，1没有乘以各分母的最小公倍数12，解方程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据解题过程可知，在第①步去分母时，常数1没有乘以12，然后按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：第①步错误，错误原因：去分母时，1没有乘以各分母的最小公倍数12， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得． 13．解方程 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)；(2)；(1) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： （3）解：去括号得： 移项得：， 合并得：， 化系数为1得：． 14．解方程 (2)； (2)； (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】（1）， ， ， ， ． （2）解： （3）去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 化系数为1得：． 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如果整式A与整式B的和为一个常数a，我们称A，B为常数a的“和谐整式”，例如：和为数1的“和谐整式”，和为数的“和谐整式”．若关于x的整式与为常数k的“和谐整式”，则k的值为（    ）． A．27 B． C．9 D．6 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、合并同类项、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查合并同类项．根据题意列式合并同类项，使其未知数系数为0，计算出的值，即可计算出本题答案． 【详解】解：∵关于x的整式与为常数k的“和谐整式”， ∴， 整理得：， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】先解方程得到，进而得到关于的方程的解为，把代入方程中求出k的值即可．本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的定义，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得，， 系数化为1得：， ∵方程的解与关于的方程的解互为相反数， ∴关于的方程的解为 ∴， 解得． 3.已知是方程的解，n满足关系式，求的值． 【答案】或 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】把代入原方程求出m，再代入满足的关系式再求出n，进而求解． 【详解】解：把知代入方程， 得， 解得：， 把代入方程， 可得， 即或， 解得：或， 当，时，； 当，时，； 综上，或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的求解，正确理解题意、熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 4．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于整式A和B，若，则称A与B是一对“十全式”． (1)与____________是一对“十全式”．（填一个含x的代数式） (2)若，，判断A与B是否是一对“十全式”，并说明理由． (3)若，与，是一对“十全式”，且x为正整数，求非负整数a的值． 【答案】(1) (2)A与B不是“十全式”，见解析 (3)非负整数a的值为4或3 【知识点】整式的加减运算、解一元一次方程——拓展 【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键 （1）由题意，根据，计算求解即可； （2）由，进行判断作答即可； （3）由题意知，，整理得，，由x为正整数，分，，代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，与是一对“十全式”， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴A与B不是“十全式”； （3）解：∵C与D是“十全式”， ∴，即， ∴， ， ，   ∵x为正整数， ∴当时，，解得， 当时，，得， ∴非负整数a的值为4或3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 一元一次方程及其解法 课程标准 学习目标 了解一元一次方程概念，会解一元一次方程； ①理解一元一次方程、方程的解等概念； ②掌握检验某个值是不是方程的解的方法； ③掌握解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。 知识点01 一元一次方程的相关概念 ·定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 ·标准形式：方程（其中是未知数，、是已知数，并且） 【即学即练1】（23-24七年级下·福建泉州·期中）下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（23-24七年级下·福建泉州·期中）写出一个解为2的一元一次方程 ． 知识点02 解一元一次方程的步骤 步骤1.‌去分母‌：将方程两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数； 步骤2.‌去括号‌：按照小括号、中括号、大括号的顺序，依次去掉括号，并应用乘法分配律。 步骤3.‌移项‌：将含有未知数的项移到等式的一边，其他项移到等式的另一边。 步骤4.‌合并同类项‌：将等式两边的相同项合并，简化等式。 步骤5.‌系数化为1‌：将等式两边同时除以未知数的系数，得到未知数的值。 【即学即练3】方程的解是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】（23-24七年级下·福建泉州·期中）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】（23-24七年级上·吉林白城·期末）张华同学在解方程时步骤如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)张华同学的解法从第___________步开始错误，错误的原因是___________． (2)请你写出正确的解题过程． 【即学即练7】解方程： (1)； (2)； (3) 【即学即练8】（23-24七年级上·安徽六安·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)． (2)． ·含小数的一元一次方程的去分母、去括号、合并同类项、系数化1的注意事项： 例： ①将的分母化为整数： 利用分数的基本性质，将分子分母同乘10或100得到． ②去分母解一元一次方程 【题型一：根据一元一次方程的概念求未知字母的值】 例1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值是 ． 变式1-1．已知关于x的方程是一元一次方程，求k的值. 变式1-2．若是关于的一元一次方程，则的值为（　　） A．5 B． C．或5 D．2 【技巧方法与总结】①只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1；②合并同类项后，若有二次项，二次项系数为0，一次项系数不为0 【题型二：解一元一次方程——移项与合并同类项】 例2．已知方程的解满足，则a的值为（    ） A． B． C． D．4 【题型三：解一元一次方程——去分母】 例3．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）解方程左右两边乘以同一个数去分母时，该数最合适的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．12 变式3-1．（22-23七年级上·安徽六安·期中）解方程，以下去分母正确的是（  ） A． B． C． D． 变式3-2．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）解方程：去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【技巧方法与总结】两边同乘分母的最小公倍数 【题型四：同解问题】 例4．（23-24七年级上·安徽淮北·期中）已知方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值． 变式4-1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 变式4-2．（23-24七年级上·安徽六安·期中）关于x的方程与的解相同，求的值． 【技巧方法与总结】先求出一个一元一次方程的解，再将这个解代入到另一个方程中求未知数。 【题型五：方程的解的情况】 例5．已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 变式5．已知关于x的方程 (1)当a取何值时，方程的解是； (2)当a取何值时，方程无解； (3)当a取何值时，方程有无穷多个解． 例6．（23-24七年级上·浙江台州·期中）若不论k取什么实数，关于x的方程(是常数)的解总是，求的值． 变式6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【技巧方法与总结】 ①将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程方程有无穷多个解； ②将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程无解 【题型六：定义新运算】 例7．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）一般情况下，对于数a和b，（“”不等号），但是对于某些特殊的数a和b，．我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作．例如当，时，有，那么就是“理想数对”． （1）如果是“理想数对”，那么 ． （2）若是“理想数对”，则的值为 ． 变式7．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若有a，b两个数满足关系式：，则称a，b为“共生数对”，记作．例如：当2，3满足时，则是“共生数对”．若是“共生数对”，则 ． 例8.（23-24七年级上·安徽淮北·期中）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程” 例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求常数b的值． 变式8．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”例如：方程是方程的“后移方程” (1)判断方程是否为方程的“后移方程”； (2)若关于的方程是关于的方程的“后移方程”，求的值． 例9.（23-24七年级上·安徽池州·期末）我们知道，含有未知数的等式叫做方程，若规定符号“”的运算意义为，则方程的解是 ． 变式9．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）定义新运算“※"，规定：.例如：.当时，的值是 . 【题型七：等量代换与解方程】 例10．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 变式10．（23-24七年级上·安徽六安·期中）一般情况下是不成立的，但有些数，可以使得它成立，例如． (1)当，时，成立吗？请通过计算说明理由． (2)除了上面的，取值外，请列举一组能使得成立的，值． ， ． 一、选择题 1.（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）若是方程的解，则a的值是（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24七年级上·安徽·期末）下列方程属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3.如果单项式与的和仍是单项式，则m的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A． B．3 C． D．2 5．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）方程，处被墨水盖住了，已知方程的解，那么处的数字是（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 6．（23-24七年级上·吉林白山·期末）若关于的一元一次方程的解是，则的值是（    ） A．23 B． C． D． 7．（23-24七年级上·安徽淮北·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 8．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知是关于的方程的解，则的值是 ． 9．（23-24七年级上·安徽淮南·期中）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 11．（16-17七年级上·江苏连云港·阶段练习）现规定一种新的运算：，若，则 ． 三、解答题 12．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： …．．．①     …．．．②     …．．．③     …．．．④     …．．．⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误．请你指出他错在第________步，错误的原因是___________________________．然后，请你自己细心地解此方程． 13．解方程 (1)； (2)； (3) 14．解方程 (2)； (2)； (3) 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如果整式A与整式B的和为一个常数a，我们称A，B为常数a的“和谐整式”，例如：和为数1的“和谐整式”，和为数的“和谐整式”．若关于x的整式与为常数k的“和谐整式”，则k的值为（    ）． A．27 B． C．9 D．6 2．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 3.已知是方程的解，n满足关系式，求的值． 4．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于整式A和B，若，则称A与B是一对“十全式”． (1)与____________是一对“十全式”．（填一个含x的代数式） (2)若，，判断A与B是否是一对“十全式”，并说明理由． (3)若，与，是一对“十全式”，且x为正整数，求非负整数a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$