专题05 四边形的证明（13题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题05 四边形的证明 题型一 菱形的证明 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，，分别是边上的点，连接交于点，．添加下列条件之一使四边形成为菱形：①；②． (1)你添加的条件是______（填序号），并证明． (2)在（1）的条件下，连接，若，求菱形的面积． 2．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在菱形中，点M，N分别在边，上，连接，，延长交线段的延长线于点E，，若，求的长． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在菱形中，对角线交于点O，，，连接，交于点F．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 4．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图在矩形中，对角线与相交于点O．分别过点，作，的平行线交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的面积． 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形． （2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长． 6．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF． （1）求证四边形AECF是正方形； （2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积． 7．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，．将绕点顺时针旋转一定角度得到，点在上，点在的延长线上． (1)填空：点到的距离为______； (2)判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)当时，求线段的长． 8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中， 是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 　时，四边形是正方形． 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，的角平分线交于点E，交延长线于点F，过点B作，垂足为G，交边于点H． (1)求证：四边形是菱形； (2)若长为，则的周长为______． 10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，对角线与相交于点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 11．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的面积为___________． 12．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形中，，、分别为边、的中点，连接、．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 题型二 菱形的证明--手拉手模型 13．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）菱形中，点在的延长线上．点是对角线上一点，且．交于点．    (1)如图1，直接写出与的数量关系_________； (2)如图2，当四边形为正方形时，探究与的关系，并证明； (3)如图3，连接，当等于多少度时，，并说明理由． 14．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）综合与实践一探究特殊四边形中的旋转相关问题 问题情境：小刚在学习了菱形与旋转的知识后，进行以下探究运动：在菱形中，对角线交于点O，，点E是直线上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接．    (1)[初步探究] 如图1，小刚发现：当点E在线段上时，线段具有一定的数量关系，请你写出三者的数量关系，并给出证明； (2)[深入探究] 小刚发现：当点E在线段的延长线上时，如图2：当点E在线段的延长线上时，如图3．线段仍具有不同的数量关系，请直接写出数量关系，不需要证明． 图2_________ 图3_________ (3)[再次探究] 小刚在画完三幅图形后、又有了新的发现，他发现三幅图中的点都共线，可是他不知道旋转后得到的点F为什么会与点B，C共线，请你利用图2帮助小刚证明F，B、C三点共线． 15．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）菱形ABCD中，，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F． （1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系； （2）如图②，点O在CA的延长线上，且，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）点O在线段CA上，若，，当时，求BE的长． 题型三 菱形的证明--一线三垂直模型 16．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在菱形中，点M为边上一点，连接，，过点M作，交延长线于点N，点E为上的任意一点，连接，分别过点B，N作，垂直于直线，垂足分别为点H，G（点G在菱形的内部）． (1)如图1，猜想线段，和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，，直接写出线段，的长度； (3)在（2）的条件下，将绕点B旋转得到，点M的对应点为，点N的对应点为，使点、、在同一条直线上，直接写出的长度． 题型四 矩形的证明 17．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）如图，和相交于点，，，点、分别是、的中点． (1)求证：； (2)当时，猜测四边形的形状，并证明你的结论． 18．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，D为中点，，，交于点F，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，直接写出矩形对角线的长． 19．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是菱形的对角线，过点C作于点D，交于点E，点A在的延长线上，且满足，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 20．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，过菱形的顶点A作于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 21．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，交的延长线于点．    (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求矩形的面积． 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形中，，，点E、F分别在、上，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)求线段的长． 23．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图，四边形是平行四边形，点在边的延长线上，且，，，相交于点O，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 24．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，中，点D是边的中点，过D作直线，的平分线交直线于点，点是的边延长线上的点，的平分线交直线于点． 求证：四边形是矩形． 题型五 矩形的证明--手拉手模型 25．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形．    (1)如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； (2)探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由． 26．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，． (1)如图（2），当时，与的数量关系为 　　，与的数量关系为 　　． (2)如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明：若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． (3)在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 题型六 矩形的证明--动点问题 27．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4.  E为CD边上一点，CE＝6. 点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． （1）求AE的长； （2）当t为何值时，△PAE为直角三角形； （3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 28．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形(、相遇时除外)？ 答： ； (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，直接写出的值． 29．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作．交边或边于点Q，连接．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．    (1)当点P和点B重合时，直接写出点P的运动时间为________秒和线段的长为________． (2)当点Q和点D重合时，求线段的长； (3)如图2，当点P在边AD上运动时，求证：的值为定值． 30．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 题型七 正方形的证明--含半角模型 31．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点G在上，且，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 32．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）何老师在“空中课堂”视频中详细地为我们讲解了“将三角形绕图形的直角顶点旋转”的证明思路和方法．有这么一道题：已知：在四边形中，，    (1)如图1；若的两边分别交射线于点，联结．求证：． (2)如图2，，且，直接写出 ； (3)如图3，，若不是直角，与满足 ，仍成立．请证明． 题型八 正方形的证明--手拉手模型 33．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知正方形和（点C，D，E在直线同侧），把绕点A按顺时针方向旋转，得到，由旋转的性质，可知，延长交于点G． (1)如图1，若点E在正方形边上（），则与的位置关系是________． (2)如图2，若点E在正方形内部（，）． ①（1）的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． ②若，，请直接写出线段的长． 34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践 问题情境： 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△（点A的对应点为点C）．延长AE交于点F，连接DE． 猜想证明： (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与的数量关系并加以证明； 解决问题： (3)如图①，若AB＝5，CF＝1，请直接写出DE的长． 35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）【探究与证明】 【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、．    【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 36．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接．    (1)【问题引入】 请你在图1或图2中证明（选择一种情况即可）； (2)【探索发现】 在（1）中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点．将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3，，延长至点，使，连接．当的周长最小时，请你直接写出线段的长． 37．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）基础运用 （1）如图1，在正方形中，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边上的点处，点不与点重合． ①求证：； ②求证： 创新探究 （2）如图2，在菱形中，，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边延长线上的点处．求证：． 38．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）【问题探究】（1）如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接． ①直接写出：______．（填数量关系） ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； ③探究与的数量关系，并说明理由． 【迁移探究】（2）如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 39．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）问题探究： 如图1，在正方形中，对角线、相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接接、． ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，求证：； （2）迁移探究： 如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 40．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，在正方形中，对角线，交于点O，E是直线上一点，连接，过点C作，垂足为P． (1)如图1，当点E在线段的延长线上时，我们探索线段，，之间的数量关系，可以过点O作的垂线交的延长线于点H，连接，则可证________，进而得到，所以可以证得________；    图1 (2)如图2，当点E在线段上时，线段，，有怎样的数量关系，说明理由；    图2 (3)如图3，如果将正方形换成菱形，且，当点E在线段的延长线上时，请探究，，三条线段的数量关系，直接写出你的结论________    图3 题型九 正方形的证明--十字架模型 41．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F． （1）求证：△BCG≌△DCE； （2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由． 42．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，已知正方形，点，分别在，上，且．    (1)求证：． (2)如图2，点在的延长线上，且． ①求的度数； ②求证：． 43．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）已知正方形中，点E，F分别为，上的点，连接，相交于点H，且．    (1)如图1，连接交于点C，求证：； (2)如图2，延长到点M，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求 ？ 题型十 正方形的证明--一线三垂直模型 44．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是边长为4的正方形，点在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点，，，按顺时针排列）．    (1)如图1，当点在线段上时，若，连接． ①求点到的距离； ②请直接写出的长； (2)当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点重合），求正方形的面积． 45．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）已知正方形，点为直线上的一点，连接，过点作射线，交直线于点E，连接，取的中点，连接 (1)如图1，点在线段的中点时，直接写出与的数量关系； (2)如图2， ①点P在线段上时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； ②若点P在直线上，，，直接写出的长； (3)设，若点运动到某一位置时使为等边三角形，请直接写出的长． 题型十一 正方形的证明--折叠问题 46．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，已知正方形的边长是2，点P沿运动，到达点D停止． (1)连接，设点运动的距离为x，请用x表示的面积y（直接写出结果）； (2)作于点E． ①如图2，点P在线段上，将沿翻折得到，连接，求的度数； ②连接，若是等腰三角形，则 直接写出结果． 47．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）数学课上，老师出示问题：如图1，将边长为12的正方形纸片折叠，使顶点A落在边上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点G． (1)观察操作结果，在图1中找到一个与相似的三角形，并证明你的结论； (2)若，求的长； (3)将正方形换成正三角形，如图2，将边长为12的正三角形纸片折叠，使顶点A落在边上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为，当点P在边的什么位置时，与面积的比是，请写出求解过程． 48．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的等腰直角三角形纸片，表示为和，其中，将和按图2所示方式摆放（点C，B，E三点共线），其中点B与点D重合（标记为点B）．连接，取的中点M，过点F作交的延长线于点N． (1)试判断的形状，直接写出答案． (2)深入探究：杨老师将图2中的绕点B顺时针方向旋转，当点C，B，E三点不在一条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题． ①“洞察小组”提出问题是（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请你证明，若不成立；请你写出新的结论，并证明； ②“思辨小组”提出问题是：若正方形的边长是4，把图2中的绕点B顺时针方向旋转一周，当点C，B，F三点共线时，请你直接写出的面积． 题型十二 平行四边形与坐标系 49．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）如图，在直角坐标系内，已知点，；    (1)请你作出点B关于原点对称的点D；点A关于y轴对称的点C，并写出C点D点的坐标； (2)顺次连接点A，B，C，D，猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由． 50．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的边在x轴上，在y轴上，线段，的长分别是方程的两个根（）．    (1)请求出点B的坐标； (2)已知P为上一点，将翻折，使点O落在上的点Q处，记，，求的值； (3)在（2）的条件下，M为y轴上一点，在平面内存在点N，使以C，Q，M，N为顶点四边形为矩形？请写出点N的坐标__________． 51．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，、分别是线段、上的两个动点，点从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时从出发，以每秒个单位的速度向终点运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为秒．点为的中点，连接、、．    (1)求点的坐标及的长度； (2)当的面积为时，求点的坐标； (3)如图分别以、为邻边作，是否存在时间，使得坐标轴刚好将的面积分为的两个部分，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 52．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，在边，上运动，连接，当点P到达A点时，运动停止． （1）求证：在运动过程中，四边形是平行四边形． （2）如图2，在运动过程中，是否存在四边形是菱形的情况？若存在，求出此时直线的解析式；若不存在，请说明理由． （3）如图3，在（2）的情况下，直线上是否存在一点D，使得是直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型十三 阅读理解题型 53．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图①中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： （1）图③中_______（保留根号）； （2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由； （3）请直接写出图④中所有的黄金矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 四边形的证明 题型一 菱形的证明 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，，分别是边上的点，连接交于点，．添加下列条件之一使四边形成为菱形：①；②． (1)你添加的条件是______（填序号），并证明． (2)在（1）的条件下，连接，若，求菱形的面积． 【答案】(1)②，证明见解析 (2) 【分析】（1）添加条件②，由，证明四边形是平行四边形，证明，则，进而可证四边形是菱形； （2）由菱形的性质可知，，如图，由勾股定理得，，计算解得，，进而可求的值，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：添加条件②，证明如下； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由菱形的性质可知，，如图， ∵， 由勾股定理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在菱形中，点M，N分别在边，上，连接，，延长交线段的延长线于点E，，若，求的长． 【答案】3 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定， 首先根据菱形的性质得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在菱形中，对角线交于点O，，，连接，交于点F．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1），，则四边形是平行四边形，由菱形的性质得到，即可证明结论； （2）由四边形是矩形得到，四边形是菱形，则，证明是等边三角形，由得，则，由勾股定理得，可得到，，利用菱形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在菱形中，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴，， ∴菱形的面积． 【点睛】此题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的判定和性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图在矩形中，对角线与相交于点O．分别过点，作，的平行线交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明详见解析； (2)； 【分析】（1）本题考查菱形的判定，根据，得到是平行四边形，根据矩形的性质得到即可得到证明； （2）本题考查矩形的性质及菱形的性质，先根据矩形的面积求出的面积即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，， ∴矩形的面积， ∵， ∴菱形OCED的面积． 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形． （2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据菱形的对角线平分对角，可得,又是的中点，，则，可得，即可得，进而可得，进而可得四边形是矩形； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得，根据勾股定理在中求得，根据四边形是矩形进而求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）四边形是菱形， ， 在中，是的中点， ， ， ， OG∥EF 四边形是平行四边形， EF⊥AB， 四边形是矩形． （2）,是的中点， 在中,是的中点， EF⊥AB， 在中， 四边形是菱形， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握特殊四边形的性质和判定是解题的关键． 6．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF． （1）求证四边形AECF是正方形； （2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）25． 【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质即可证明四边形AECF是正方形； （2）根据菱形ABCD的性质和BD＝4，BE＝3，DF＝BE，可得EF=10，OA=5，进而可得菱形ABCD的面积． 【详解】 证明：（1）如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF， ∵BE=DF， ∴OB+BE=OD+DF， 即OE=OF， ∵OA=OC，OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形； ∵∠AED＝45°， ∴∠OAE=90°-45°=45°=∠AED， ∴OA=OE， ∴AC=EF， ∴四边形AECF是正方形； （2）∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，BE＝3， DF＝BE， ∴EF=BE+BD+DF=2BE+BD=10， ∴OE=EF=5， ∵∠AED＝45°，AC⊥EF， ∴OA=·OE=·5=5， ∴AC=10， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=×10×5=25． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识． 7．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，．将绕点顺时针旋转一定角度得到，点在上，点在的延长线上． (1)填空：点到的距离为______； (2)判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)当时，求线段的长． 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点A作于点K，根据平行四边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理，即可求解； （2）证明，即可求解； （3）设的延长线交于点P，过C作于点Q，证明四边形是矩形，可得，再根据三角形的面积求出，可得， ，再证得，可得，，由（2）得：，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点K， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即点到的距离为2； 故答案为：2； （2）解：线段与的数量关系为， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的延长线交于点P，过C作于点Q， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 由（2）得：的面积为， ∵， ∴， ∴， ， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中， 是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 　时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由“AAS”可证，可得，由直角三角形的性质可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （2）由等腰三角形的性质可得，即可证四边形是正方形． 【详解】（1）证明：， ， ∵是的中点， ∴， ∴（AAS）， ∴， ∵是的中线， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵CD＝BD， ∴四边形是菱形； （2）解：当时，四边形是正方形， 理由如下：∵，是中线， ∴，且四边形是菱形， ∴四边形是正方形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，的角平分线交于点E，交延长线于点F，过点B作，垂足为G，交边于点H． (1)求证：四边形是菱形； (2)若长为，则的周长为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】本题是四边形综合题，考查菱形的判定、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查． （1）证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质证明，得，证明四边形是平行四边形，进而可得结论； （2）在中，，可得，由（1）知是等腰三角形，，得到，所以的周长等于16，根据，得到，由可得，相似比为，所以的周长为8． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， 又∵平分， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ∴， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； （2）解：在中，， ， 由（1）知是等腰三角形， 又， ， 的周长， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 的周长为8． 故答案为：8． 10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，对角线与相交于点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证，得是菱形，再由菱形的性质即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，再由勾股定理得，则，然后由菱形面积即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形； ∴平行四边形是菱形， ∴； （2）解：由（1）可知，是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 11．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，求出OA＝3，再证，得，过O作于P，然后由面积法得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形 ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 过O作于P， 则， ∴的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 12．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形中，，、分别为边、的中点，连接、．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质及判定得出四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线的性质及菱形的判定即可证明； （2）根据等边三角形的判定和性质得出，过点D作于点H，利用勾股定理及等边三角形的性质得出，，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形中，，， 又∵E、F分别为、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴在中，E为中点， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）由（1）知， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 过点D作于点H，    ∴， ∴在中，， ∴， ． 【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，综合运用这些知识点是解题关键． 题型二 菱形的证明--手拉手模型 13．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）菱形中，点在的延长线上．点是对角线上一点，且．交于点．    (1)如图1，直接写出与的数量关系_________； (2)如图2，当四边形为正方形时，探究与的关系，并证明； (3)如图3，连接，当等于多少度时，，并说明理由． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3)当时，，见解析 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，再证明，问题随之得解； （2）同（1）证明，即可作答； （3）同（1）先证明，即可得 ，，进而可得，，即有，可得，则可证明是等边三角形，问题随之得解． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）， 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴； （3）当时，理由： ∵四边形是菱形，， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，三角形内角和定理等知识，证明是解答本题的关键． 14．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）综合与实践一探究特殊四边形中的旋转相关问题 问题情境：小刚在学习了菱形与旋转的知识后，进行以下探究运动：在菱形中，对角线交于点O，，点E是直线上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接．    (1)[初步探究] 如图1，小刚发现：当点E在线段上时，线段具有一定的数量关系，请你写出三者的数量关系，并给出证明； (2)[深入探究] 小刚发现：当点E在线段的延长线上时，如图2：当点E在线段的延长线上时，如图3．线段仍具有不同的数量关系，请直接写出数量关系，不需要证明． 图2_________ 图3_________ (3)[再次探究] 小刚在画完三幅图形后、又有了新的发现，他发现三幅图中的点都共线，可是他不知道旋转后得到的点F为什么会与点B，C共线，请你利用图2帮助小刚证明F，B、C三点共线． 【答案】(1)，见解析 (2)， (3)见解析 【分析】（1）连接，根据菱形的性质、旋转的性质可证和是等边三角形，进而证明，推出，可得； （2）同（1）根据菱形和旋转的性质证明，推出，利用等量代换和线段的和差关系即可求解； （3）根据全等三角形的性质证明，根据菱形的性质和已知条件证明，可得，即可证明F，B、C三点共线． 【详解】（1）解：． 证明：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵线段绕点E顺时针旋转到， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2：连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵线段绕点E顺时针旋转到， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∴； 如图3：连接，    同理可证， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （3）证明：如图2：连接，    由（2）知，是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴F，B、C三点共线． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，通过作添加辅助线构造全等三角形． 15．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）菱形ABCD中，，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F． （1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系； （2）如图②，点O在CA的延长线上，且，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）点O在线段CA上，若，，当时，求BE的长． 【答案】（1）CA＝CE＋CF；（2）CF−CE＝AC；理由见解析；（3）BE的长为3或5或1． 【分析】（1）如图①中，结论：CA＝CE＋CF．只要证明△ADF≌△ACE（SAS）即可解决问题； （2）结论：CF−CE＝AC．如图②中，作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形，只要证明△FOG≌△EOC（ASA）即可解决问题； （3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题. 【详解】解：（1）如图①中，结论：CA＝CE＋CF． 理由：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴AB＝AD＝DC＝BC，∠BAC＝∠DAC＝60°， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形， ∵∠DAC＝∠EAF＝60°， ∴∠DAF＝∠CAE， ∵CA＝AD，∠D＝∠ACE＝60°， ∴△ADF≌△ACE（SAS）， ∴DF＝CE， ∴CE＋CF＝CF＋DF＝CD＝AC， ∴CA＝CE＋CF； （2）结论：CF−CE＝AC． 理由：如图②中，作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形． ∵∠GOC＝∠FOE＝60°， ∴∠FOG＝∠EOC， ∵OG＝OC，∠OGF＝∠ACE＝120°， ∴△FOG≌△EOC（ASA）， ∴CE＝FG， ∵OC＝OG，CA＝CD， ∴OA＝DG， ∴CF−EC＝CF−FG＝CG＝CD＋DG＝AC＋AC＝AC； （3）作BH⊥AC于H． ∵AB＝6，AH＝CH＝3， ∴BH＝， 如图③−1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时． ∵OB＝， ∴OH＝， ∴OC＝3＋1＝4， 由（1）可知：CO＝CE＋CF， ∵OC＝4，CF＝1， ∴CE＝3， ∴BE＝6−3＝3； 如图③−2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时． 由（2）可知：CE−CF＝OC， ∴CE＝4＋1＝5， ∴BE＝1； 如图③−3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时． 同法可证：OC＝CE＋CF， ∵OC＝CH−OH＝3−1＝2，CF＝1， ∴CE＝1， ∴BE＝6−1＝5； 如图③−4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时． 同法可知：CE−CF＝OC， ∴CE＝2＋1＝3， ∴BE＝3， 综上所述，BE的长为3或5或1． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型三 菱形的证明--一线三垂直模型 16．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在菱形中，点M为边上一点，连接，，过点M作，交延长线于点N，点E为上的任意一点，连接，分别过点B，N作，垂直于直线，垂足分别为点H，G（点G在菱形的内部）． (1)如图1，猜想线段，和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，，直接写出线段，的长度； (3)在（2）的条件下，将绕点B旋转得到，点M的对应点为，点N的对应点为，使点、、在同一条直线上，直接写出的长度． 【答案】(1)猜想：，理由见解析． (2)， (3)的长为． 【分析】（1）利用已知条件证明，再通过全等三角形的性质，得到，，进而得到线段，和的数量关系； （2）过点作于点，结合已知可得，，推出 是等腰直角三角形，，利用菱形的性质和勾股定理求出，可得，求出，推出，进而求解； （3）根据旋转的性质，分两种情况讨论：当将绕点顺时针旋转得到时，；当将绕点逆时针旋转得到时，，得到答案． 【详解】（1）猜想：，理由如下： ，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． （2）如图，过点作于点， ，， ，， 是等腰直角三角形，， ， 又四边形是菱形， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ． （3）由（2）知： ，， 在中， ， ， 当将绕点顺时针旋转得到时，如图所示， ，， 在中， ； 当将绕点逆时针旋转得到时，如图所示， ， ，， 在中， ， 综上，的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，理解题意，正确作辅助线，掌握全等三角形的判定及性质，菱形的性质，勾股定理，旋转的性质是解答本题的关键． 题型四 矩形的证明 17．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）如图，和相交于点，，，点、分别是、的中点． (1)求证：； (2)当时，猜测四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形是矩形，证明见解析． 【分析】（）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形． 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ∴， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴； （2）四边形是矩形，理由： 由（）得：， ∵， ∴四边形是平行四边形，，， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 18．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，D为中点，，，交于点F，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，直接写出矩形对角线的长． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)3． 【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． （1）由，得，而，则四边形是平行四边形，由，得，可证明，则四边形是矩形； （2）由矩形的性质证明，因为，所以是等边三角形，则，所以，则矩形对角线的长为3． 【详解】（1）证明：∵D为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形，交于点F， ，且， ， ，， 是等边三角形， ， ， ∴矩形对角线的长为3． 19．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是菱形的对角线，过点C作于点D，交于点E，点A在的延长线上，且满足，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 （1）根据菱形的性质得到，，证得．证明．得到，进而推出．再根据三个直角的三角形是矩形，得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，．由勾股定理求出．设，则，．在中，由勾股定理，得．列得．求出． 【详解】（1） 证明：∵是菱形， ∴，． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴．∴． ∴四边形ABCD是矩形． （2） 解：∵， ∴，． ∵，在中，由勾股定理，得． ∴．∴． 设，则，． 在中，由勾股定理，得． 即．解得． ∴． 【点睛】 此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定，正确掌握菱形的性质及矩形的判定定理是解题的关键． 20．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，过菱形的顶点A作于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)10 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）∵菱形， ∴， ∵矩形， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 21．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，交的延长线于点．    (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，进而证明四边形是平行四边形，得到，进一步证明，由此即可证明平行四边形是矩形；    （2）由矩形的性质可得，再证明是等边三角形，得到，由勾股定理求出，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，     ， 又∵， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ， ∵， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知矩形的性质与判定条件是解题的关键． 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形中，，，点E、F分别在、上，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）过F作于点H，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）∵在矩形中，，, ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）过F作于点H，    则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 23．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图，四边形是平行四边形，点在边的延长线上，且，，，相交于点O，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，，，得出，，，根据矩形的判定得出即可； （2）根据矩形的性质得出，，，得出，可得是等边三角形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， 24．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，中，点D是边的中点，过D作直线，的平分线交直线于点，点是的边延长线上的点，的平分线交直线于点． 求证：四边形是矩形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，先证，，则，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论．熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点D是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形． 题型五 矩形的证明--手拉手模型 25．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形．    (1)如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； (2)探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或，见解析 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，等边三角形的判定及性质． （1）①由矩形的性质可证；②由矩形的性质及旋转的性质可证（），从而可得，即可求证； （2）由线段垂直平分线的判定定理可得点G在的垂直平分线上，①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，可证是等边三角形，即可求解；②当点G在左侧时， 同理可得是等边三角形，即可求解； 掌握性质，并能根据G点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， ， 由旋转得：， ， ， ， 故答案：； ②由旋转可得： ， ， ， ， 又， ， ， 在和中 ， （）， ， 又， ． （2）解：如图，当时， 则点G在的垂直平分线上， ①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，   ， ， 四边形是矩形， ， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， 旋转角； ②如图，当点G在左侧时，    同理可得是等边三角形， ， 旋转角． 26．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，． (1)如图（2），当时，与的数量关系为 　　，与的数量关系为 　　． (2)如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明：若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． (3)在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）当时，，，则，所以，再证明、、三点在同一条直线上，由勾股定理得，， 所以，于是得到问题的答案； （2）先证明，得，，则，，即可证明，再根据勾股定理求得，则，所以； （3）分两种情况，一是，，三点共线，且点在线段上，由勾股定理求得，则；二是，，三点共线，且点在线段的延长线上，由勾股定理求得，则． 【详解】（1）当时，，， ， ， 四边形和四边形都是矩形，且，， 四边形和四边形都是正方形， ，，， ，， ， 、、三点在同一条直线上， ，， ，， ， 故答案为：，． （2）发生变化，， 理由：如图3，连接，当时，则，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． （3），， ，，， ， 如图（4），，，三点共线，且点在线段上， ， ， ； 如图（5），，，三点共线，且点在线段的延长线上， ， ， ， 综上所述，线段的长是或． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 题型六 矩形的证明--动点问题 27．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4.  E为CD边上一点，CE＝6. 点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． （1）求AE的长； （2）当t为何值时，△PAE为直角三角形； （3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）6或；（3）存在，t=，理由见解析 【分析】（1）在直角△ADE中，利用勾股定理进行解答； （2）需要分类讨论：AE为斜边和AP为斜边两种情况下的直角三角形； （3）假设存在．利用角平分线的性质，平行线的性质以及等量代换推知：∠PEA=∠EAP，则PE=PA，由此列出关于t的方程，通过解方程求得相应的t的值即可． 【详解】解：（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4， ∴CD=AB=9，∠D=90°， ∴DE=9﹣6=3， ∴AE==5； （2）①若∠EPA=90°，BP=CE=6，∴t=6； ②若∠PEA=90°，如图， 过点P作PH⊥PH⊥CD于H，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°， ∴四边形BCHP是矩形， ∴CH=BP=t，PH=BC=4， ∴HE=CE-CH=6-t， 在Rt△PHE中，PE2=HE2+PH2=（6-t）2+42， ∵∠PEA=90°， 在Rt△PEA中，根据勾股定理得，PE2+AE2=AP2， ∴（6-t）2+42+52=（9-t）2，， 解得t=． 综上所述，当t=6或t=时，△PAE为直角三角形； （3）假设存在． ∵EA平分∠PED， ∴∠PEA=∠DEA． ∵CD∥AB， ∴∠DEA=∠EAP， ∴∠PEA=∠EAP， ∴PE=PA， ∴， 解得t=． ∴满足条件的t存在，此时t=． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，用勾股定理建立方程是解本题的关键． 28．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形(、相遇时除外)？ 答： ； (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，直接写出的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)四边形为矩形时或； (3)当时，四边形为菱形． 【分析】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， 四边形是矩形， ∴，， ， ，分别是，中点， ，， ， ， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形； 故答案为：四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， ①如图1，当四边形是矩形时， ， ， ， ； ②如图2，当四边形是矩形时， ，， ， ； 综上，四边形为矩形时或； （3）解：如图3，和分别是和的中点，连接，，，与交于， 四边形为菱形， ，，， ，， 四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ，即， 当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 29．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作．交边或边于点Q，连接．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．    (1)当点P和点B重合时，直接写出点P的运动时间为________秒和线段的长为________． (2)当点Q和点D重合时，求线段的长； (3)如图2，当点P在边AD上运动时，求证：的值为定值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】（1）当点P和点B重合时，运动路程为的长，据此可求出运动时间；证明四边形是矩形，求出的长，进而在中，勾股定理即可求解； （2） （2）证明，得到，据此求出的长，进而求出的长，在中，利用勾股定理求解即可； （3）如图所示，过点作于点，同理可证明四边形是矩形，得到，再证明，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，连接，        ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴运动时间为秒 在中，由勾股定理得， 故答案为：2，； （2）解：如图所示，      ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，过点作于点， 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∵，在矩形中，， ∴，      ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，遇到矩形问题，要熟知矩形的判定定理和性质；遇到直角三角形求线段长，要熟知勾股定理；遇到求两个三角形中线段的比值问题，要通过构造相似三角形进行求解． 30．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)四边形为矩形时或 (3)当时，四边形为菱形 【分析】（1）利用三角形全等可得 则 即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解. 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得： ∵四边形是矩形， ， ， ∵分别是中点， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形为矩形时或； （3）如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用. 题型七 正方形的证明--含半角模型 31．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点G在上，且，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）由，四边形为正方形可证，从而证出； （2）由（1）得，，即又，可得，故可证得，即．又根据，可证出． 【详解】（1）在正方形中，，， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 理由：∵由（1）得：， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了以下内容：正方形的性质，全等三角形的判定与性质；解决本题的关键是理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定的知识． 32．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）何老师在“空中课堂”视频中详细地为我们讲解了“将三角形绕图形的直角顶点旋转”的证明思路和方法．有这么一道题：已知：在四边形中，，    (1)如图1；若的两边分别交射线于点，联结．求证：． (2)如图2，，且，直接写出 ； (3)如图3，，若不是直角，与满足 ，仍成立．请证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转，可得，则，可得，，，，可知、、三点共线，由，，可得，再证明，可得，即可证明结论； （2）设，将绕点逆时针旋转，可得，则，可得，，，，可知、、三点共线，由，可得，可证，得，由，可得，即可求得答案； （3）设，将绕点逆时针旋转，可得，则，可得，，，，由，可得，易知、、三点共线，由，可得，由，可证得，进而可证，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴将绕点逆时针旋转，可得，则，    则，，，， ∴， ∴、、三点共线， ∵，， ∴， 则， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）∵，设， ∴将绕点逆时针旋转，可得，则，    则，，，， ∴， ∴、、三点共线， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）， 理由如下：∵，设， ∴将绕点逆时针旋转，可得，则，    则，，，， ∵， ∴，即， ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，构造全等三角形是解决问题的关键． 题型八 正方形的证明--手拉手模型 33．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知正方形和（点C，D，E在直线同侧），把绕点A按顺时针方向旋转，得到，由旋转的性质，可知，延长交于点G． (1)如图1，若点E在正方形边上（），则与的位置关系是________． (2)如图2，若点E在正方形内部（，）． ①（1）的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． ②若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①（1）的结论还成立，理由见解析；②或 【分析】（1）根据旋转的性质得，由，则，根据三角形内角和定理可计算出，于是可判断； （2）①证出，则可得出；②连接，过点A作于点G，于点N，由勾股定理求出的长，证明，由全等三角形的性质得出，证，设，则，由勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 绕点A按顺时针方向旋转，得到， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①（1）的结论还成立，理由如下： 证明：如图，与交于点O， 绕点A按顺时针方向旋转， ， ， ， ； ②如图，连接，过点A作于点G，于点N， ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 或， 或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践 问题情境： 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△（点A的对应点为点C）．延长AE交于点F，连接DE． 猜想证明： (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与的数量关系并加以证明； 解决问题： (3)如图①，若AB＝5，CF＝1，请直接写出DE的长． 【答案】(1)四边形BFE是正方形，见解析 (2)线段CF与的数量关系是CF=，见解析 (3) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再证明有一组邻边线段即可得证． (2)过点D作DQ⊥AE，垂足为Q，得证AE=2AQ=2QE，再证明△DAQ≌△ABE，结合旋转性质，得到△≌△ABE，得到DQ=AE==2=+CF，得证． (3)过点D作DM⊥AE，垂足为M，证明△DAM≌△ABE，结合旋转性质，得到△≌△ABE，得到DM=AE==+CF，设=x，则DM=AE==x+1，根据勾股定理，，求得x的值，再利用计算即可． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠CBE=90°． ∵Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△（点A的对应点为点C） ∴△ABE≌△， ∴∠AEB=∠=90°，BE=，∠ABE=∠， ∴∠+∠CBE=90°， ∴∠BEF=90°， 四边形是正方形． （2）如图，过点D作DQ⊥AE，垂足为Q， ∵DA=DE， ∴AQ=QE=． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB=90°，DA=AB， ∴∠BAE+∠DAQ=90°． ∵∠ADQ+∠DAQ=90°， ∴∠BAE=∠ADQ． ∵∠DQA=∠AEB=90°， ∴△ADQ≌△BAE， ∴AQ=BE，DQ=AE， ∴DQ=AE=2AQ=2BE． ∵Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△（点A的对应点为点C） ∴△ABE≌△， ∴BE=，AE=， ∴DQ=AE==2BE． ∵四边形是正方形， ∴BE==， ∴DQ=AE==2=+CF， =+CF， ∴=CF． （3）过点D作DM⊥AE，垂足为M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB=90°，DA=AB， ∴∠BAE+∠DAM=90°． ∵∠ADQ+∠DAM=90°， ∴∠BAE=∠ADM． ∵∠DMA=∠AEB=90°， ∴△ADM≌△BAE， ∴AM=BE，DM=AE， 根据旋转的性质，得到△≌△ABE， 得到DM=AE==+CF，设=x， ∵四边形是正方形，CF=1， ∴BE==， 则DM=AE==x+1， 根据勾股定理，得， 解得x=3，x=-4（舍去）， ∴DM=x+1=3，ME=AE-AM=4-3=1， ∴， 解得DE=． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）【探究与证明】 【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、．    【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 【答案】(1) (2)①四边形是正方形，理由见解析；② 【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论； ②过点作于点，证，得，，则，再由勾股定理求解即可； 【详解】（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； ②过点作于点，如图3所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ．    【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型． 36．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接．    (1)【问题引入】 请你在图1或图2中证明（选择一种情况即可）； (2)【探索发现】 在（1）中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点．将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3，，延长至点，使，连接．当的周长最小时，请你直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)图形见解析，，理由见解析 (3) 【分析】（1）选择图1，根据正方形性质可得：，，进而证得，结合旋转的性质即可证得结论；选择图2，同理可证得结论； （2）猜想，选择图1，过点作交于点，则，利用正方形的性质即可证得，再利用等腰三角形性质即可得出答案；选择图2，同理可证得结论； （3）取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，由的周长，可得当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，利用勾股定理可得，再证得，可得，即，利用，即可求得答案． 【详解】（1）证明：选择图1， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 由旋转得：， ． 选择图2， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 由旋转得：， ． （2）解：猜想．理由如下： 选择图1，过点作交于点， 则，   四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 若选择图2，过点作交的延长线于点，    则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图3，取的中点，连接，   ， 点是的中点， ， 的周长， 当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，如图3， 四边形是正方形， ，，， 在中，， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等是解题关键． 37．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）基础运用 （1）如图1，在正方形中，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边上的点处，点不与点重合． ①求证：； ②求证： 创新探究 （2）如图2，在菱形中，，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边延长线上的点处．求证：． 【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据正方形对角线的性质，垂直平分，进而得出①结论；过点作于点，于点（如图），去证明四边形是矩形，，，从而推出结论； （2）根据菱形对角线的性质，证明出，作交于点，交于E点（如图），得出；根据菱形性质和题意，和都是等边三角形；作交于点，根据等腰三角形和等边三角形性质得出，，进而证明出结论． 【详解】（1）①证明：根据正方形对角线的性质， 垂直平分， 上的点到和B距离相等， ． ②过点作于点，于点，如图 线段绕点旋转得到， ； 又， ； 又，，， 四边形是矩形， ； 是正方形， ， 则， ， ． （2）证明：根据菱形对角线的性质， 垂直平分， 上的点到和B距离相等， ； 又由旋转得到， ． 作交于点，交于E点，如图 则四边形是平行四边形，； 根据菱形性质：菱形的四条边都相等，及题意：， 得：， 和都是等边三角形； 作交于点， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形、菱形、等腰、等边三角形的性质及旋转性质，根据题意作出正确的辅助线是解题关键． 38．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）【问题探究】（1）如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接． ①直接写出：______．（填数量关系） ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； ③探究与的数量关系，并说明理由． 【迁移探究】（2）如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）① ；②没有发生变化，理由见解析；③，理由见解析 ；（2），理由见解析 ． 【分析】（1）①由正方形的对称性即可求解； ②延长．根据等边对等角和三角形外角的性质，可得，，再根据即可求解； ③过点P作，交于点E，过点E作于点F，可得和都是等腰直角三角形，四边形是矩形，故可推出，再证即可求解； （2）延长到点E，连接．根据菱形的性质，结合（1）②的推理过程可得是等边三角形，再证明，即可求解． 【详解】解：（1）①由正方形的对称性可知：， 故答案为：； ②没有发生变化．理由如下： 延长与相交， 由①得，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ③过点P作，交于点E，过点E作于点F， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形． ∴，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由②可知， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）延长到点E，连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识点．掌握相关结论是进行几何推理的关键． 39．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）问题探究： 如图1，在正方形中，对角线、相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接接、． ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，求证：； （2）迁移探究： 如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质及证得，进而可求证结论；②作，，根据正方形的性质可得到四边形是矩形，再利用可证得，进而可得，再利用角的等量代换即可求证结论； （2）先证明，作交于点，交于点，则四边形是平行四边形，可得，和都是等边三角，作于点，进而可求证得结论． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ， ∴； ②作，，垂足分别为点M、N，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形，， ∴， 由旋转的性质可得， 在和中， ， ∴， ∵， ∴，即； （2），理由如下： ∵四边形是菱形， ，，，垂直平分， ∴， ∵，， 是等边三角形， ， 由旋转的性质可得， ， 作交于点，交于点，如图：    则四边形是平行四边形， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ， 作于点，则，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、菱形的性质、矩形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的判定及性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 40．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，在正方形中，对角线，交于点O，E是直线上一点，连接，过点C作，垂足为P． (1)如图1，当点E在线段的延长线上时，我们探索线段，，之间的数量关系，可以过点O作的垂线交的延长线于点H，连接，则可证________，进而得到，所以可以证得________；    图1 (2)如图2，当点E在线段上时，线段，，有怎样的数量关系，说明理由；    图2 (3)如图3，如果将正方形换成菱形，且，当点E在线段的延长线上时，请探究，，三条线段的数量关系，直接写出你的结论________    图3 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）作，交的延长线于点H，如图1，根据正方形的性质可得，再由，，可得，由四边形的内角和为，可得，从而可证，即可证，可得，，即，再利用勾股定理即可得出结论； （2）作，交于点H，如图2．根据正方形的性质可得，，再由，利用等量代换可得，从而可得，可得．即，即可证，可得，，从而可得，再利用勾股定理即可得出结论； （3）根据菱形的性质可得，，，作，交于点H，如图3，由，，可得，再由，可得，即，从而可证，可得，即，，从而可得，再利用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是正方形， ，．作，交的延长线于点H，如图1． ， ． ． ， ． ， ． ， ， ， ． ， ． ，． ， ． 在中，由勾股定理，得． ；    （2）解：∵四边形是正方形， ，． 作，交于点H，如图2． ， ． ． 又， ． ，， ． ．即． ， ， ，． ， ， 在中，由勾股定理，得． ；    （3）解：，理由如下； 四边形是菱形， ，， ， ． 作，交于点H，如图3．    ， ． 又，， ， 由，知． ， ．即． ． ， ，． ， ． 在中，由勾股定理，得． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及四边形的内角和，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型九 正方形的证明--十字架模型 41．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F． （1）求证：△BCG≌△DCE； （2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由． 【答案】（1）答案见解析；（2）平行四边形，理由见解析 【分析】（1）由正方形ABCD，得BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°，又CG=CE，所以△BCG≌△DCE（SAS）． （2）由（1）得BG=DE，又由旋转的性质知AE′=CE=CG，所以BE′=DG，从而证得四边形E′BGD为平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCD=90°． ∵∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠BCD=∠DCE=90°． 又∵CG=CE， ∴△BCG≌△DCE． （2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下： ∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′， ∴CE=AE′． ∵CE=CG， ∴CG=AE′． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BE′∥DG，AB=CD． ∴AB﹣AE′=CD﹣CG． 即BE′=DG． ∴四边形E′BGD是平行四边形． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定等知识的综合应用，以及考生观察、分析图形的能力． 42．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，已知正方形，点，分别在，上，且．    (1)求证：． (2)如图2，点在的延长线上，且． ①求的度数； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①，②见解析 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）①延长至，使，连接，可得，进而可得为等腰直角三角形，由此可得； ②由，可得，结合为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ； （2）①解：如图3，延长至，使，连接，   四边形是正方形， ，， ， ， ， 又，， ， ，， ，， ， ②，， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 43．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）已知正方形中，点E，F分别为，上的点，连接，相交于点H，且．    (1)如图1，连接交于点C，求证：； (2)如图2，延长到点M，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求 ？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据余角 的性质得到，于是得到结论； （2）过作于，得到，推出四边形是正方形，根据正方形的性质得到，，得到，在根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）由已知条件可得．可得，于是得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴． （2）过C作于K，    ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴（AAS）， ∴，， ∴． （3）由（2）可知道 ∵，， ∴， ∴， ∵． ∴． 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角的性质与判定，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型十 正方形的证明--一线三垂直模型 44．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是边长为4的正方形，点在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点，，，按顺时针排列）．    (1)如图1，当点在线段上时，若，连接． ①求点到的距离； ②请直接写出的长； (2)当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点重合），求正方形的面积． 【答案】(1)①点G到AB的距离1；②BG＝ (2)正方形AEFG的面积为20或80 【分析】（1）①过点作直线于，则，利用勾股定理可得，再证得，可得：，即点到的距离1； ②利用勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况：当点在直线上时，过点作，交的延长线于，可得是等腰直角三角形，得出，再证得，利用勾股定理可得：，即正方形的面积为20；当点在直线上时，过点作，交的延长线于，同理可求得答案． 【详解】（1）（1）①如图1，过点作直线于， 则，    四边形是边长为4的正方形，， ，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点到的距离1； ②在中，，，， ； （2）当点在直线上时，过点作，交的延长线于， 则，    四边形是正方形， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 正方形的面积为20； 当点在直线上时，过点作，交的延长线于，如图3，    同理可得：， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， 正方形的面积为80； 综上所述，正方形的面积为20或80． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正方形面积等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 45．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知正方形，点为直线上的一点，连接，过点作射线，交直线于点E，连接，取的中点，连接 (1)如图1，点在线段的中点时，直接写出与的数量关系； (2)如图2， ①点P在线段上时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； ②若点P在直线上，，，直接写出的长； (3)设，若点运动到某一位置时使为等边三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)①成立，理由见解析；②的长为或； (3)的长为或． 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，因此可得； （2）①过点作于，于，先根据AAS证明，则可得，再根据ASA证明，则可得是等腰直角三角形，因此可得，再根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，因此． ②分两种情况，分点在线段上和P点在的延长线上．作于点，先求出的长，则可知的长，再求出的长，则可求出的长，再根据求出的长即可． （3）分两种情况，点在上方和点在下方．①F点在上方时，由是等边三角形可求出、的长，再求出的长，设，根据勾股定理列方程求出x，即可知的长，则可求出的长． ②F点在下方时，是等边三角形可求出、、的长， 再求出的长， 作于Q点， 设，在中据勾股定理列方程求出x，即可知的长，进而可可求出的长和的长． 【详解】（1），理由如下： ∵四边形是正方形 P是线段的中点 ∵F是中点 （2）①如图，点P在线段上时，（1）中的结论仍然成立，理由如下： 过P点作于G，于H 又 ∴四边形是矩形 ∵正方形中，平分 又 ∴是等腰直角三角形 ∵F是中点 ∵Rt中，F是中点     ②(ⅰ)如图，P点在线段上时，作于Q 由①知 (ⅱ)如图，若P点的延长线，     过P点作于G，于H 又 ∴四边形是矩形 ∵正方形中，平分 又 ∴是等腰直角三角形 ∵F是中点 ∵Rt中，F是中点     延长，作于Q点 ∴      综上，的长为或 （3） ①如图，F点在上方时 ∵为等边三角形 由①知是等腰直角三角形 延长，作于Q点 则 设则 由 得 解得（舍去）     ②①如图，F点在下方时 ∵为等边三角形 ∵是等腰直角三角形 过P点作于Q点 则 设，则 在Rt中 解得（舍去）， 综上，的长为或 【点睛】本题综合性较强，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的画出图形，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 注意分类讨论，不要漏解． 题型十一 正方形的证明--折叠问题 46．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，已知正方形的边长是2，点P沿运动，到达点D停止． (1)连接，设点运动的距离为x，请用x表示的面积y（直接写出结果）； (2)作于点E． ①如图2，点P在线段上，将沿翻折得到，连接，求的度数； ②连接，若是等腰三角形，则 直接写出结果． 【答案】(1) (2)①；②或或 【分析】（1）分三种情况：点P分别在边上，根据三角形面积公式可得：y与x的关系式子； （2）①如图4，过A作于F，交于G，根据，得，可得；②分三种情况：E与A重合时，；P与C重合时，为对角线的一半，；当时，如图6，根据等腰三角形的性质和三角形全等可得的长，从而得的长． 【详解】（1）解：分三种情况：①当点P在边上时，如图1，， ； ②当点P在边上时，如图2，， ， ③当点P在边上时，如图3，， ；即； 综上：； （2）解：①如图4，过A作于F，交于G， 由折叠得：， ∵四边形是正方形， ， ， ，即， ， ； ②当P在边上时，如图1，此时E与A重合， ， 当P在边上时，如图5，当时， 过E作于F，交于G，则，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ，此时P与C重合； 当点P在边上，如图6，时， 过C作于Q，则， 设，则， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ； 综上所述，的长是2或或． 故答案为：2或或． 【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积及动点问题．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 47．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）数学课上，老师出示问题：如图1，将边长为12的正方形纸片折叠，使顶点A落在边上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点G． (1)观察操作结果，在图1中找到一个与相似的三角形，并证明你的结论； (2)若，求的长； (3)将正方形换成正三角形，如图2，将边长为12的正三角形纸片折叠，使顶点A落在边上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为，当点P在边的什么位置时，与面积的比是，请写出求解过程． 【答案】(1)（答案不唯一），理由见解析 (2) (3)，过程见解析 【分析】（1）根据已知条件得出，根据两角相等的判定定理证明即可． （2）根据其折叠性质得出，由，得出，设，根据勾股定理列出方程，求出的值，由可求出即可． （3）证明可得，根据与面积的比是，则，利用相似三角形的性质和方程思想，可求出点P的位置． 【详解】（1）解：（答案不唯一）． 证明：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠知：， ∴， ∴， ∴． （2）根据折叠的性质，得， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）由折叠知：， ∵是正三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与面积的比是， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴当时和面积的比为． 【点睛】本题考查了图形折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质及相似三角形判定与性质等知识，用方程的思想是解决本题的关键． 48．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的等腰直角三角形纸片，表示为和，其中，将和按图2所示方式摆放（点C，B，E三点共线），其中点B与点D重合（标记为点B）．连接，取的中点M，过点F作交的延长线于点N． (1)试判断的形状，直接写出答案． (2)深入探究：杨老师将图2中的绕点B顺时针方向旋转，当点C，B，E三点不在一条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题． ①“洞察小组”提出问题是（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请你证明，若不成立；请你写出新的结论，并证明； ②“思辨小组”提出问题是：若正方形的边长是4，把图2中的绕点B顺时针方向旋转一周，当点C，B，F三点共线时，请你直接写出的面积． 【答案】(1)是等腰直角三角形 (2)①成立，理由见解析；② 【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形性质可证得，推出，即可证得结论； （2）①延长相较于点H，设与相较于点O，可证得，得出，再证得，可得，即可推出是等腰直角三角形； ②分两种情况：当点F在的延长线上时，当点F在的延长线上时，分别运用等腰直角三角形性质和勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）是等腰直角三角形 如图，和按是等腰直角三角形， ∴， ， ∵点C，B，E三点不在一条直线上，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形． （2）解：①成立，即是等腰直角三角形，理由如下： 如图：延长相较于点H，设与相较于点O， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴；                                又∵， ∴ ∴， ∵和是腰长相等的等腰直角三角形， ∴，且 ∵， ∴， ∴． ∵是和的外角 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形； ②当点F在的延长线上时，过点E作于K，如图，    ∵正方形的边长是4， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由①知是等腰直角三角形， ∴； 当点F在的延长线上时，过点E作于G，如图，    则，， 由①知是等腰直角三角形， ∴； 综上所述，当点C，B，F三点共线时，的面积为或． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等，正确添加辅助线是解题关键． 题型十二 平行四边形与坐标系 49．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）如图，在直角坐标系内，已知点，；    (1)请你作出点B关于原点对称的点D；点A关于y轴对称的点C，并写出C点D点的坐标； (2)顺次连接点A，B，C，D，猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)四边形是矩形，理由见详解. 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于y轴对称和关于原点对称的点的坐标的特征及矩形的判定方法． （1）根据“平面直角坐标系中关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数”写出C、D两点的坐标即可. （2）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可得四边形是矩形． 熟练掌握平面直角坐标系中关于y轴对称和关于原点对称的点的坐标的特征及矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）如图，点D即为所作．    ∵C点与 关于y轴对称， ∴C点的坐标为． ∵D点与关于原点对称， ∴D点的坐标为． （2）四边形是矩形，理由如下； 连接， ∵，， ． ， . ∵D点与B点关于原点对称， ， ∴四边形是平行四边形. 又∵， ∴四边形是矩形． 50．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的边在x轴上，在y轴上，线段，的长分别是方程的两个根（）．    (1)请求出点B的坐标； (2)已知P为上一点，将翻折，使点O落在上的点Q处，记，，求的值； (3)在（2）的条件下，M为y轴上一点，在平面内存在点N，使以C，Q，M，N为顶点四边形为矩形？请写出点N的坐标__________． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标为或 【分析】（1）先利用因式分解法解方程可得到，，则可得出答案； （2）根据勾股定理求出，则证明，可得，从而可得，的值，相加可得出答案； （3）根据点M在y轴上，画出符合条件的矩形，根据全等三角形的性质及相似三角形性质、勾股定理即可分别求出点N的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴； （2）解：如图1：    ∵四边形为矩形， ∴，， ∵将翻折，使点O落在上的点Q处， ∴， ∴，， ∵将翻折，使点O落在上的点Q处，可得， ∴， 而， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴ （3）解：①点M在y轴的正半轴上，四边形是矩形，此时，点M和点P重合，过N作轴于E，如图2：    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴, ∴点N的坐标为； ②点M在y轴的负半轴上，四边形是矩形，过点作轴于F，如图3：    ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， 则点向左平移3个单位，向上平移4个单位得点， ∴向左平移3个单位，向上平移4个单位得点， 所以点N的坐标为， 综合以上可得，存在点N，使以O，Q，M，N为顶点四边形为矩形，点N的坐标为或 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的性质；理解坐标与图形性质，熟练掌握矩形的性质与判定是解题的关键． 51．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，、分别是线段、上的两个动点，点从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时从出发，以每秒个单位的速度向终点运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为秒．点为的中点，连接、、．    (1)求点的坐标及的长度； (2)当的面积为时，求点的坐标； (3)如图分别以、为邻边作，是否存在时间，使得坐标轴刚好将的面积分为的两个部分，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，； (3)存在，，． 【分析】（）首先确定点坐标及长度，利用勾股定理求出 ； （）判断出，得出比例式，表示出点坐标，利用面积公式列方程解答； （3）分两种情况，利用同高的两三角形的面积的比等于底的比，求解得出结论； 此题是一次函数综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，平行四边形的性质，求出点的坐标是解题的关键. 【详解】（1）令，则， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由运动知，，，如图，过点作轴于，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∴， ， ， ∵的面积为， ∴， 解得，， 当时，， 当时，， ∴或； （3）连接，，由运动知，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分， 设，由（）知，， ∴，， ∴，， ∴， 当轴将的面积分为的两个部分时，如图，    ∵是的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴过点作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当轴将的面积分为的两个部分时，如图，    过点作轴于，同的方法得，， 即：坐标轴刚好将的面积分为的两个部分时， 秒或秒． 52．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，在边，上运动，连接，当点P到达A点时，运动停止． （1）求证：在运动过程中，四边形是平行四边形． （2）如图2，在运动过程中，是否存在四边形是菱形的情况？若存在，求出此时直线的解析式；若不存在，请说明理由． （3）如图3，在（2）的情况下，直线上是否存在一点D，使得是直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，；（3）存在，或． 【分析】（1）说明出后，再利用矩形的性质得到，即可完成求证； （2）先设，依次表示各点坐标与相应线段长，再利用菱形的判定，令一组邻边相等建立关于x的方程，解方程后，则各点坐标得以确定，然后利用待定系数法即可求出直线PQ的解析式； （3）先设出D点坐标，再分别表示出、、，利用勾股定理的逆定理分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）证：∵点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）存在； 理由：∵矩形且点B的坐标为， ∴，； 设 ∴， ∴， 当四边形是菱形时， 则， ∴， 解得：， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：； ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； （3）由（2）知， 设， ∴， ， 当时，，解得：， 此时， ∴，此时点与点重合，不合题意，故舍去； 当时，，解得：，（舍去）， 此时，， ∴； 当时，，解得：， 此时，， ∴； 综上可得：或． 【点睛】本题综合考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理及其逆定理等内容，同时涉及到了解一元二次方程等知识，本题综合性较强，要求学生具备一定的综合分析能力和计算能力，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等． 题型十三 阅读理解题型 53．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图①中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： （1）图③中_______（保留根号）； （2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由； （3）请直接写出图④中所有的黄金矩形． 【答案】（1）；（2）四边形的形状是菱形，理由见解析．（3）图④中所有的黄金矩形是四边形、四边形． 【分析】（1）本题考查折叠的性质、正方形性质和勾股定理，利用正方形的性质得出线段和，再由折叠的性质求得线段，最后利用勾股定理即可解题． （2）本题考查菱形的判定，利用矩形对边平行和折叠的性质，证明四边形为平行四边形，再结合邻边相等的平行四边形是菱形，即可解题． （3）本题根据题干的定义，宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，即可解题． 【详解】（1）解：连接，如图③， 由题知四边形为正方形，且， ，， 又两个矩形相等， ， ． （2）解：四边形的形状是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，，又图为矩形纸片， ，则， ， ， 四边形为菱形. （3）解：图④中所有的黄金矩形是四边形、四边形． 理由如下： ，，， ，则，故四边形为黄金矩形， 又，故四边形为黄金矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$