专题04 一元二次方程应用（12题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题04 一元二次方程应用 题型一 一元二次方程与概率 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有完全一样的小球，其中甲口袋中的4个小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的3个小球分别标有数字2，3，4，小明先从甲袋中随意摸出一个小球，记下数字为x，再从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字为y． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)若x，y都是方程的解时，则小明获胜；若x，y都不是方程的解时，则小刚获胜，它们谁获胜的概率大？请说明理由． 题型二 日历中的数学 2．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 题型三 一元一次方程与立体图形 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒． 若要制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，求的值． 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）有一块长、宽的矩形铁皮．    (1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长； (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 题型四 求小路的面积 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，要在米宽，米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？ 6．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建2条同样宽的小路和一个底部为正方形凉亭（图中阴影部分），正方形的宽为小路宽的2倍，剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽度． 题型五 围墙问题与方程 7．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图1，李家村一废弃的场院里几间旧房和一段50m的院墙，李大叔提议再利用仓库中的栅栏，就可以修建一个矩形的小型养鸡场．现在仓库中有总长为80m的栅栏． (1)当长度是多少时，养鸡场的面积为； (2)李大叔发现（1）中的设计没有考虑出入养鸡场的小门，若在边上设计两个，在，边上各设计一个1m宽的小门（用其它材料制作），如图2所示，判断可否围成面积为的养鸡场，说明理由． 8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段（最长可用），用长的篱笆，围成一个矩形菜园． （1）当AB长度为多少时，矩形菜园的面积为？ （2）能否围成面积为的矩形菜园？为什么？ 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？    10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长）（篱笆只围，两边）．若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出的值；若不能，请说明理由．    题型六 动点问题与方程 11．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点分别从点同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为． (1)填空：____________，____________（用含的代数式表示）． (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 12．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿． 边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 13．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点Q从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，    (1)如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？试说明理由． 14．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.    (1)如果，分别从，同时出发，那么几秒后，与平行？ (2)面积能否等于？请说明理由. 题型七 小分支问题 15．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出多少小分支？ 题型八 传播问题 16．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 题型九 单循环问题 17．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示： （1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______． （2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为________，当时，对应的________． （3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？ 题型十 增长率问题 18．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件． (1)求该快递点这三天揽件日平均增长率． (2)按这个增长率计算，第四天揽件数约为________(取整数)， (3)按你的生活经验判断，这个快递点的揽件量能否始终按这个日均增长率增长________(填“能”或“不能”)． 19．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）现今网购已经成为消费的新常态，某快递公司今年8月份的投递快递总件数为10万件，由于改进分拣技术，增加投递业务人员，10月份的投递快递总件数达到12.1万件，假设该公司每个月的投递快递总件数平均增长率相同． (1)求该公司的投递快递总件数月平均增长率； (2)如果继续保持上面的月平均增长率，平均每个业务员每月最多可投递快递0.7万件，那么20名投递业务员能否完成今年11月份的快递投递任务？说明理由． 20．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）为学习贯彻党的“二十大精神”，全国各地积极开展“弘扬红色文化”主题教育学习活动，某市文史研究馆成为了本次学习的重要基地.2023年1月份，该文史馆接待参观人员10万人，3月份接待参观人员增加到万人． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计4月份的参观人员有多少万人？ 21．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）今年6月16日晚，辽宁省第十四届运动会开幕式在抚顺市国家3A级风景区月牙岛生态公园举行，创造了绝美的抚顺精彩，留下了深刻的抚顺记忆．很多健步走爱好者把月牙岛生态公园作为他们新的运动打卡地．他们利用手机的“微信运动”来记录每天在月牙岛生态公园运动步数，数学杨老师第一天利用“微信运动”跟随动感音乐记录了自己在月牙岛走了10000步，假设平均每步长是米，他第二天通过增加步数和提高平均步长的方式增加运动量，第二天走了6600米，其中运动步数的增长率是平均步长增长率的2倍，请你帮助计算一下杨老师平均步长的增长率是多少？ 题型十一 每每问题 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利50元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于30元，经调查发现，若每件衬衫每降价5元、则商场每天可多销售10件、若商场平均每天盈利1600元，则每件衬衫应降价多少元？ 23．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行，某商场在销售亚运会吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利40元时，则每天可售出20套．为了喜迎亚运会，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果销售单价每降价1元，该商店平均每天将多销售2套． (1)当每套徽章盈利38元时，每天可多销售多少套？ (2)商场为了尽快减少库存，每套吉祥物徽章降价多少元时，该商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到1200元？ 24．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）“杭州亚运•三人制篮球”赛将于月－月日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服．月份平均每天售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，求平均每天的销售数量； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？ 25．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件， (1)若该商场希望该商品每月能盈利11050元，且为了尽快减少库存，则该商品调整后的售价为多少元？ (2)按照此种降价促销方式，该商品月盈利能否达到12500元？_______（填“能”或者“不能”） 26．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某服装销售商用元购进了一批时尚新款服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了元． (1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？ (2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件元销售，每天平均能卖出件，销售价每降低元，则多卖出件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为元，销售价应为多少？ 27．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． (1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ (2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 28．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）惠民生鲜超市出售一种进价为20元/千克的水果，如果按每千克40元销售，每天可卖出20千克．通过市场调查发现，如果该种水果售价每千克降低1元，日销售量将增加2千克． (1)若销售这种水果的日利润保持不变，该种水果每千克售价可降低多少元？ (2)通过降低售价的方法，销售这种水果的日利润能达到460元吗？如果能，请求出售价应该降低多少元；如果不能，请说明理由． 29．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某景区5月份的游客人数比4月份增加60％，6月份的游客人数比5月份减少了10%． (1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数／万人 a (2)求该景区5、6月这两个月份游客人数的月平均增长率； (3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 30．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某专卖店在销售中发现一款套装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店为扩大销售量，增加利润，决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件套装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)每件套装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ (2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 31．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 32．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？ 33．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： (1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的产能将减少20万个/季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下(生产线越多，投入成本越大)，应该再增加几条生产线？ 34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某景区六月份的游客人数为50万人，七、八两月游客人数持续增加，八月份的人数达到万． (1)求该景区七、八月游客人数的月平均增长率； (2)景区内某商店销售一种纪念品，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售价定为每件40元，那么日销售量将达到件．八月份库存不足的情况下，店主提价销售，若销售价每提高5元，日销售量将减少10件．要使每天销售这种纪念品盈利元，同时又利于游客，那么该纪念品的销售价应定为多少元？ 35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某电子器件厂生产一种电脑显卡，2021年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2022年，2023年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2023年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件． (1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率． (2)2023年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了尽快减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？ 36．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件． (1)若每件服装降3元，则每天能卖出__________件，每件服装的利润是__________元． (2)如果每天要盈利800元，每件服装应降价多少元？ 37．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，销售单价为元时，每月的销售量为件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出件，且要求销售单价不得低于成本． (1)当销售单价为元时，每月的销售量为___________件． (2)若使该商品每月的销售利润为元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 38．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若设降价元，降价后的销售量为件，请写出与的函数关系式． (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 题型十二 一次函数与每每问题 39．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）我市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种水果，计划以每千克60元的价格销售，现决定降价销售，当降价不大于4元时，水果销售量y（千克）与每千克降价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)y与x之间的函数关系式为______，自变量x的取值范围是______； (2)商贸公司要想获利2210元，求这种水果每千克应降价多少元？ 40．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）“直播带货”已经成为商家的一种新型促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示：    (1)设小亮每天的销售利润（快递费用等不考虑）为w元，求w与x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）． (2)若小亮每天想获得的销售利润w为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 41．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某商店销售一种销售成本为每千克30元的水产品，据市场分析，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克45元时，计算月销售量和月销售利润； （2）设销售单价定为每千克x元（），月销售量为y千克，求y与x的关系式； （3）该商店想在月销售成本不超过10000的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 42．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）某商店销售某种工艺品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x与月销售量y的部分对应值如表： 售价x/（元/件） 30 45 50 月销售是y/件 300 150 100 (1)求y关于x的函数表达式． (2)若该商品的进价为20元，当售价是多少元时，月销售利润可以达到4000元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次方程应用 题型一 一元二次方程与概率 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有完全一样的小球，其中甲口袋中的4个小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的3个小球分别标有数字2，3，4，小明先从甲袋中随意摸出一个小球，记下数字为x，再从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字为y． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)若x，y都是方程的解时，则小明获胜；若x，y都不是方程的解时，则小刚获胜，它们谁获胜的概率大？请说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)小明获胜的概率大；理由见解析． 【分析】（1）列表或画树状图把所有情况表示出来； （2）首先解出方程的解，再根据表格或树状图找出符合的情况，最后比较一下得出概率大小． 【详解】（1）解：所有可能出现的结果列表如下： 2 3 4 1 2 3 4 由表可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同． （2）∵方程的两个根分别为2或3， ∴由表格可知，x，y都是方程的解有，，，共4种，都不是方程的解有，两种， ∴P小明胜，P小刚胜， ∴小明获胜的概率大． 【点睛】本题考查用表格或树状图表示事件发生的情况和解一元二次方程的解．准确且不重复不遗漏的画出树状图是解题的关键． 题型二 日历中的数学 2．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 【答案】这个最小数为5 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为x，则最大数为，根据题意， 得． 解得或（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 题型三 一元一次方程与立体图形 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒． 若要制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽，再根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的结果即可解答． 【详解】解：∵长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形， ∴无盖纸盒的长为，宽为； ∵制成一个底面积是的无盖长方体纸盒， ∴，整理得： ，解得： （舍去）． 答：x的值为1． 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）有一块长、宽的矩形铁皮．    (1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长； (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】（1）设截去的小正方形的边长为，则长方体盒子的底的长为，宽为．根据题意列出方程就可以求出其解． （2）设左边的小正方形的边长为，根据其底面积为180列出方程，若有解即可能剪裁，否则不能． 【详解】（1）设小正方形的边长为．得： ， 解得：（舍去），． 答：裁去的正方形的边长为2． （2）能； 设小正方形的边长为．得： ， 解得：（舍去），． 体积为 【点睛】本题是一道几何图形问题，考查了利用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用．在解答中注意要检验方程的根是否使实际问题有意义．这是在解答时学生容易忽略的问题． 题型四 求小路的面积 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，要在米宽，米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？ 【答案】1米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设道路应修宽，根据花田面积为，建立方程，解方程结合题意取舍的值，即可求解． 【详解】解：设道路应修宽，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：道路应修宽． 6．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建2条同样宽的小路和一个底部为正方形凉亭（图中阴影部分），正方形的宽为小路宽的2倍，剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽度． 【答案】1米 【分析】设道路的宽度为x米，根据空白部分面积可以看作一个长为，宽为的矩形面积减去一个长为、宽为的面积进行求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为x米， 根据题意可得：，即 解得；，（不符合题意，舍去） 答：道路的宽为1米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 题型五 围墙问题与方程 7．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图1，李家村一废弃的场院里几间旧房和一段50m的院墙，李大叔提议再利用仓库中的栅栏，就可以修建一个矩形的小型养鸡场．现在仓库中有总长为80m的栅栏． (1)当长度是多少时，养鸡场的面积为； (2)李大叔发现（1）中的设计没有考虑出入养鸡场的小门，若在边上设计两个，在，边上各设计一个1m宽的小门（用其它材料制作），如图2所示，判断可否围成面积为的养鸡场，说明理由． 【答案】(1)当长度是20米时，养鸡场的面积为800平方米； (2)不能达到900平米． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用． （1）设长度为米，根据矩形的面积公式可得关于x的方程，解之可得； （2）设边所用栅栏的长度为米，则长度为米，根据矩形的面积公式可得关于x的方程，判断该方程有无实数根即可判断． 【详解】（1）解：设长度为米， 根据题意得，， 解得， 当时，，符合题意， 答：当长度是20米时，养鸡场的面积为800平方米； （2）解：设边所用栅栏的长度为米，则长度为米， 根据题意得，， 整理得， ∵， ∴方程无解， 所以不能达到900平方米． 8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段（最长可用），用长的篱笆，围成一个矩形菜园． （1）当AB长度为多少时，矩形菜园的面积为？ （2）能否围成面积为的矩形菜园？为什么？ 【答案】（1）当长度为时，矩形菜园的面积为；（2）不能围成面积为的菜园，见解析 【分析】（1）设当长度为，根据“矩形菜园的面积为”，列出关于x的方程，即可求解； （2）如果矩形菜园面积为时，列出关于x的一元二次方程，利用判别式，即可得到结论． 【详解】解：（1）设当长度为，矩形菜园的面积为． 则，解得：或 当时，，不符合题意． 舍去 答：当长度为时，矩形菜园的面积为； （2）不能围成，如果矩形菜园面积为时， 则：， ∵，方程没有实数根． ∴不能围成面积为的菜园． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？    【答案】5米． 【分析】设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，根据题意列出一元二次方程，然后解方程结合实际意义即可求出结论． 【详解】解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米， 依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45， 整理，得：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5． 当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去； 当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意． 答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长）（篱笆只围，两边）．若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出的值；若不能，请说明理由．    【答案】不能，见解析 【分析】设的长为x米，则的长为米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：花园的面积不能为625平方米，理由如下： 设的长为x米，则的长为米， 由题意得：， 解得：， 当时，， 即当米，米30米， ∴花园的面积不能为625平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型六 动点问题与方程 11．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点分别从点同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为． (1)填空：____________，____________（用含的代数式表示）． (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，使得的面积为 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键． （1）根据路程速度时间表示出、，再由即可得到答案； （2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，使得的面积为． 12．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿． 边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于； (2)3秒后，的长度为； (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可； （3）设运动时间为秒，则， ，，再由勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过x秒以后，面积为，此时， ， ， 由，得， 整理得：， 解得：或（舍）； 答：1秒后面积为； （2）解：设经过x秒后，的长度等于， 由， 即， 解得：（舍去）或． 则3秒后，的长度为； （3）解：设运动时间为秒，以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q时，则 ， ，， 由勾股定理，得， 整理，得， ∵， ∴方程无实数解， ∴不存在． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 13．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点Q从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，    (1)如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？试说明理由． 【答案】(1)1 (2)不能，见解析 【分析】（1）点Q从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，表示出和的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解． （2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况． 【详解】（1）解：设秒后，的面积等于， 由题意，得：， ∴， ∴的面积， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去， ∴； （2）不能，理由如下： 设秒后，的面积等于， 同（1）得：的面积， 整理，得：， ∵， ∴方程无解， ∴的面积不能等于． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．解题的关键是正确的识图，准确的列出一元二次方程． 14．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.    (1)如果，分别从，同时出发，那么几秒后，与平行？ (2)面积能否等于？请说明理由. 【答案】(1)秒 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设秒后，与平行，根据平行线分线段成比例可得，列方程求解即可； （2）设，分别从，同时出发，运动秒，根据三角形的面积公式列出关于的方程，再根据一元二次方程根与判别式的关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：设秒后，与平行， 则，， ， ， 解得：， 当，分别从，同时出发，秒后，与平行． （2）解：不能，理由如下： 设，分别从，同时出发，运动秒， 则，， ， 整理得：， ， 方程没有实数根， 的面积不能等于． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，一元二次方程根与判别式的关系，三角形的面积，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 题型七 小分支问题 15．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出多少小分支？ 【答案】每支支干长出7个小分支． 【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个,每个小分支又长出x个分支,则又长出x2个分支,则共有x2+x+1个分支,即可列方程求得x的值． 【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：x2+x+1=57， 解得：x=7或x=﹣8（不合题意，应舍去）， ∴x=7 答：每支支干长出7个小分支． 题型八 传播问题 16．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有台被感染，第二轮后共有即台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过1轮后有 台被染上病毒，2轮后就有 台被感染病毒，依题意，得 ， 解得 ，（舍去）． 所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑． 由此规律，经过3轮后，有台电脑被感染． 由于 ， 所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 【点睛】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 题型九 单循环问题 17．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示： （1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______． （2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为________，当时，对应的________． （3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？ 【答案】（1）10，15；（2），1128；（3）20 【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值； （2）根据y值随x值的变化，可找出，再代入可求出当时对应的y值； （3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15． 故答案为：10；15． （2）∵， ∴， 当时，． 故答案为：；1128． （3）依题意，得：， 化简，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该班共有20名女生． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键． 题型十 增长率问题 18．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件． (1)求该快递点这三天揽件日平均增长率． (2)按这个增长率计算，第四天揽件数约为________(取整数)， (3)按你的生活经验判断，这个快递点的揽件量能否始终按这个日均增长率增长________(填“能”或“不能”)． 【答案】(1) (2) (3)不能 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设该快递点这三天揽件日平均增长率为利用第三天的揽件数第一天的揽件数该快递点这三天揽件日平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用第四天揽件数第三天的揽件数该快递点这三天揽件日平均增长率，可求出第四天揽件数，取其整数值，即可得出结论； （3）由小区居民数变化不大，可得出这个快递点的揽件量不能始终按这个日均增长率增长． 【详解】（1）解：设该快递点这三天揽件日平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该快递点这三天揽件日平均增长率为； （2）解：根据题意得：（件）． 按这个增长率计算，第四天揽件数约为件． 故答案为：； （3）根据实际情况可得：这个快递点的揽件量不能始终按这个日均增长率增长． 故答案为：不能． 19．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）现今网购已经成为消费的新常态，某快递公司今年8月份的投递快递总件数为10万件，由于改进分拣技术，增加投递业务人员，10月份的投递快递总件数达到12.1万件，假设该公司每个月的投递快递总件数平均增长率相同． (1)求该公司的投递快递总件数月平均增长率； (2)如果继续保持上面的月平均增长率，平均每个业务员每月最多可投递快递0.7万件，那么20名投递业务员能否完成今年11月份的快递投递任务？说明理由． 【答案】(1)该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 (2)能完成任务，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设该公司投递快递总件数的月平均增长率为，根据8月份的投递快递总件数为10万，10月份的投递快递总件数达到12.1万件，列出方程进行求解即可； （2）根据增长率求出11月份的投递量，再求出20个投递业务员的投递量，进行比较即可． 【详解】（1）解：设该公司投递快递总件数的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为． （2）该公司现有的20名投递业务员能完成今年11月份的快递投递任务．理由如下： 11月份的快递投递总件数：（万件）， ∵（万件），， ∴该公司现有的20名投递业务员能完成今年11月份的快递投递任务． 20．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）为学习贯彻党的“二十大精神”，全国各地积极开展“弘扬红色文化”主题教育学习活动，某市文史研究馆成为了本次学习的重要基地.2023年1月份，该文史馆接待参观人员10万人，3月份接待参观人员增加到万人． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计4月份的参观人员有多少万人？ 【答案】(1)这两个月参观人数的月平均增长率为 (2)预计4月份的参观人员有万人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程． （1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据文史馆1月份接待参观人员10万人，3月份接待参观人员增加到万人，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意得： ， 解得，（不合题意，舍去） 答：这两个月参观人数的月平均增长率为10% （2）解：（万人） 答：预计4月份的参观人员有万人． 21．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）今年6月16日晚，辽宁省第十四届运动会开幕式在抚顺市国家3A级风景区月牙岛生态公园举行，创造了绝美的抚顺精彩，留下了深刻的抚顺记忆．很多健步走爱好者把月牙岛生态公园作为他们新的运动打卡地．他们利用手机的“微信运动”来记录每天在月牙岛生态公园运动步数，数学杨老师第一天利用“微信运动”跟随动感音乐记录了自己在月牙岛走了10000步，假设平均每步长是米，他第二天通过增加步数和提高平均步长的方式增加运动量，第二天走了6600米，其中运动步数的增长率是平均步长增长率的2倍，请你帮助计算一下杨老师平均步长的增长率是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设杨老师平均步长增长的百分率为，根据等量关系，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设杨老师平均步长增长的百分率为， 则， 解得，（不合题意，舍去）. 答：杨老师平均步长增长的百分率是． 题型十一 每每问题 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利50元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于30元，经调查发现，若每件衬衫每降价5元、则商场每天可多销售10件、若商场平均每天盈利1600元，则每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件衬衫降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用商场销售这种衬衫每天获得的利润每件的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要求每件盈利不少于30元，即可确定结论． 【详解】解：设每件衬衫应降价x元，则 ， 解得，， 盈利为（元）或（元） ∵要求每件盈利不少于30元， ∴不合题意，舍去， 答：每件衬衫应降价10元． 23．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行，某商场在销售亚运会吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利40元时，则每天可售出20套．为了喜迎亚运会，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果销售单价每降价1元，该商店平均每天将多销售2套． (1)当每套徽章盈利38元时，每天可多销售多少套？ (2)商场为了尽快减少库存，每套吉祥物徽章降价多少元时，该商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到1200元？ 【答案】(1)当每套徽章盈利38元时，每天可多销售4套 (2)每套徽章降价20元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和算式是解题的关键． （1）用降价的钱数乘以2即可得到答案； （2）根据利润单件利润销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：（套） 答：当每套徽章盈利38元时，每天可多销售4套． （2）解：设每套吉祥物徽章降价x元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元， 根据题意得：， 整理得：， 解得，， 题目要求尽快减少库存， （舍去）， ， 答：每套徽章降价20元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元． 24．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）“杭州亚运•三人制篮球”赛将于月－月日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服．月份平均每天售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，求平均每天的销售数量； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？ 【答案】(1)件 (2)元或元 【分析】（1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可得出结论； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：平均每天的销售数量为：（件）， 答：平均每天的销售数量件； （2）设每件商品降价元， 根据题意，得：， 解得：，， 答：当每件商品降价元或元时，该商店每天销售利润为元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件， (1)若该商场希望该商品每月能盈利11050元，且为了尽快减少库存，则该商品调整后的售价为多少元？ (2)按照此种降价促销方式，该商品月盈利能否达到12500元？_______（填“能”或者“不能”） 【答案】(1)该商品调整后的售价为33元 (2)不能 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该商品每件降价元，则该商品调整后的售价为元，每件的销售利润为元，每月可售出件，根据总利润单件利润月销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该商品每件降价元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，根据总利润单件利润月销售量，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商品每件降价元，则该商品调整后的售价为元，每件的销售利润为元，每月可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：该商品调整后的售价为33元； （2）解：设该商品每件降价元，则每件的销售利润为元，每月可售出件， 依题意得：， 整理得：， △， ∴此方程无实数根， ∴该商品月盈利不能达到12500元． 故答案为：不能 26．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某服装销售商用元购进了一批时尚新款服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了元． (1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？ (2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件元销售，每天平均能卖出件，销售价每降低元，则多卖出件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为元，销售价应为多少？ 【答案】(1)第一次购进了这种服装100件，每件进价240元 (2)销售价定为270元/件 【分析】（1）设每件进价x元，根据第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了元，列出方程，解出方程即可； （2）设销售价为m元/件，根据使一天的利润恰好为元，列出方程，解出方程即可． 【详解】（1）解：设第一次购进了这种服装x件，由题意可得： ， 解得， 经检验：是所列方程的解，并符合题意， 则， 答：第一次购进了这种服装件，每件进价元； （2）解：设销售价为m元/件， 则每天销售量为：（件）， （元）， 则由题意可得：， 整理，得， 解得：，， 让利促销， （舍去），取， 答：销售价定为元/件． 【点睛】本题考查一元二次方程和分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 27．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． (1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ (2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 【答案】(1)A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个 (2)最多可购进A型玩具25个 【分析】（1）设型玩具的单价为元/件．依题意列出分式方程，进行求解； （2）根据题意列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）设型玩具的单价为元/件． 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解 B型玩具的单价为元/个 ∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个． （2）设购进A型玩具个． 解得： ∴最多可购进A型玩具25个． 【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程或不等式． 28．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）惠民生鲜超市出售一种进价为20元/千克的水果，如果按每千克40元销售，每天可卖出20千克．通过市场调查发现，如果该种水果售价每千克降低1元，日销售量将增加2千克． (1)若销售这种水果的日利润保持不变，该种水果每千克售价可降低多少元？ (2)通过降低售价的方法，销售这种水果的日利润能达到460元吗？如果能，请求出售价应该降低多少元；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每千克水果售价可降低10元 (2)不能，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每千克水果售价降低元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每千克水果售价降低元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，可得：，方程的，问题得解． 【详解】（1）解：设每千克水果售价降低元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，降价前的日利润为：（元）， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：若日利润保持不变，每千克水果售价可降低10元． （2）解：设每千克水果售价降低元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克， 根据题意得：， 整理得：， 方程的， 方程无实数解， 故销售这种水果的日利润不能达到460元． 29．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某景区5月份的游客人数比4月份增加60％，6月份的游客人数比5月份减少了10%． (1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数／万人 a (2)求该景区5、6月这两个月份游客人数的月平均增长率； (3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)， (2)20% (3)每件售价应定为50元 【分析】（1）先根据增长的情况，计算出五月份的人数，再计算出六月份的人数即可； （2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为，根据四月份人数和六月份的人数列出方程求解即可； （3）设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，根据利润不变列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵该景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了，且该景区4月份的游客人数为万人， ∴该景区5月份的游客人数为万人， ∴6月份的游客人数为万人． ∴五月的人数为万人，六月的人数为万人； （2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为； （3）设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：每件售价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 30．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某专卖店在销售中发现一款套装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店为扩大销售量，增加利润，决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件套装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)每件套装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ (2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】(1)20元或10元 (2)不可能，理由见解析 【分析】（1）设每件童装降价x元，则销售量为件，每件利润为元，根据总利润=每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设每件童装降价元，则销售量为件，每件利润为元，根据总利润=每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式可得出原方程无解，进而即可得出不可能每天盈利2000元． 【详解】（1）解：设每件套装降价元，则每件利润为元． 依题意可得： ， 解得，， 答：每件套装降价20元或10元时，平均每天盈利1200元． （2）解：不能， 理由：设每件套装降价元，则每件利润为元． 依题意可得： 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴不可能做到平均每天盈利2000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 31．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 32．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？ 【答案】共有35名同学参加了研学游活动． 【分析】由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可． 【详解】解：∵100×30=3000＜3150， ∴该班参加研学游活动的学生数超过30人． 设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x﹣30）]=3150， 整理得x2﹣80x+1575=0， 解得x1=35，x2=45， 当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意． 当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动． 33．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： (1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的产能将减少20万个/季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下(生产线越多，投入成本越大)，应该再增加几条生产线？ 【答案】(1) (2)4条 【分析】(1)设求前三季度生产量的平均增长率为x， 根据第一季度生产200万个，第三季度生产288万个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； (2)设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，利用总产量=每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m的值． 【详解】（1）解：设求前三季度生产量的平均增长率为x， 依题意得：， 解得： (不合题意，舍去)． 答：前三季度生产量的平均增长率； （2）解：设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵在增加产能同时又要节省投入， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某景区六月份的游客人数为50万人，七、八两月游客人数持续增加，八月份的人数达到万． (1)求该景区七、八月游客人数的月平均增长率； (2)景区内某商店销售一种纪念品，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售价定为每件40元，那么日销售量将达到件．八月份库存不足的情况下，店主提价销售，若销售价每提高5元，日销售量将减少10件．要使每天销售这种纪念品盈利元，同时又利于游客，那么该纪念品的销售价应定为多少元？ 【答案】(1)该景区七、八月游客人数的月平均增长率为 (2)该纪念品的销售价应定为元 【分析】（1）设该景区七、八月游客人数的月平均增长率为x，根据“六月份的游客人数为50万人，七、八两月游客人数持续增加，八月份的人数达到万”列出方程，解方程即可得到答案； （2）设该纪念品的销售价应定为y元，根据每天销售这种纪念品盈利元列出方程，解方程即可得到答案． 此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该景区七、八月游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该景区七、八月游客人数的月平均增长率为. （2）设该纪念品的销售价应定为y元， 根据题意得：， 解得：， ∵利于游客， ∴， 答：该纪念品的销售价应定为元． 35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某电子器件厂生产一种电脑显卡，2021年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2022年，2023年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2023年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件． (1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率． (2)2023年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了尽快减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？ 【答案】(1)平均下降率为 (2)单价应降低15元 【分析】（1）设平均下降率为，依题意得：，求解即可； （2）设单价应降低元，根据每个的销售利润×每天可售出数量得总利润列方程求解． 【详解】（1）解：设平均下降率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：平均下降率为； （2）设单价应降低元， 则每个的销售利润为元，每天可售出个， 依题意得：， 解得：，， ∵为了减少库存，∴， 答：单价应降低15元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解增长率问题及销售问题的关系列得方程是解题的关键． 36．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件． (1)若每件服装降3元，则每天能卖出__________件，每件服装的利润是__________元． (2)如果每天要盈利800元，每件服装应降价多少元？ 【答案】(1) (2)每件服装应降价元，每天能盈利800元 【分析】（1）根据“每件降价1元，则每天可多售5件”即可求解； （2）设每件服装应降价元，每天能盈利800元．根据题意建立一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：∵每件降价1元，则每天可多售5件， ∴每件服装降3元，则每天可多售件，即每天能卖出件， 每件服装的利润是为：元， 故答案为：； （2）解：设每件服装应降价元，每天能盈利800元， 则：， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴， 故：每件服装应降价元，每天能盈利800元． 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题．正确理解题意是解题关键． 37．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，销售单价为元时，每月的销售量为件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出件，且要求销售单价不得低于成本． (1)当销售单价为元时，每月的销售量为___________件． (2)若使该商品每月的销售利润为元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)销售单价应定为元； 【分析】（1）根据活动表示出单价数量之间关系，代入求解即可得到答案； （2）设售价为x元，根据利润列方程求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 当销售单价为元时， 销售量为：（件）， 故答案为：； （2）解：设售价为x元，由题意可， ， 解得：，， ∵使顾客获得更多的实惠， ∴， 答：销售单价应定为元； 【点睛】本题考查一元二次方程解决销售利润问题，解题的关键是找到等量关系式． 38．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若设降价元，降价后的销售量为件，请写出与的函数关系式． (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】(1) (2)10 【分析】（1） 由销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式； （2）根据利润等于单件商品利润乘以销售量，列一元二次方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）依题意得： ∴y与x的函数关系式为：； （2）设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为1200元 依题意得： 整理得： 即 解得， ∵每件盈利不少于25元 ∴ 解得： ∴ 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数解析式，解题的关键是根据题意列出方程． 题型十二 一次函数与每每问题 39．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）我市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种水果，计划以每千克60元的价格销售，现决定降价销售，当降价不大于4元时，水果销售量y（千克）与每千克降价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)y与x之间的函数关系式为______，自变量x的取值范围是______； (2)商贸公司要想获利2210元，求这种水果每千克应降价多少元？ 【答案】(1)， (2)这种水果每千克应降价3元或7元 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，根据题意找出等量关系，正确列出方程，是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，将代入，求出k和b的值即可； （2）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为， ∵，， ∴， 故答案为：，； （2）解：根据题意可得： ， 整理得：， 解得：， 答：这种水果每千克应降价3元或7元． 40．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）“直播带货”已经成为商家的一种新型促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示：    (1)设小亮每天的销售利润（快递费用等不考虑）为w元，求w与x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）． (2)若小亮每天想获得的销售利润w为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 【答案】(1) (2)17元 【分析】（1）设，根据图象求出y关于x的解析式，再利用销售利润和销售单价的关系列出w关于x的解析式； （2）令，求出x值，再根据减少库存的需求，即可得出x的值． 【详解】（1）解：设， 由图，将，代入， 得：，解得：， ∴， ∴； （2）令， 得：， 解得：，， 在中，y随x的增大而减小， 即单价越低，销量越高，而销量越高，越有利于减少库存， ∴， ∴应将销售单价定为17元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是解答本题的关键． 41．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某商店销售一种销售成本为每千克30元的水产品，据市场分析，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克45元时，计算月销售量和月销售利润； （2）设销售单价定为每千克x元（），月销售量为y千克，求y与x的关系式； （3）该商店想在月销售成本不超过10000的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 【答案】（1）450；6750；（2）y=-10x+900；（3）70元 【分析】（1）根据月销售量为=500-（销售单价-40）×10，即可得出结论，再根据月销售利润=销售每千克的利润×销售数量，代入数据即可得出结论； （2）根据月销售量=500-10×（销售单价-40），即可得出y与x之间的函数关系式； （3）先由月销售成本不超过10000元，得出月销售量不超过10000÷30=千克．再根据月销售利润达到8000元列出方程，进而求解即可． 【详解】解：（1）当销售单价定为每千克45元时，月销售量为500-（45-40）×10=450（千克）， 月销售利润为（45-30）×450=6750（元）． 故答案为：450；6750； （2）根据题意得：y=500-（x-40）×10=-10x+900； （3）由于月销售成本不超过10000元， 所以月销售量不超过10000÷30=千克． 根据题意得：（x-30）（-10x+900）=8000， 解得：x1=50，x2=70． 当x1=50时，-10×50+900=400＞，舍去； 当x2=70时，-10×70+900=200＜，符合题意． 故销售单价定为70元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 42．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）某商店销售某种工艺品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x与月销售量y的部分对应值如表： 售价x/（元/件） 30 45 50 月销售是y/件 300 150 100 (1)求y关于x的函数表达式． (2)若该商品的进价为20元，当售价是多少元时，月销售利润可以达到4000元？ 【答案】(1) (2)40元 【分析】本题考查了待定系数法，一元二次方程的应用， （1）利用待定系数法计算即可； （2）利用单个商品的利润乘以销售量即可等于总利润，据此可得方程，解方程即可求解． 【详解】（1）设， 将，代入得， ∴， ∴； （2） ∴， ∴， ∴． 答：当售价为40元时，月销售利润可达到4000元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$