第11章 整式的乘除 章节整合练习（2024）（4个知识点+36题练习） -2024-2025学年七年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第11章 整式的乘除 章节整合练习（4个知识点+36题练习） 章节知识清单练习 知识点1．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点2．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点3．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点4．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 章节题型整合练习 一．幂的乘方与积的乘方 1．（2023秋•松江区校级期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•奉贤区月考）计算：　　． 3．（2023秋•青浦区校级期中）已知27＝9y﹣1，16y＝8x+4，则x﹣y＝　　． 4．（2022秋•奉贤区期中）用简便方法计算：（结果，可用幂的形式表示）． 5．（2023秋•闵行区校级月考）不是同类项的是　　 A．8与 B．与 C．与 D．与 6．（2023秋•普陀区校级期中）的计算结果是　　 A． B． C．1 D． 7．（2024•静安区校级模拟）　　． 8．（2022秋•浦东新区期中）已知，求的值． 9．（2023秋•松江区校级期中）计算：． 二．完全平方公式 10．（2020秋•奉贤区期末）下面的计算正确的是　　 A． B． C． D． 11．（2020秋•奉贤区期末）若，，在下列判断结果正确的是　　 A． B． C． D．无法判断 12．（2020秋•浦东新区校级期中）下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•青浦区校级期中）如果，那么　　． 14．（2023秋•浦东新区期中）计算：　　． 15．（2021秋•杨浦区期中）已知，，则　　． 16．（2023秋•宝山区校级期中）已知，求下列式子的值： （1）a2﹣ab+b2； （2）（a﹣b）2． 17．（2023秋•奉贤区期中）已知，，求及的值． 18．（2022秋•宝山区期中）化简：． 三．平方差公式 19．（2023秋•宝山区校级期中）下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•闵行区校级月考） 　　． 21．（2023秋•普陀区校级期中）化简的结果为 　　． 22．（2023秋•松江区校级期中）用简便方法计算：． 23．（2023秋•浦东新区期末）计算：． 24．（2023秋•闵行区校级月考）用乘法公式计算：． 25．（2023秋•浦东新区期中）计算：　　． 26．（2022秋•闵行区期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•松江区校级期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，则称这个数为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是　　 A．270 B．308 C．330 D．360 四．整式的除法 28．（浦东新区期末）如果，那么是　　 A． B． C． D． 29．（2020秋•浦东新区期末）计算：　　． 30．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：． 31．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：． 32．（上海校级月考）除以的商式为，余式为，求　　 A． B． C． D．7 33．（2023秋•浦东新区期末）计算：　　． 34．（2021秋•浦东新区期末）计算：　　． 35．（浦东新区期末）按下列程序计算，把答案写在表格内： （1）填写表格： 输入 3 输出答案 1 1 （2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简． 36．（2022秋•虹口区校级月考）一个长方形的面积为，且一边长为，则该长方形的周长为　　 A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 整式的乘除 章节整合练习（4个知识点+36题练习） 章节知识清单练习 知识点1．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点2．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点3．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点4．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 章节题型整合练习 一．幂的乘方与积的乘方 1．（2023秋•松江区校级期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据积的乘方、幂的乘方法则以及同类项的定义进行逐项分析，即可作答． 【解答】解：、因为与不是同类项，所以不能合并，故该选项是错误的； 、，因为与不是同类项，所以不能合并，故该选项是错误的； 、，故该选项是错误的； 、，故该选项是正确的； 故选：． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项等内容，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 2．（2023秋•奉贤区月考）计算：　　． 【分析】根据积的乘方逆运算法则计算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握积的乘方的逆运算． 3．（2023秋•青浦区校级期中）已知27＝9y﹣1，16y＝8x+4，则x﹣y＝　　． 【分析】根据幂的乘方的逆运算即可求解． 【解答】解：∵27＝9y﹣1，16y＝8x+4， ∴33＝32（y﹣1），24y＝23（x+4）， ∴2（y﹣1）＝3，3（x+4）＝4y， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2022秋•奉贤区期中）用简便方法计算：（结果，可用幂的形式表示）． 【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案． 【解答】解： ． 【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．（2023秋•闵行区校级月考）不是同类项的是　　 A．8与 B．与 C．与 D．与 【分析】同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，据此逐项判断即可． 【解答】解：与都是数字，是同类项， 选项不符合题意； 与所含的字母相同，都是、，且、的指数都是1， 与是同类项， 选项不符合题意； 与所含的字母不相同，含有字母、，含有字母、， 与不是同类项， 选项符合题意； ，与所含的字母相同，都是、，且、的指数也相同， 与是同类项， 选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及同类项的含义和应用，解答此题的关键是要明确：（1），是正整数）；②是正整数）；（2）同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同． 6．（2023秋•普陀区校级期中）的计算结果是　　 A． B． C．1 D． 【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 7．（2024•静安区校级模拟）　　． 【分析】根据幂的乘方和同底数的幂的乘法运算法则即可求解． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了幂的乘方和同底数的幂的乘法运算法则，正确理解法则是关键． 8．（2022秋•浦东新区期中）已知，求的值． 【分析】利用幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答． 【解答】解： ， ， ， ． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 9．（2023秋•松江区校级期中）计算：． 【分析】先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． 【解答】解：． 【点评】本题考查了积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘等运算法则，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二．完全平方公式 10．（2020秋•奉贤区期末）下面的计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案． 【解答】解：、，故此选项错误； 、，故此选项正确； 、，无法合并，故此选项错误； 、，故此选项错误； 故选：． 【点评】此题主要考查了完全平方公式以及积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 11．（2020秋•奉贤区期末）若，，在下列判断结果正确的是　　 A． B． C． D．无法判断 【分析】直接利用乘法公式将变形，进而得出答案． 【解答】解：， ， 故． 故选：． 【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确运用乘法公式是解题关键． 12．（2020秋•浦东新区校级期中）下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据完全平方公式：，得出能用完全平方公式计算必须两式相等，分别观察得出即可． 【解答】解：、，可利用平方差公式计算，此选项错误； 、，可利用平方差公式计算，此选项错误； 、，可利用完全平方公式计算，此选项正确； 、可利用平方差公式计算，此选项错误； 故选：． 【点评】此题主要考查了平方差公式以及完全平方公式的应用，正确应用两公式是解题关键． 13．（2023秋•青浦区校级期中）如果，那么　　． 【分析】根据题意得到，利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键． 14．（2023秋•浦东新区期中）计算：　　． 【分析】根据完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 15．（2021秋•杨浦区期中）已知，，则　12　． 【分析】利用完全平方公式配方进而将已知代入求出即可． 【解答】解：，， ． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，正确配方得出是解题关键． 16．（2023秋•宝山区校级期中）已知，求下列式子的值： （1）a2﹣ab+b2； （2）（a﹣b）2． 【分析】（1）把待求式变形为a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab，代入计算即可． （2）根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，代入计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab ＝ ＝25﹣ ＝． （2）∵， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝ ＝25﹣6 ＝19． 【点评】本题考查了利用完全平方公式计算，熟练进行公式变形是解题的关键． 17．（2023秋•奉贤区期中）已知，，求及的值． 【分析】将两个完全平方展开，相加，求出的值，进而求出的值即可． 【解答】解：，， ①， ②， 由①②得：， 得：， ， ． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的形式是解题关键． 18．（2022秋•宝山区期中）化简：． 【分析】利用平方差公式和完全平方公式运算，再合并同类项即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，合并同类项，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 三．平方差公式 19．（2023秋•宝山区校级期中）下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平方差公式逐项判断即可得． 【解答】解：、，能用平方差公式，则此项不符合题意； 、，不能用平方差公式，则此项符合题意； 、，能用平方差公式，则此项不符合题意； 、，能用平方差公式，则此项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 20．（2023秋•闵行区校级月考） 　　． 【分析】利用完全平方差公式进行计算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查的是平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键． 21．（2023秋•普陀区校级期中）化简的结果为 　　． 【分析】先根据平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】此题考查平方差公式和完全平方公式的应用，解题关键在于掌握运算法则． 22．（2023秋•松江区校级期中）用简便方法计算：． 【分析】根据平方差公式计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键． 23．（2023秋•浦东新区期末）计算：． 【分析】根据完全平方公式、平方差公式分别计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握这两个公式是解题的关键． 24．（2023秋•闵行区校级月考）用乘法公式计算：． 【分析】先把原式化为平方差的形式，再利用平方差公式及完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是平方差公式及完全平方公式，熟记以上知识是解题的关键． 25．（2023秋•浦东新区期中）计算：　　． 【分析】根据平方差公式求出即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了对平方差公式的应用，注意：． 26．（2022秋•闵行区期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断． 【解答】解：、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 、，故此选项符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：． 27．（2023秋•松江区校级期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，则称这个数为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是　　 A．270 B．308 C．330 D．360 【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案． 【解答】解：设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为， 由这两个奇数得到的“幸福数”为， 观察四个选项可知，只有选项、中的数能够整除4， 当时， 解得：，不是奇数不合题意舍去， 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式的应用，解一元一次方程，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键． 四．整式的除法 28．（浦东新区期末）如果，那么是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据除数商，可知，再根据单项式除单项式的法则进行计算即可． 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了单项式除以单项式的法则：单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 29．（2020秋•浦东新区期末）计算：　　． 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 30．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：． 【分析】根据多项式除以单项式法则进行计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了整式的除法，能正确根据多项式除以单项式法则进行计算是解此题的关键． 31．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：． 【分析】根据单项式除以单项式法则进行计算即可． 【解答】解：． 【点评】本题考查了整式的除法，能正确根据单项式除以单项式法则进行计算是解此题的关键． 32．（上海校级月考）除以的商式为，余式为，求　　 A． B． C． D．7 【分析】直接利用多项式除法得出以及的值，进而得出答案． 【解答】解： ， ，，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了多项式除法运算，正确得出，，的值是解题关键． 33．（2023秋•浦东新区期末）计算：　　． 【分析】根据多项式除以单项式法则，让多项式的每一项都与单项式相除，再把所得商相加即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了整式的除法，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则． 34．（2021秋•浦东新区期末）计算：　　． 【分析】用多项式的每一项与单项式相除，然后相加即可得出答案． 【解答】解：； 故答案为：． 【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法法则是解题的关键，是一道基础题． 35．（浦东新区期末）按下列程序计算，把答案写在表格内： （1）填写表格： 输入 3 输出答案 1 1 （2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简． 【分析】（1）根据计算程序把数据代入即可求出答案； （2）把代入计算程序后列出代数式化简即可． 【解答】解：（1） 输入 3 输出答案 1 1 1 1 （2） ． 【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，读表，明确计算程序是正确解答本题的前提． 36．（2022秋•虹口区校级月考）一个长方形的面积为，且一边长为，则该长方形的周长为　　 A． B． C． D． 【分析】先求得长方形的另一边长，然后再计算长方形的周长． 【解答】解：由题意，长方形的另一边长为： ， 长方形的周长为， 故选：． 【点评】本题考查整式的应用，掌握长方形面积和周长的计算公式以及整式除法的运算法则是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$