精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市衡齐高级中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题

衡齐高级中学2024-2025学年第一次月考（9月） 高一上（数学） 分值：150 时间：120分钟 一、单选题（每题5分，40分） 1. 已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则对任意非零实数x，有（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下面关于集合的表示正确的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A. B. C. D. 6. 关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＞”和“＜”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知为非零实数，且；则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的一个单调递增区间是 A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，18分） 9. 满足，且的集合M可能是（ ） A. B. C. D. 10. 定义集合运算：，设，，则（ ） A. 当，时， B. 可取两个值，可取两个值，有4个式子 C. 中有4个元素 D. 的真子集有7个 11. 若条件，且是q的必要条件，则q可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，15分） 12. 已知集合，若，求的取值范围_______________________ 13. 设集合，若，则实数的最小值是______. 14. 命题“，”为真命题，则实数a的取值范围__________________． 四、解答题 15. 写出下列全称（存在量词）命题的否定： （1），； （2），； （3）存在一个实数，它的绝对值不是正数； （4）所有的矩形都是正方形. 16. 已知函数的解析式为 （1）求，的值； （2）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （3）解不等式. 17. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. （1）确定函数的解析式； （2）用函数单调性的定义证明在上是增函数； （3）解不等式. 18. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y. （Ⅰ）将y表示为x的函数； （Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 19. 某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为 （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡齐高级中学2024-2025学年第一次月考（9月） 高一上（数学） 分值：150 时间：120分钟 一、单选题（每题5分，40分） 1. 已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图可得，由选项即可判断. 【详解】解：由图可知：， ， 由选项可知：， 故选：D. 2. 已知函数，则对任意非零实数x，有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数式，计算及即可判断作答. 【详解】函数，， 则，显然，且，AB错误； ，D正确，C错误. 故选：D 3. 已知集合，，，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，利用集合的包含关系可出关于的等式，结合集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为，，，则， 所以，或， 若，则，此时，，集合中的元素不满足互异性，故； 若，可得，因为，则，此时，，合乎题意. 因此，. 故选：B. 4. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，不符合题意；当时，根据二次函数的图象列式可得结果. 【详解】当时，的定义域为，不符合题意； 当时，依题意得在R上恒成立，则， 解得. 故选：D 5. 下面关于集合的表示正确的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴①{2，3}={3，2}，①不成立； {（x，y）x+y=1}是点集，而{yx+y=1}不是点集，②不成立； 由集合的性质知③④正确． 故选C． 6. 关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】化简不等式为，分类讨论，求得不等式的解集，结合不等式的解集中恰有两个整数，即可求解. 【详解】关于的不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 因为不等式的解集中恰有两个整数， 所以，当时，不等式的整数解为和，所以的取值范围为； 当时，不等式的整数解为和，所以的取值范围为， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：A 7. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＞”和“＜”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知为非零实数，且；则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各项不等式，利用作差法、特殊值，结合不等式性质判断正误即可. 【详解】A：，若有，故，A错误； B：，若有，又，故，B错误； C：若，则，C错误； D：，故，D正确. 故选：D 8. 函数的一个单调递增区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质，求得函数的单调递增区间. 【详解】由解得，也即函数的定义域为，注意到函数开口向下，对称轴为，所以函数在上递增，在上递减.而在上是增函数，根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递增区间为. 故选C. 【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题. 二、多选题（每题6分，18分） 9. 满足，且的集合M可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 由交集的结果知集合一定含有元素，一定不含有，由此可判断． 【详解】∵，∴集合一定含有元素，一定不含有， ∴或． 故选：AC． 【点睛】本题考查由集合的交集求参数，掌握交集的定义是解题基础． 10. 定义集合运算：，设，，则（ ） A. 当，时， B. 可取两个值，可取两个值，有4个式子 C. 中有4个元素 D. 的真子集有7个 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合的定义可求出，从而可判断各项的正误. 【详解】， 故中有3个元素，其真子集的个数为，故C错误，D正确. 当，时，，故A错误. 可取两个值，可取两个值，共有4个算式， 分别为： ，， 故B正确． 故选：BD． 【点睛】本题考查新定义背景下集合的计算、集合子集个数的计算，注意不同的算式可以有相同的计算结果，另外，注意集合中元素的互异性对于集合表示的影响，本题属于基础题． 11. 若条件，且是q的必要条件，则q可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先由题意求出，然后根据必要条件的定义逐个分析判断即可. 【详解】因为条件，所以， 对于A，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以A错误； 对于B，因为能推出，所以是的必要条件，所以B正确； 对于C，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以C错误； 对于D，因为能推出，所以是的必要条件，所以D正确． 故选：BD． 三、填空题（每题5分，15分） 12. 已知集合，若，求的取值范围_______________________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，按集合是空集和非空集合，结合集合的包含关系列式求解作答. 【详解】依题意，当时，，解得，此时有，则， 当时，由，得或，解得或， 所以的取值范围是或. 故答案为：或 13. 设集合，若，则实数的最小值是______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据集合的包含关系列出集合的区间端点满足的不等式,再求解求的最小值即可. 【详解】,∵,∴,∴. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数取值范围的问题.属于基础题. 14. 命题“，”为真命题，则实数a的取值范围__________________． 【答案】或 【解析】 【分析】题意说明不等式有解，由判别式大于0可得参数范围． 【详解】由题意，解得或， 故答案为：或． 四、解答题 15. 写出下列全称（存在量词）命题的否定： （1），； （2），； （3）存在一个实数，它的绝对值不是正数； （4）所有的矩形都是正方形. 【答案】（1），的否定为：，； （2），的否定为：，； （3）存在一个实数，它的绝对值不是正数的否定为：所有实数的绝对值都是正数； （4）所有的矩形都是正方形的否定为：存在一个矩形，它不是正方形． 【解析】 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略； 【小问4详解】 略． 16. 已知函数的解析式为 （1）求，的值； （2）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （3）解不等式. 【答案】（1），； （2），最大值为4 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据自变量的取值，代入分段函数解析式即可；（2）根据图象最高点即可写出最大值；（3）对范围讨论，解出之后求并集即可. 【小问1详解】 由已知得，，， 则 【小问2详解】 由图象可知，最大值为4. 【小问3详解】 当时，由可得，，解得，所以； 当时，由可得，，解得，所以； 当时，由可得，，解得，所以. 综上所述，或 不等式的解集为或. 17. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. （1）确定函数的解析式； （2）用函数单调性的定义证明在上是增函数； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明：设，则， ∵，∴，且，则， 则，即，所以函数在上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，求解并验证即可； （2）通过单调性的定义即可求解； （3）通过单调性、奇偶性去求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得，所以，经检验满足奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，∴， ∵是定义在上的增函数，∴，得， 所以不等式的解集为. 18. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y. （Ⅰ）将y表示为x的函数； （Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【答案】（Ⅰ）y=225x+ （Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+ （2） ．当且仅当225x=时，等号成立． 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用 19. 某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为 （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，当时，，代入上式，得，可得表达式． （2）化简函数y，利用基本不等式求解最小值即可. 【小问1详解】 由题意得， 当时，，代入上式，得 所以 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时取“=”． 所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $