精品解析：福建省莆田第二十五中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

莆田第二十五中学2024-2025学年上学期月考一试卷九年数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（　　） A. 5 B. ﹣4 C. 4 D. ﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化． 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 3. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可． 【详解】A、是一次函数，此选项错误； B、y＝3（x−1）2是二次函数，此选项正确； C、y＝ax2＋bx＋c不是二次函数，此选项错误； D、不是二次函数，此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 4. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确配方法的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解： 故选：D． 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（） A. 1 B. －1或2 C. －1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x=1代入方程求解可得m的值． 【详解】把x=1代入方程(m﹣2)x2+4x﹣m2=0得到(m﹣2)+4﹣m2=0， 解得：m=﹣1或m=2． ∵m﹣2≠0， ∴m=﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是理解一元二次方程解的定义，属于基础题型． 6. 已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（ ） A. －3 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 7. 若关于x的方程kx2﹣x＋3＝0有实数根，则k的取值范围是（ ） A. k≤12 B. k≤ C. k≤12且k≠0 D. k≤且k≠0 【答案】B 【解析】 【分析】由于k的取值不确定，故应分k＝0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答． 【详解】解：当k＝0时，﹣x＋3＝0，解得x＝3， 当k≠0时，方程kx2﹣x＋3＝0是一元二次方程， 根据题意可得：△＝1﹣4k×3≥0， 解得k≤，k≠0， 综上k≤， 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 8. 抛物线经过点，，，则，和的大小关系为  （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的性质． 分别将A，B，C三点代入表达式求解即可比较函数值的大小． 【详解】将代入； 将代入； 将代入； ∵ ∴． 故选：D． 9. 关于抛物线，下列说法正确的有（ ） ①与抛物线顶点相同，开口方向相反；②当时，随的增大而减小；③当时，；④若，是该抛物线上两点，则． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴是y轴， ∴①与抛物线顶点相同，开口方向相反，说法正确； ②当时，随的增大而减小，说法正确； ③当时，，原说法错误； ④若，是该抛物线上两点，即两点关于y轴对称，则，说法正确； 说法正确的为：①②④， 故选：C． 10. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要是二次函数图象与一次函数图象的问题，根据确定一次函数图象经过的象限和二次函数图象的开口方向即可判断． 【详解】∵时，一次函数的图象经过一，三，四象限，二次函数的开口向上， 故选A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次函数的的图像经过点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线过点，则点的坐标满足解析式，把点代入即可． 【详解】二次函数的y=ax2的图像经过点(1,−2)， -2=a， a=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查二次项系数问题，关键掌握图像经过点，点的坐标满足解析式使问题得以解决． 12. 一个等边三角形边长的数值是方程x2﹣3x﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】先解方程求出方程的根，再确定等边三角形的边长，然后求等边三角形的周长． 【详解】解：x2﹣3x﹣10＝0， （x﹣5）（x+2）＝0， 即x﹣5＝0或x+2＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣2． 因为方程x2﹣3x﹣10＝0的根是等边三角形的边长， 所以等边三角形的边长为5． 所以该三角形的周长为：5×3＝15． 故答案为15． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等边三角形的周长等知识点．求出方程的解是解决本题的关键． 13. 如果是方程的一个根，那么代数式的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程，得到，再代入代数式，即可求出答案． 【详解】解：把代入方程， 得到， 所以， 所以代数式； 故答案为：5． 14. 将一元二次方程化成形式则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式之后，变为， 故， ， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 15. 已知是二次函数，且当时，随增大而增大，则________． 【答案】 【解析】 【分析】是二次函数，那么x的指数为2；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，那么二次函数图象的开口向上，可得二次项的系数大于0． 【详解】解：由题意得：k2+k﹣4=2，解得：k=﹣3或k=2； ∵当时，随增大而增大，∴k+2＞0，解得：k＞﹣2； ∴k=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了二次函数的定义和性质．用到的知识点为：二次函数中未知数的最高次数是2；在对称轴的右侧y随x的增大而增大，那么二次项的系数大于0． 16. 若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____． 【答案】2028 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得． 【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020， 则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2 ＝x12﹣4x1+2（x1+x2） ＝2020+2×4 ＝2020+8 ＝2028， 故答案为：2028． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17 用指定方法解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 ，， ∴ 解得，． 四、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】；另一个根是 【解析】 【分析】由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， 设另一个根为，则， ∴， ∴的值是，另一个根是． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，将一根代入原方程，转化为关于m的方程，解出m的值,再根据根与系数的关系求出另一根． 19. 已知，，分别是三角形的三边长，且关于的方程有两个相等的实数根，试判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，由根的情况求得判别式为0，从而求得a、b、c的关系是解题的关键． 由方程有两个相等的实数根可得其判别式等于0，整理可求得a、b、c的关系，则可判断三角形的形状． 【详解】解：这个三角形是直角三角形．理由： ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴这个三角形是直角三角形． 20. 如图，用长为m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是 m），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是单位：m，面积是单位： （1）求与的函数关系式及的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，的长为多少米？ 【答案】（1） （2）的长为米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，正确列出函数表达式是解题的关键． （1）根据题目数量关系列函数表达式即可； （2）将代入（1）中表达式即可求解． 【小问1详解】 解：由，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 若，则， 解得：，， ∵， 所以， 即当的长为米时，花圃的面积为162平方米． 21. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程， （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于m的二元一次方程，最后求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 ∵方程有两个实数根为，， ∴，， ∵ ∴ ∴ 整理得， 解得：或． 22. 如图，在中，，cm，cm若点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发． （1）问几秒后，面积为？ （2）的面积能否为？若能，求出点移动的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题是一道几何动点问题，考查了三角形的面积公式的运用，一元二次方程解法的运用． （1）由题意，可设P、Q经过t秒，使的面积为，则，，根据三角形面积的计算公式，，列出表达式，解答出即可； （2）将的面积表示出来，根据来判断即可． 【小问1详解】 设后，的面积为， 则， ， ， 解得， ∴或时，的面积为； 【小问2详解】 不能，理由如下：设y秒时，的面积为， ， 即 ， ， ∴原方程无实数根，即的面积不能是． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【小问1详解】 将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． 24. 如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的面积； （2）点是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）3 （2）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，求一次函数解析式，面积问题，求得解析式是解题的关键． （1）用待定系数法，先将代入，求出的值为1，再将代入，求出点，然后将，代入分别求出的值，利用y轴将分割为和，分别算出它们的面积后，即可求出的面积； （2）首先求出，然后根据题意得到，然后代数求出，然后代入求解即可． 【小问1详解】 ∵点在二次函数的图象上， ∴ 解得： ∴二次函数关系式为： 将代入得： ∴ ∵点，在一次函数的图象上 ∴， 解得：， ∴一次函数关系式为 当时， ∴一次函数与y轴交点坐标为 ∴，点横坐标为，点的横坐标为 ∴ ∴ ∴的面积为； 【小问2详解】 ∵一次函数关系式 ∴当时， ∴ ∴ ∴ ∵的面积与的面积相等 ∴，即 ∴ 将代入得， ∴ ∴点P坐标为或． 25. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2， ∴，． 故答案为：；． 【小问2详解】 ∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n， ∴，， ∴ 【小问3详解】 ∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0， ∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时，， 当时，， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田第二十五中学2024-2025学年上学期月考一试卷九年数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（　　） A. 5 B. ﹣4 C. 4 D. ﹣1 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 3. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（） A. 1 B. －1或2 C. －1 D. 0 6. 已知一元二次方程两个根为、，则的值为（ ） A. －3 B. C. 1 D. 7. 若关于x的方程kx2﹣x＋3＝0有实数根，则k的取值范围是（ ） A. k≤12 B. k≤ C. k≤12且k≠0 D. k≤且k≠0 8. 抛物线经过点，，，则，和的大小关系为  （ ） A. B. C. D. 9. 关于抛物线，下列说法正确的有（ ） ①与抛物线顶点相同，开口方向相反；②当时，随的增大而减小；③当时，；④若，是该抛物线上两点，则． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次函数的的图像经过点，则_________． 12. 一个等边三角形边长的数值是方程x2﹣3x﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为_____． 13. 如果是方程的一个根，那么代数式的值为_________． 14. 将一元二次方程化成的形式则____________． 15. 已知二次函数，且当时，随增大而增大，则________． 16. 若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17. 用指定方法解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； 四、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 19. 已知，，分别是三角形的三边长，且关于的方程有两个相等的实数根，试判断该三角形的形状，并说明理由． 20. 如图，用长为m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是 m），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是单位：m，面积是单位： （1）求与的函数关系式及的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，的长为多少米？ 21. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 22. 如图，在中，，cm，cm若点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发． （1）问几秒后，的面积为？ （2）的面积能否为？若能，求出点移动的时间；若不能，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）当四边形为正方形时，求线段长． 24. 如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的面积； （2）点是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 25. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$