专题训练02 全等三角形之—— 角平分线+垂直构造全等模型2024 -2025学年人教版数学八年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 专题训练02 全等三角形之—— 角平分线+垂直构造全等模型（原卷版） 1．（2024春•泰山区期末）如图，P，Q分别是BC，AC上的点，过点P作PR⊥AB于点R，作PS⊥AC于点S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 2．（2022秋•上思县月考）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB．其中正确的有（　　） A．①② B．①④ C．③④ D．①②④ 3．（2024春•渠县期末）如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若，则△ABC的面积等于（　　） A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．不能确定 4．（2023春•新城区校级期末）如图，△BDC为等腰直角三角形，延长BD至A，连接AC，作∠ABC的角平分线BE交DC于F，且BE⊥AC于E．若AE＝12，△ABC的面积为360，则EF的长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2024•济南二模）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 6．（2024春•西安期中）如图，在△ADC中，AC＝DC＝3，BD垂直AD于点D，连接AB，有∠CAD＝∠BAD，则AB的长为 　 　． 7．（2022秋•凤阳县期末）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°． （1）若AB＝12，AD＝8，则AF＝　 　． （2）若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于 　 　． 8．（2024春•东港区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，AC⊥BC于点C，AB＝5，CD＝3，则BC＝　 　． 9．（2023•开州区校级开学）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，延长CE与AB相交于点F，连接DF，若∠BAC＝60°，∠B＝40°，则∠BDF的度数为 　 　°． 10．（2023秋•金山区期末）如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F．（1）求证：EG＝EF；（2）联结AE，求证：∠AEG＝∠AEF． 11．（2023秋•鹿寨县期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．（1）求∠AFC的度数； （2）若AD＝6，CE＝4，求AC的长． 12．（2023春•鼓楼区校级期末）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB．（1）如图1，∠ADC＝∠ABC．求证：BC＝DC； （2）如图2，∠ADC与∠ABC互补．①（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；②点O是AC中点，点M是AB上一点，BM＝AD．求证：． 13．（2023秋•潢川县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，CD平分∠ACB，交边AB于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB上的一个动点． （1）AE＝　 　，∠ACD＝　 　度； （2）当四边形ACPD为轴对称图形时，求CP的长； （3）若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数； （4）若点M在线段CD上，连接MP、ME，直接写出MP+ME的值最小时CP的长度． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 专题训练02 全等三角形之—— 角平分线+垂直构造全等模型（解析版） 1．（2024春•泰山区期末）如图，P，Q分别是BC，AC上的点，过点P作PR⊥AB于点R，作PS⊥AC于点S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【分析】根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证△APR≌△APS（HL），可证得AS＝AR，QP∥AR成立． 【解答】解：连接AP， ∵PR＝PS， ∴AP是∠BAC的平分线， ∴△APR≌△APS（HL） ∴AS＝AR，①正确． ∵AQ＝PQ ∴∠BAP＝∠QAP＝∠QPA， ∴QP∥AR，②正确． BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP③不成立． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中． 2．（2022秋•上思县月考）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB．其中正确的有（　　） A．①② B．①④ C．③④ D．①②④ 【分析】首先由条件可证明△ACD≌△AED，从而可判断①、④正确；然后利用全等三角形的性质和直角三角形的两锐角互余可判断②；利用角平分线的定义可判断③；从而可得出答案． 【解答】解：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB． ∵DE⊥AB， ∴∠C＝∠DEA＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴CD＝DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴∠EDA＝∠CDA， ∴DA平分∠CDE，AC＝AE 故①正确； ∵AB＝AE+BE，且AC＝AE， ∴AC+BE＝AB； 故④正确； ∵∠BAC+∠B＝∠BDE+∠B＝90°， ∴∠BAC＝∠BDE， 故②正确； 若DE平分∠ADB，则E应为AB中点，由条件无法得出， 故③不正确； 综上可知正确的结论有：①②④，共三个， 故选：D． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 3.（2024春•渠县期末）如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若，则△ABC的面积等于（　　） A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．不能确定 【分析】延长AP交BC于点D，根据角平分线的定义可得∠ABP＝∠DBP，再根据垂直定义可得∠APB＝∠DPB＝90°，然后根据ASA可得△BAP≌△BDP，从而利用全等三角形的性质可得AP＝DP，进而可得△APC的面积＝△DPC的面积，最后进行计算即可解答． 【解答】解：延长AP交BC于点D， ∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠ABP＝∠DBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠DPB＝90°， ∵BP＝BP， ∴△BAP≌△BDP（ASA）， ∴AP＝DP， ∴△APC的面积＝△DPC的面积， ∵△BPC的面积＝12cm2， ∴△BPD的面积+△CPD的面积＝12， ∴△ABP的面积+△APC的面积＝12， ∴△ABC的面积＝24cm2， 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2023春•新城区校级期末）如图，△BDC为等腰直角三角形，延长BD至A，连接AC，作∠ABC的角平分线BE交DC于F，且BE⊥AC于E．若AE＝12，△ABC的面积为360，则EF的长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，再根据垂直定义可得∠BEA＝∠BEC＝90°，从而利用ASA可证△AEB≌△CEB，再利用全等三角形的性质可得AE＝CE＝12，从而可得AC＝24，进而利用三角形的面积公式可求出BE＝30，然后利用等腰直角三角形的性质可得BD＝DC，∠ABE+∠BFD＝90°，再根据直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠ABE＝90°，从而可得∠A＝∠BFD，最后利用AAS证明△BDF≌△CDA，从而利用全等三角形的性质可得BF＝AC＝24，进行计算即可解答． 【解答】解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵BE⊥AC， ∴∠BEA＝∠BEC＝90°， ∵BE＝BE， ∴△AEB≌△CEB（ASA）， ∴AE＝CE＝12， ∴AC＝2AE＝24， ∵△ABC的面积为360， ∴AC•BE＝360， ∴×24•BE＝360， 解得：BE＝30， ∵△BDC为等腰直角三角形，∠BDC＝90°， ∴BD＝DC，∠ABE+∠BFD＝90°， ∵∠AEB＝90°， ∴∠A+∠ABE＝90°， ∴∠A＝∠BFD， ∵∠BDF＝∠AEB＝90°， ∴△BDF≌△CDA（AAS）， ∴BF＝AC＝24， ∴EF＝BE﹣BF＝6， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024•济南二模）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可． 【解答】解：延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中，， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 6．（2024春•西安期中）如图，在△ADC中，AC＝DC＝3，BD垂直AD于点D，连接AB，有∠CAD＝∠BAD，则AB的长为 　6　． 【分析】延长AC与BD，相交于点E，根据角平分线+垂直构造△BAD≌△EAD，从而可得AB＝AE，然后利用等角的余角相等可得∠CDE＝∠E，从而可得DC＝CE＝3，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：延长AC与BD，相交于点E， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， ∴∠CAD+∠E＝90°， ∵∠CAD＝∠BAD，AD＝AD， ∴△BAD≌△EAD（ASA）， ∴AB＝AE， ∵AC＝CD＝3， ∴∠CAD＝∠ADC， ∵∠ADC+∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠E， ∴DC＝CE＝3， ∴AB＝AE＝AC+CE＝3+3＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（2022秋•凤阳县期末）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°． （1）若AB＝12，AD＝8，则AF＝　10　． （2）若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于 　4　． 【分析】（1）利用角平分线的性质可得CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，根据等角的补角相等得∠B＝∠CDF，利用AAS证出两三角形全等，求出DF＝BE，证Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF＝AE，由BE＝DF可得AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，即可得AB+AD＝2AF； （2）利用全等三角形的面积相等，设△BEC的面积为x，列出方程可得结果． 【解答】解：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， ∴CE＝CF，∠CEB＝∠F＝90°， ∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°， ∴∠B＝∠CDF， 在Rt△BCE与Rt△DCF中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（AAS）， ∴DF＝BE，CE＝CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， 在Rt△ACE与Rt△ACF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）， ∴AF＝AE， ∴AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF， ∴AB+AD＝2AF， ∵AB＝12，AD＝8， ∴AF＝10， 故答案为：10． （2）∵Rt△BCE≌Rt△DCF， ∴S△BCE＝S△DCF， 设△BEC的面积为x， ∵△ABC的面积是24，△ADC面积是16， ∴24﹣x＝16+x， ∴x＝×（24﹣16）＝4． 即△BEC的面积等于4， 故答案为：4． 【点评】考查了角平分线性质，全等三角形的判定和性质的应用，三角形的面积，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．本题中利用全等三角形的判定和性质是解题的关键． 8．（2024春•东港区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，AC⊥BC于点C，AB＝5，CD＝3，则BC＝　1.4　． 【分析】延长AD与BC相交于点E，先根据角平分线+垂直构造△ABD≌△EBD，从而可得AB＝BE＝5，AD＝DE，再根据垂直定义可得∠ACE＝∠ACB＝90°，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝CD＝3，AE＝2CD＝6，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，从而利用面积法求出AC的长，最后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：延长AD与BC相交于点E， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠EDB＝90°， ∵BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD（ASA）， ∴AB＝BE＝5，AD＝DE， ∵AC⊥BC， ∴∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴AD＝CD＝DE＝AE＝3， ∴AE＝2CD＝6， 在Rt△ABD中，BD＝＝＝4， ∵△ABE的面积＝BE•AC＝AE•BD， ∴BE•AC＝AE•BD， ∴5AC＝6×4， 解得：AC＝4.8， 在Rt△ABC中，BC＝＝＝1.4， 故答案为：1.4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．（2023•开州区校级开学）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，延长CE与AB相交于点F，连接DF，若∠BAC＝60°，∠B＝40°，则∠BDF的度数为 　40　°． 【分析】首先利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，然后利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质可以求出∠ACD＝∠AFD，最后利用四边形的内角和求出∠CDF即可解决问题． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠FAD＝∠CAD， ∵CE⊥AD， ∴∠AEF＝∠AEC＝90°， 在△AFE和△ACE中， ， ∴△AFE≌△ACE（ASA）， ∴EF＝CE，AF＝CF， ∴∠AFE＝∠ACE， ∵CE⊥AD， ∴CD＝FD， ∴∠DFC＝DCF， ∴∠AFD＝∠ACD， ∵∠BAC＝60°，∠B＝40°， ∴∠ACD＝∠AFD＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∴∠CDF＝360°﹣∠BAC﹣∠ACD﹣∠AFD＝140°， ∴∠BDF＝180°﹣∠CDF＝180°﹣140°＝40°． 故答案为：40． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也利用了角平分线的性质、等腰三角形的性质及四边形的内角和，有一定的综合性． 10．（2023秋•金山区期末）如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F． （1）求证：EG＝EF； （2）联结AE，求证：∠AEG＝∠AEF． 【分析】（1）过点E作EH⊥BD于点H，利用角平分线的性质即得证； （2）通过HL证明Rt△AEG≌Rt△AEF即可． 【解答】证明：（1）如图，过点E作EH⊥BD于点H， ∵BE平分∠ABC，EG⊥BA，EH⊥BD， ∴EG＝EH， ∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD， ∴EF＝EH， ∴EG＝EF． （2）∵EG⊥BA，EF⊥AC， ∴∠AGE＝90°＝∠AFE， 再Rt△AEG和Rt△AEF中， ， ∴Rt△AEG≌Rt△AEF（HL）， ∴∠AEG＝∠AEF． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 11．（2023秋•鹿寨县期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．（1）求∠AFC的度数；（2）若AD＝6，CE＝4，求AC的长． 【分析】（1）由题意∠BAC+∠BCA＝120°，根据∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180﹣＝120°，即可解决问题； （2）在AC上截取AG＝AD＝6，连接FG．只要证明△ADF≌△AGF（SAS），推出∠AFD＝∠AFG＝60°，∠GFC＝∠CFE＝60°，再证明△CGF≌△CEF（ASA），推出CG＝CE＝4，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AE、CD分别为△ABC的角平分线， ∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA， ∵∠B＝60° ∴∠BAC+∠BCA＝120°， ∴∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180°﹣×120°＝120°； （2）在AC上截取AG＝AD＝6，连接FG． ∵AE、CD分别为△ABC的角平分线 ∴∠FAC＝∠FAD，∠FCA＝∠FCE， ∵∠AFC＝120°， ∴∠AFD＝∠CFE＝60°， 在△ADF和△AGF中， ， ∴△ADF≌△AGF（SAS）， ∴∠AFD＝∠AFG＝60°， ∴∠GFC＝∠CFE＝60°， 在△CGF和△CEF中， ， ∴△CGF≌△CEF（ASA）， ∴CG＝CE＝4， ∴AC＝AG+GC＝10． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 12．（2023春•鼓楼区校级期末）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB． （1）如图1，∠ADC＝∠ABC．求证：BC＝DC； （2）如图2，∠ADC与∠ABC互补． ①（1）中的结论是否依然成立？请说明理由； ②点O是AC中点，点M是AB上一点，BM＝AD．求证：． 【分析】（1）由角平分线的定义可得∠DAC＝∠BAC，于是可通过AAS证明△ACD≌△ACB，进而得到DC＝BC； （2）①过点C作CE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AD的延长线于点F，由角平分线的性质得CF＝CE，由同角的补角相等可得∠CBE＝∠CDF，以此可通过AAS证明△CBE≌△CDF，进而得到结论； ②延长AD，使AD＝DG，连接CG，易得OD为△ACG的中位线，则OD＝，由同角的补角相等可得∠CBM＝∠CDG，由BM＝AD可得BM＝DG，于是可通过AAS证明△BCM≌△DCG，得到CM＝CG，进而得到OD＝． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC， 在△ACD和△ACB中， ， ∴△ACD≌△ACB（AAS）， ∴DC＝BC； （2）①解：（1）中的结论依然成立，理由如下： 如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AD的延长线于点F， ∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CF＝CE，∠CEB＝∠CFD＝90°， ∵∠ADC与∠ABC互补， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ADC+∠CDF＝180°， ∴∠ABC＝∠CDF，即∠CBE＝∠CDF， 在△CBE和△CDF中， ， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴BC＝DC； ②如图，延长AD，使AD＝DG，连接CG， ∴点D为AG的中点， ∵点O是AC中点， ∴OD为△ACG的中位线， ∴OD＝， 由①可知，BC＝DC， ∵∠ADC与∠ABC互补， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ADC+∠CDG＝180°， ∴∠ABC＝∠CDG，即∠CBM＝∠CDG， ∵BM＝AD， ∴BM＝DG， 在△BCM和△DCG中， ， ∴△BCM≌△DCG（SAS）， ∴CM＝CG， ∴OD＝． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题是解题关键． 13．（2023秋•潢川县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，CD平分∠ACB，交边AB于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB上的一个动点． （1）AE＝　4　，∠ACD＝　45　度； （2）当四边形ACPD为轴对称图形时，求CP的长； （3）若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数； （4）若点M在线段CD上，连接MP、ME，直接写出MP+ME的值最小时CP的长度． 【分析】（1）根据题意可得∠B＝30°，则AB＝2AC＝2AE，即可求出AE的长，再根据角平分线的性质即可求出∠ACD的度数． （2）根据轴对称图形的性质即可解答． （3）根据题意可得∠PCD＝45°，分三种情况：当PC＝PD时；当DP＝DC时；当CP＝CD时．再依次根据三角形内角和定理即可求解． （4）过点M作MP⊥BC，作点P关于CD的对称点P′，根据题意可得∠PCM＝∠P′CM，CM＝CM，∠MPC＝∠MP′C＝90°，根据AAS可证明△PCM≌△P′CM，则PM＝P′M，CP＝CP′，因此MP+ME＝MP′+ME≥EP′，以此得出当点E、M、P′三点共线时，MP+ME的值最小，此时EP′∥BC，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝30°， ∴AB＝2AC＝8， ∵点E是边AB的中点， ∴， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝°＝45°； 故答案为：4，45． （2）∵四边形ACPD为轴对称图形，CD平分∠ACB， ∴对称轴为直线CD， ∴CP＝CA＝4； （3）∵CD平分∠ACB， ∴∠PCD＝45°， 当PC＝PD时， ∠PDC＝∠PCD＝45°， ∴∠CPD＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝90°； 当DP＝DC时， ∠CPD＝∠PCD＝45°； 当CP＝CD时， ∠CPD＝∠CDP＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°； 综上，∠CPD的度数为90°或45°或67.5°． （4）如图，点M在CD上，且MP⊥BC，作点P关于CD的对称点P′， ∵MP⊥BC， ∴MP′⊥AC， ∵CD平分∠ACB， ∴∠PCM＝∠P′CM， 在△PCM和△P′CM中， ， ∴△PCM≌△P′CM（AAS）， ∴PM＝P′M，CP＝CP′， ∵MP+ME＝MP′+ME≥EP′， ∴当点E、M、P′三点共线时，MP+ME的值最小， 又∵根据垂线段最短， ∴当EP′⊥AC时，EP′有最小值， ∴EP′∥BC， ∴∠AEP′＝∠B＝30°，∠AP′E＝∠ACB＝90°， ∵AE＝4， ∴AP′＝＝2， ∴CP＝CP′＝AC﹣AP′＝2． 【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形、角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，得出当点E、M、P′三点共线时，MP+ME的值最小是解题关键． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$