精品解析：湖南省郴州市永兴县树德初级中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

2024年九年级入学学情监测数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 将方程化为一元二次方程一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别是（ ） A. 、3 B. 2、3 C. 2、 D. 、 2. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 无法计算 6. 下列方程中两根之和为的是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一直角坐标系中，函数与图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 使用墙的一边，再用的铁丝网围成三边，围成一个面积为的长方形，求这个长方形的两边长时，设墙的对边长为，可得方程（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且的面积是4，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若反比例函数y=的图象经过点（﹣2，3），则k=_____． 12. 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为______． 13. 函数y=（m+1）是y关于x的反比例函数，则m=_____． 14. 方程解是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数的图象上，已知菱形的周长是8，，则k的值是______． 16. 如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是____． 17. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 18. 反比例函数y＝的图象如图所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋＝0的根的情况是________________． 三、计算题：本大题共8小题，共20分． 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知反比例函数y＝，分别根据下列条件求出字母k的取值范围． (1)函数图象位于第一、三象限； (2)在每个象限内，y随着x的增大而增大． 21. 已知关于x的一元二次方程：， （1）若此方程有一个根为1，求另一个根及k的值． （2）若k为任意实数，请判断此方程根的情况． 22. 若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求m取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求m的值． 23. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 24. 已知：如图，直线与双曲线相交于点和点． （1）求k和m的值． （2）根据图象直接写出当且时，自变量x的取值范围． （3）请问在x轴上是否存在点C，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x＋3k﹣3＝0 （1）求证：无论k取何值，方程都有实根； （2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值； （3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）． 26. 知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． （1）初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． （2）类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【分析】如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，显然四边形，，，均矩形，且，可设为h，则，从而可得：，…… 请根据上述思路，写出完整的解题步骤． （3）拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年九年级入学学情监测数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别是（ ） A. 、3 B. 2、3 C. 2、 D. 、 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：∵， ， 一次项系数和常数项分别是和3， 故选：A． 2. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐一求出每个选项中方程的根的判别式的值，由“当＜0时，方程没有实数根”即可得出结论． 【详解】解：A、方程为， ∴Δ＝32﹣4×1×2＝1＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、原方程整理为， ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、方程为， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、原方程可变形为， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0， ∴该方程没有实数根，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”是解题的关键． 3. 若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把代入解析式，可得，据此即可判定． 【详解】解：，故该函数的图象经过点； ，故该函数图象经过点； ，故该函数的图象经过点； ，故该函数的图象经不过点． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法把方程变形即可. 【详解】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17， 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键． 5. 如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 无法计算 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA4＝2，S△BOA2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可． 【详解】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B， ∴S△POA4＝2，S△BOA2＝1， ∴S△POB＝2﹣1＝1. 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 6. 下列方程中两根之和为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二方程根与系数的关系是解答本题的关键． 根据一元二次方程根与系数关系逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，所以，此方程无解，故A不符合题意； B、因为，根据一元二次方程根与系数关系得：，故B不符合题意； C、因为，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故C不符合题意； D、因为，移项得：，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故D符合题意； 故选：D． 7. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质逐一分析判断即可． 【详解】、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，， ∴二者的取值范围相同，符合题意； 、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，， ∴二者的取值范围不相同，不符合题意； 、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，， ∴二者的取值范围不相同，不符合题意； 、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，， ∴二者的取值范围不相同，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键． 8. 使用墙的一边，再用的铁丝网围成三边，围成一个面积为的长方形，求这个长方形的两边长时，设墙的对边长为，可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查长方形的周长和长方形的面积公式以及根据题意列出一元二次方程，得出矩形两边长是解题关键． 根据铁丝网总长度为，长方形的面积为来列出关于的方程，由题意可知，墙的对边为，则长方形的另一条边为，则可利用面积公式求出即可． 【详解】解：由墙的对边长为，可得方程：， 故选：B． 9. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可知的图象在二、四象限，在每个象限内，y随x值的增大而增大，由此可解． 【详解】解：， 在每个象限内，y随x值的增大而增大，且点在第二象限，点，在第四象限， ， ，， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中k的符号判断图象所在象限及增减性． 10. 如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且的面积是4，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的可得，进而可得，根据点B在双曲线上，轴，以及，进而即可求解． 【详解】点C是OA的中点， ∴， ∴ ∴ 点B在双曲线上，轴， ∴ 双曲线经过一，三象限 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若反比例函数y=的图象经过点（﹣2，3），则k=_____． 【答案】-5 【解析】 分析】把点（﹣2，3）代入反比例函数y=可得3=，解方程即可求得k值. 【详解】∵反比例函数y=的图象经过点（﹣2，3）， ∴3= ，解得k=﹣5． 故答案为：﹣5． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，熟知反比例函数图象上点的坐标的特征是解决问题的关键. 12. 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵点A与B关于原点对称， ∴B点的坐标为． 故答案是：． 13. 函数y=（m+1）是y关于x的反比例函数，则m=_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数的一般形式得到且，由此来求m的值即可． 【详解】由题意得，解得m=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，牢记反比例函数的定义是解题的关键，此题属于简单题． 14. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是因式分解解一元二次方程，即可． 【详解】解：， 移项得：， 提公因式得：， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数的图象上，已知菱形的周长是8，，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作，垂足为D，先求出，，继而求得点C的坐标，再把代入反比例函数即可求得答案. 【详解】过点C作，垂足为D， ， ， 又菱形OABC的周长是8， ， 在中，， ， ， 把代入反比例函数得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键. 16. 如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象的性质，利用图象法，写出直线的图象在反比例函数的图象的下方的对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可得或时， 故答案为：或， 17. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用整体代入法是本题的关键． 18. 反比例函数y＝的图象如图所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋＝0的根的情况是________________． 【答案】没有实数根 【解析】 【分析】由比例函数y=的图象位于一、三象限得出a+4＞0，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称，得出2xy＞12，进一步得出a+4＞6，由此确定a的取值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可． 【详解】解：∵反比例函数y=的图象位于一、三象限， ∴a+4＞0， ∴a＞-4， ∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12， ∴2xy＞12， 即a+4＞6，a＞2 ∴a＞2． ∴△=（-1）2-4（a-1）×=2-a＜0， ∴关于x的方程（a-1）x2-x+=0没有实数根． 故答案为：没有实数根． 【点睛】此题综合考查了反比例函数的图形与性质，一元二次方程根的判别式，注意正确判定a的取值范围是解决问题的关键． 三、计算题：本大题共8小题，共20分． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先移项、然后再运用因式分解法解一元二次方程即可；掌握运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （2）先移项、然后再运用因式分解法解一元二次方程即可；掌握整体法及运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解： 所以． 【小问2详解】 解： 所以． 20. 已知反比例函数y＝，分别根据下列条件求出字母k的取值范围． (1)函数图象位于第一、三象限； (2)在每个象限内，y随着x的增大而增大． 【答案】（1）k＜4（2）k＞4 【解析】 【详解】试题分析：由函数图像位于第一、三象限可得4－k＞0，解得k＜4；（2）由于在每个象限内，y随着x的增大而增大，所以4－k＜0，解得k＞4. 试题解析： (1)∵双曲线在第一、三象限，∴4－k＞0，k＜4； (2)∵在每个象限内，y随x的增大而增大，∴4－k＜0，k＞4. 点睛：掌握反比例函数图像、性质以及增减性. 21. 已知关于x的一元二次方程：， （1）若此方程有一个根为1，求另一个根及k的值． （2）若k为任意实数，请判断此方程根的情况． 【答案】（1），另一根为 （2）方程有两个不相等的实数根，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义，根与系数的关系，根的判别式的应用； （1）把代入方程得到关于k的方程，求出k的值，再利用根与系数的关系可得另一根； （2）计算判别式得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【小问1详解】 解：∵方程有一根为1，则 ， 解得：． 设另一根为，则 ，即， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 22. 若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求m的值． 【答案】（1）且 （2）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根、一元二次方程根的判别式得出、，进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式的变形得到，由此解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 即，解得， ∴且； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ， ， ∴或， 解得（且，故舍去），， ∴的值为． 23. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为 （2）当商品降价5元时，商品获利1950元． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：250件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：360件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润1950列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：或（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价m元时，商品获利1950元， 根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商品获利1950元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 24. 已知：如图，直线与双曲线相交于点和点． （1）求k和m的值． （2）根据图象直接写出当且时，自变量x的取值范围． （3）请问在x轴上是否存在点C，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由A点坐标可求得k的值，把B点坐标代入反比例函数解析式可求得m的值； （2）结合图象可知所求不等式即为直线在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围，结合A、B坐标可求得答案； （3）可设C点坐标为，由A、B两点坐标，则可表示出的长，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得到关于x的方程，可得结论． 【小问1详解】 解：∵双曲线过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象过点B， ∴； 【小问2详解】 解：当时，即直线在反比例函数图象的上方时所对应的自变量的取值范围， ∵， ∴当且时，自变量的取值范围为； 【小问3详解】 解：存在． 设C点坐标为， ∴，，， ∵为等腰直角三角形， ∴或三种情况， ①当时，则有，即，解得， 但此时，即，故不符合题意； ②当时，则有，即，解得或， 当时，，即，故符合题意； 当时，，即，故不符合题意； ∴； ③当时，则有，即，解得， 此时，即，故不符合题意； 综上可知存在满足条件的点C，其坐标为． 【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象点的坐标特征、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想、数形结合思想及分类讨论思想等知识 25. 已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x＋3k﹣3＝0 （1）求证：无论k取何值，方程都有实根； （2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值； （3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）． 【答案】（1）见解析 （2） （3）k＝﹣3或k＝﹣1或k＝3 【解析】 【分析】（1）直接计算根的判别式即可证明； （2）将x=-1带入即可求解； （3）由公式法表示出方程的两根，根据两根均为正整数即可求出k的值． 【小问1详解】 证明：当k≠0时， ∵方程 ∴ ∴ 当k＝0时，3x﹣3＝0，解得x＝1． ∴无论k取何值，方程都有实根． 【小问2详解】 把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，解得k．故k的值为． 【小问3详解】 解： ， ∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3， ∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x， ∴此方程的两个根分别为 ，， ∵方程的两个实根均为正整数， ∴k＝﹣3或k＝﹣1或k＝3． 【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根的判别式是解答此题的关键，此题难度不大． 26. 知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． （1）初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． （2）类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【分析】如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，显然四边形，，，均为矩形，且，可设为h，则，从而可得：，…… 请根据上述思路，写出完整的解题步骤． （3）拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】（1），； （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【小问1详解】 解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$