精品解析：河南省郑州陈中实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年秋期第一次阶段性诊断 九年级（数学） 时间：100分钟 满分：120分 一、单选题（每题3分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 3. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，矩形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，交于点F，连接，以点F为圆心，长为半径画弧，与弧交于点G，射线交于点H，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 5. 已知菱形的周长为20，其中一条对角线的长为8，则另一条对角线的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6. 用配方法解一元二次方程时方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一直角三角形面积为10，两直角边的和为9，则斜边长为（ ） A. 7 B. 9 C. D. 8. 对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（ ） A. 1或 B. 或7 C. D. 9. 如图，中，是上一动点，过点作于点于点，连接，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以，为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ） A. 30 B. 9 C. 15 D. 10 二、填空题（每题3分） 11. 请写出一个二次项系数为1，且以为其中一个根的一元二次方程：_____________． 12. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，已知，则的大小是 ________． 13. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为________ 14. 若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为_______． 15. 如图点P是边长为3的菱形对角线上的一个动点，点分别是边上的中点，则的最小值为________． 三、解答题 16 解下列一元二次方程 （1） （2） 17. 2024年6月2日嫦娥六号成功软着陆于月球背面南极—艾特肯盆地，开启人类探测器首次在月球背面实施样品采集任务．2004年中国探月工程正式批准立项，20年来中国探月工程不断刷新人类月球探测的记录．为了掌握同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为______人；扇形统计图中，A所对应的扇形圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“A：完全了解”的学生人数是多少？ 18. 已知：将长方形沿直线对折，将点折到点处，交于点， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的面积． 19. 如图，四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE． （1）求证：四边形ABED菱形； （2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长． 20. （1）已知.若关于x的一元二次方程有一个根是1，求b的值. （2）已知关于x的一元二次方程.若该方程有一根为1，求m的值和该方程的另一个根. 21. 现在全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． （1）求一台B型空气净化器的进价为多少元？ （2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商场决定对B型空气净化器进行降价销售．经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天多卖出1台，如果每天商场销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商场应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 22. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 23. 感知： 如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，易证：．（不需要证明） 探究： 如图②，在正方形中，，分别为边，上点（点，不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点，，垂足为．若为中点，，，求的长． 应用： 应用：如图③，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的面积为　　　，的周长为　　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年秋期第一次阶段性诊断 九年级（数学） 时间：100分钟 满分：120分 一、单选题（每题3分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形、菱形、正方形的判定，关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定方法．由矩形、菱形、正方形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故A不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故B不符合题意； C、有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，故C不符合题意； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法不正确，故D符合题意． 故选：D． 3. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．把一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一般式为：， 若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为，， 故选：B． 4. 如图，矩形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，交于点F，连接，以点F为圆心，长为半径画弧，与弧交于点G，射线交于点H，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，连接，根据证明，得出，再证明，求解即可，证明是解答本题的关键． 【详解】解：∵以点F为圆心，长为半径画弧，与交于点G，连接，则， 又以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，交于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 已知菱形的周长为20，其中一条对角线的长为8，则另一条对角线的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键．根据菱形的周长可以计算菱形的边长，菱形的对角线互相垂直平分，已知，，根据勾股定理即可求得的值． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵菱形周长为20，， ∴，， ， ， 故选：C． 6. 用配方法解一元二次方程时方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 7. 已知一直角三角形面积为10，两直角边的和为9，则斜边长为（ ） A. 7 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要利用三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设一直角边为x，则另一直角边为，可得面积是，根据“面积为10”作为相等关系，即可列方程，解方程即可求得直角边的长，再根据勾股定理求得斜边长． 【详解】解：设一直角边为x，则另一直角边为，根据题意得 解得：，， ∴另一直角边为或， ∴直角三角形两直角边为4，5， ∴直角三角形的斜边为． 故选：D． 8. 对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（ ） A. 1或 B. 或7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用新运算的规定列出方程，解方程求解即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选B． 9. 如图，中，是上一动点，过点作于点于点，连接，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可． 详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴四边形矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以，为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ） A. 30 B. 9 C. 15 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解． 本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵点A的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形． ∴， ∴，， 依题意，，， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（每题3分） 11. 请写出一个二次项系数为1，且以为其中一个根的一元二次方程：_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解法一因式分解，写出方程，再化为一般形式． 本题考查了一元二次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：，即： ， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，已知，则的大小是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，根据矩形的性质，可得的度数，与的关系，根据等边三角形的判定，可得答案，利用矩形的性质得出的度数，与的关系是解题关键． 【详解】解：由矩形中，对角线，相交于点O，，得， ∴． 由，得是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 14. 若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，三角形三边关系，先解一元二次方程得出或，再根据三角形三边关系判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得：或， 当时，三边，不能构成三角形； 当时，此三角形的周长为， 故答案为：11． 15. 如图点P是边长为3的菱形对角线上的一个动点，点分别是边上的中点，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了将军饮马模型，实际为轴对称实际应用，也考查了菱形和平行四边形的判定与性质，关键是作点关于的对称点． 根据菱形的性质，作点关于的对称点，然后连接交于，此时的和最小，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于， 此时有最小值，最小值为的长． ∵菱形关于对称，是边上的中点， ∴是的中点， 又∵是边上的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴，即的最小值为3． 故答案：3． 三、解答题 16. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ， ， 或， ，； 【小问2详解】 ； ， 或， ，． 17. 2024年6月2日嫦娥六号成功软着陆于月球背面南极—艾特肯盆地，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．2004年中国探月工程正式批准立项，20年来中国探月工程不断刷新人类月球探测的记录．为了掌握同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为______人；扇形统计图中，A所对应的扇形圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“A：完全了解”的学生人数是多少？ 【答案】（1）100，144 （2）见详解 （3）480名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据B的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，再用乘以A占的比值；从而补全统计图； （2）用总数减去A、B、D的人数即可求出C的人数，即可补全图形； （3）用1200数乘以选择“A：完全了解”的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数为（名）， ， 故答案为：100，144； 【小问2详解】 解：C的人数有：（名）， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计“A：完全了解”的学生人数有480名． 18. 已知：将长方形沿直线对折，将点折到点处，交于点， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据矩形的性质可得，得到，结合折叠的性质可得，即可证明； （2）设，则，在中，由勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，， ， 由折叠可得：， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：， ， ． 19. 如图，四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接BD，根据，AE是BD的垂直平分线，得到AB=AD，BE=DE，BO=OD，只需要证明△OAD≌△OEB，即可得到答案； （2）根据（1）可以证明三角形DEC是等边三角形，从而可以证明∠BDC=90°，再利用三角函数求解即可得到答案. 【详解】解：（1）如图所示，连接BD， 由题意可知，AE是BD的垂直平分线， ∴AB=AD，BE=DE，BO=OD， ∵AD∥BC， ∴∠OAD=∠OEB，∠ODA=∠OBE， 在△OAD和△OEB中， ， ∴△OAD≌△OEB（AAS）， ∴AD=BE， ∴AD=AB=BE=ED， ∴四边形ABCD是菱形； （2）由（1）得AD=AB=BE=ED， ∴∠DBE=∠EDB， ∵， ∴， ∴， ∴三角形DEC是等边三角形， ∴∠C=∠DEC=∠CDE=60°， ∵∠BDE+∠EBD=∠DEC， ∴∠BDE=30°， ∴∠BDC=90° ∴ 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 20. （1）已知.若关于x的一元二次方程有一个根是1，求b的值. （2）已知关于x的一元二次方程.若该方程有一根为1，求m的值和该方程的另一个根. 【答案】（1）（2）；方程的另一个根为3 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和一元二次方程根的意义以及根与系数的关系，正确运用一元二次方程的根与系数的关系：是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可求出的值，再把代入方程可求出的值； （2）先将方程的根代入方程，求出的值，再根据一元二次方程根与系数的关系求出方程的根即可． 【详解】解：（1）∵，且 ∴ ∴； ∴关于x的一元二次方程为， ∵是方程，即的一个根， ∴， ∴； （2）设方程的另一个根为， ∵方程的一个根为1， ∴， 解得，； ∴原方程可化为：， ∴， ∴ ∴方程的另一个根为3． 21. 现在全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． （1）求一台B型空气净化器的进价为多少元？ （2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商场决定对B型空气净化器进行降价销售．经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天多卖出1台，如果每天商场销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商场应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 【答案】（1）1200元 （2）1600元 【解析】 【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解； （2）根据总利润单件利润销量列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为元， 由题意得，， 解得：， 经检验是原方程的根， 则， 答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元； 【小问2详解】 设B型空气净化器的售价为a元， 根据题意得:， 解得：， 答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元． 【点睛】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大． 22. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 23. 感知： 如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，易证：．（不需要证明） 探究： 如图②，在正方形中，，分别为边，上的点（点，不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点，，垂足为．若为中点，，，求的长． 应用： 应用：如图③，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的面积为　　　，的周长为　　　． 【答案】感知：见详解探究：；应用：， 【解析】 【分析】感知：由正方形的性质得出，，证得，由证得，即可得出结论； 探究：分别过点、作，，分别交、于点、，由正方形性质得出，，，推出四边形是平行四边形，，，证出，同理，四边形是平行四边形，，，证得，由证得，得出，推出，由为中点，得出，则，由勾股定理得出，即可得出结果； 应用：，由阴影部分的面积与正方形的面积之比为，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，由证得，得出，，则，，则，，设，，则，，由勾股定理得出，，即，得出，即可得出结果． 【详解】感知： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 探究： 解：分别过点、作，，分别交、于点、，如图②所示： 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 同理，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ； 应用： 解：， ， 阴影部分的面积与正方形的面积之比为， 阴影部分的面积为：， 空白部分的面积为：， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， 则， ， ， ， 即， ，即， 的周长为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$