精品解析：江苏省启东中学2023-2024学年高二上学期1月考试数学试题

高二数学1月考试(数学) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在R上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项等比数列中，，，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线在点处切线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点是的右支上一点，，连接与轴交于点，若(为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 8. 函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前n项和为，公差，，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，取得最大值 D. 当时，n的最大值为20 10. 对于定义在R上的可导函数，为其导数，下列说法正确的是（ ） A. 使得的x一定是函数的极值点 B. “在R上单调递增”是“在R上恒成立”的必要不充分条件 C. 函数在给定的区间上必存在最值 D. 若在R上存在极值，则它在R一定不单调 11. 下列四个命题中，正确命题有（ ） A. 当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是 B. 已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是 C. 若，则动点P的轨迹是双曲线左边一支 D. 已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是 12. 关于函数，下列判断正确的是（ ）． A. 是的极大值点 B 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______． 14. 若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是______． 15. 函数在区间上不单调，则实数 k取值范围是______. 16. 已知数列中，，其前项和满足，则_________；__________. 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知函数及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 18. 在数列中，，，． （1）证明为等比数列； （2）求. 19. 设椭圆的短轴长为4，离心率为． （1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围； （2）设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程． 20. 已知函数，. （1）当时，求函数的极值； （2）若任意且，都有成立，求实数的取值范围. 21. 已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4． （1）求点M的轨迹C的方程； （2）若曲线C上存在两点A，B关于直线对称，求直线AB的方程． 22. 已知，. （1）若是单调函数，求实数的取值范围 （2）若不等式对任意成立，求的最大整数解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学1月考试(数学) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用抛物线标准方程即可. 【详解】即，所以其焦点在y轴正半轴，坐标为， 故选:D. 【点睛】抛物线的标准方程有四个形式，注意焦点位置. 2. 已知，，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由得，即可知的轨迹为，要使圆上存在点，即圆与有交点，进而可得半径的范围. 【详解】设，则，， ∵，即， ∴，即在以原点为圆心，半径为1的圆上， 而圆的圆心为，半径为R， ∴圆上存在点，即圆与有交点， ∴. 故选：A 【点睛】关键点点睛：由及向量垂直的数量积公式即可确定的轨迹，要使圆上存在点，只需保证圆与的轨迹有交点即可. 3. 已知函数在R上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，由已知可推得恒成立，应满足，列出的不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 因为函数在R上是减函数，所以恒成立， 所以应有， 解得. 故选：B. 4. 已知正项等比数列中，，，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出等比数列的公比，结合等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】设正项等比数列的公比为，则， 所以，. 故选：B. 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案． 【详解】， 切线的斜率为， 因为切线与直线垂直，所以，解得． 故选：D． 6. 已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点是的右支上一点，，连接与轴交于点，若(为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用，结合可得，再利用双曲线的定义可得，，在中，由勾股定理可得之间的关系，再结合可得之间的关系，即可求出渐近线方程. 【详解】 设，， 因为，所以， 因为，， 所以， 由，所以， 因为，解得：，， 在中，由勾股定理可得：， 即，可得，所以， 可得，即， 所以渐近线方程为：， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分析出三角形相似，利用已知线段的关系求出，再利用双曲线的定义即可求出，. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案． 【详解】令， ， ， 在上单调递减， 又， ， 不等式可化为， ， 故选：B. 8. 函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围. 【详解】函数，因为，，所以， 故在上单调递增，所以. 又，所以在上也是单调递增，所以. 因为对任意的，总存在，使成立，等价于， 所以，解得，故实数a的范围是. 故选：D. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前n项和为，公差，，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，取得最大值 D. 当时，n的最大值为20 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出，，从而可判断AB的正误，再求出通项公式，根据其符号可判断C的正误，求出并解不等式，故可判断D的正误. 【详解】因为，故，又， 整理得到：，故，，故A错，B正确. 又， 当时，；当时，；当时，， 故当且仅当、时，取得最大值，故C错误. 又， 令，则即n的最大值为20，故D正确 故选：BD. 10. 对于定义在R上的可导函数，为其导数，下列说法正确的是（ ） A. 使得的x一定是函数的极值点 B. “在R上单调递增”是“在R上恒成立”的必要不充分条件 C. 函数在给定的区间上必存在最值 D. 若在R上存在极值，则它在R一定不单调 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据极值点和极值的定义，导数与函数单调性和极值的关系，函数最值的定义，对选项进行判断. 【详解】对于A：的x不一定是函数的极值点， 比如：，，，在R上单调递增， 但不是的极值点，故A错误； 对于B：若“在R上恒成立”则“在R上单调递增”，若“在R上单调递增”则“在R上恒成立” 故“在R上单调递增”是“在R上恒成立”的必要不充分条件，故B正确； 对于C：由最值的定义可知，函数在给定的区间上必存在最值，C正确； 对于D：根据极值点和极值的定义可以判断，若在R上存在极值，则它在R上一定不单调，故D正确． 故选：BCD. 11. 下列四个命题中，正确命题有（ ） A. 当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是 B. 已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是 C. 若，则动点P的轨迹是双曲线左边一支 D. 已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求出点的坐标即可判断；对于B，根据条件可得，即可判断；对于C，根据双曲线的定义与性质即可判断；对于D，得到，然后即可判断. 【详解】对于A，当a为任意实数时，直线恒过定点P， 因为方程可化为， 令，则，所以， 设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为，根据点位于第二象限知， 代入点得，解得，所以标准方程为，故A正确； 对于B，由双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为， 则，，，解得， 故双曲线的标准方程是，故B正确； 对于C，因为，则， 则动点P的轨迹是双曲线右边一支，故C错误； 对于D，根据题意，双曲线，其离心率， 即，则，故D正确. 故选：ABD. 12. 关于函数，下列判断正确的是（ ）． A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则． 【答案】BD 【解析】 【分析】求导后讨论单调性可判断A；求导后讨论的单调性，利用零点存在定理判断B；利用常数分离法，构造函数，利用导数分析得的单调性可判断C；利用极值点偏移问题的解法求解，从而可判断D. 【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数， 所以在内，，函数单调递减； 在上，，函数单调递增， 所以是的极小值点，故A错误； 对于选项B，由，得， 由于分子判别式小于零，所以恒成立， 所以函数在，上单调递减， 且， 所以函数有且只有1个零点，故B正确； 对于选项C，若，可得， 令，则， 令，则， 所以在内，，函数单调递增； 在上，，函数单调递减， 所以，所以， 所以函数在上单调递减． 又因为当时，， 所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确； 对于选项D，设，即有， ，即为， 化为， 故，所以， 则， 设（），可得， 令，则在上恒成立， 可得，所以，故单调递增， 可得，故成立，故D正确． 故选：BD. 【点睛】方法点睛： （1）函数极值点与零点可用导数分析单调性后再结合具体函数值分析； （2）对于含参数的函数不等式恒成立问题可分离参数后求导，分析单调性再求参数的范围； （3）极值点平移问题，先构造函数求导，再赋值，最后可得 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围，进而求出倾斜角的范围即可. 【详解】解：如图所示： 设直线过点时直线的斜率为，直线过点时直线的斜率为， 则，，， 所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：, 所以倾斜角的取值范围. 故答案为：. 【点睛】本题考查了求直线的斜率问题，斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的思想，是一道基础题. 14. 若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分类，讨论函数单调性，求出极值点，根据极值点大于零求解可得. 【详解】 当时，，此时在R上单调递增，无极值； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数存在极小值点， 依题意，，解得， 所以，实数a的取值范围是． 故答案为： 15. 函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及导函数的符号与函数的单调性的关系，把问题转化为二次函数的零点分布问题求解. 【详解】函数求导， 因为在区间上不单调，所以在区间内有零点. 又因为为偶函数，所以在上最多只有1个根. ，因为，， 所以. 故答案为： 16. 已知数列中，，其前项和满足，则_________；__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令，代入即可得第一空答案；结合已知条件及，可得是一个以2为首项，1为公差的等差数列，求出通项公式即可得第二空答案. 【详解】因为， 令，则， 即， 得，解得； 由，， 可得， 化简得， 即，， 所以是一个以2为首项，1为公差的等差数列， ，， 所以. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：在涉及与的题目时，要充分利用前和的定义及. 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知函数在及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.进而根据导函数的符号，检验即可得出答案； （2）根据（1）求出的极值，结合三次函数的图象，可知，求解即可得出c的取值范围． 【小问1详解】 由题意得， 函数在及处取得极值， 得，解得. 此时，. 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. 【小问2详解】 由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值． 又有三个不同的实根， 由图象知，解得， 所以实数c的取值范围是． 18. 在数列中，，，． （1）证明为等比数列； （2）求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列定义即可证明； （2）由（1）可得，从而得到，最后用累加法即可求出，同时验证是否满足即可． 【小问1详解】 证明：由得， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ，即， ，，， 用累加法即可得， 即， ， 又也满足上式， ． 19. 设椭圆的短轴长为4，离心率为． （1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围； （2）设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题目条件可以求出，的值，然后写出椭圆的方程，联立直线方程与椭圆方程，使求解； （2）采用点差法求解出斜率，然后写出直线的方程. 【详解】解：（1）因为离心率，所以， 又因为椭圆的短半轴长， 所以，即椭圆方程为， 联立得， 因为直线与椭圆有公共点， 所以， 即，解得． （2）设，由在椭圆内， 过点的直线与椭圆有两个交点, 再由椭圆的对称性可确定直线的斜率一定存在. 则， 整理得： 所以斜率，所以直线的方程为． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系及中点弦问题，难度一般.解答直线与椭圆的位置关系一般需要联立直线方程与曲线方程，根据判断，中点弦问题可以采用点差法求解. 20. 已知函数，. （1）当时，求函数的极值； （2）若任意且，都有成立，求实数取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）不妨令，则问题等价于，令，只需证明在单调递增，问题等价于在时恒成立，参变分离得到，，再构造函数，利用导数求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 解：当时，，． 则，令，解得或， 又因为，所以． 列表如下： x 2 单调递减 极小值 单调递增 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值． 【小问2详解】 解：因，， 所以，， 若对任意且恒成立 不妨令，则 ， 令，只需证明在单调递增， 因为，则， 所以在时恒成立，即，， 令，，则， 因为，所以令，解得，令，解得， 从而在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时取到最大值，所以实数的取值范围是． 【点睛】思路点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 21. 已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4． （1）求点M的轨迹C的方程； （2）若曲线C上存在两点A，B关于直线对称，求直线AB的方程． 【答案】（1）点M的轨迹方程为； （2）直线AB的方程为． 【解析】 【详解】（1）分析可知点M不可能在y轴的左侧，即M到点的距离等于M到直线的距离，∴M的轨迹是抛物线，为焦点，为准线，∴M的轨迹方程是：． （2）设，则，，相减得：， 又的斜率为-4，则，∴， ∴AB中点的坐标为，：，即， 经检验，此时，与抛物线有两个不同交点，满足题意． 22. 已知，. （1）若是单调函数，求实数的取值范围 （2）若不等式对任意成立，求的最大整数解 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得是单调函数，只需或恒成立即可； （2）利用分离参数法，将不等式变形，令新函数，再根据导数判断函数的单调性进而求出最值，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以， 令，由导数的几何意义可得要使在是单调函数，只需在内满足或恒成立，即或即可， 显然在上单调递增，且，没有最大值， 所以，解得. 【小问2详解】 当时，可转化为， 令，则，记，当时，， 所以为上的增函数，且，， 所以存在使得，即， 所以在上递减，在上递增， 且， 因为，所以， 所以，， 所以的最大整数解为9 【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$