专题02 全等三角形【6大经典基础题+4大优选提升题】-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题02 全等三角形 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 图形全等 · 题型02、 全等三角形的性质 · 题型03、 添加条件使三角形全等 · 题型04、 全等三角形的判定 · 题型05、角平分线的性质 · 题型06、尺规作图（角平分线） 【优选提升题】 · 题型01、全等三角形的动点问题 · 题型02角平分线的综合性质应用 · 题型03、全等三角形的性质与判定 · 题型04、全等三角形的模型 图形全等 1．（21-22八年级上·广东珠海·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·广东东莞·期中）如图，下列哪个图形与第一个图形全等（    ） A．B．C． D． 全等三角形的性质 3．（14-15八年级上·广东云浮·期中）下列语句：①面积相等的两个三角形全等； ②两个等边三角形一定是全等图形；③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同； ④边数相同的图形一定能互相重合．其中错误的说法有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，，点A和点B，点C和点D是对应点，如果cm，cm，cm，那么的长是（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 5．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，点A和点，点B和点是对应点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·广东潮州·期中）如图，，若，，则的长度为（　　）    A．20 B．13 C．7 D．6 7．（22-23八年级下·广东云浮·期中）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，．若，则的度数为（        ）    A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，已知，则 ． 添加条件使三角形全等 9．（23-24八年级上·广东东莞·期中）已知：如图和中，，要使，则下列添加的条件错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点P是上任意一点，，还应补充一个条件，才能推出．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ）    A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件使得，你添加的条件是： ． 13．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，已知，要使需要添加的一个条件是 ． 全等三角形的判定 14．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点、间的距离，作线段与相交于点，使，，只要测得、之间的距离，就可知道、间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（填、、、中的一种） ． 15．（23-24八年级下·广东茂名·期中）已知：如图，，垂足分别为与相交于点P． 求证：． 16．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求证：． 17．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，，分别是的边，上的高，且，． 求证： (1)； (2)． 18．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知在中，D是上一点，点F、G都在上，，，连接，分别延长，，且它们相交于点E． (1)求证：； (2)若，点F，G是上的三等分点，，，求的周长． 19．（21-22八年级上·广东汕尾·期末）如图，，，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)猜想线段之间具有怎样的数量关系，并说明理由． 20．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，于，点在边上． (1)求证：； (2)若，，且的面积等于，求的长； (3)若，直接写出线段，，的数量关系： ． 角平分线的性质 21．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．18 22．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，是的平分线，于E，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的有（    ） ①的面积的面积；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 24．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 25．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 尺规作图（角平分线） 26．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的大小为 度． 27．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，， (1)尺规作图：求作的平分线，交边于点D（不写作法，但要保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 28．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，在中，． (1)作的平分线，交BC于D． (2)若，，求的面积． 29．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，在中， (1)求作的平分线，与交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，，求的面积． (3)若，，求和的面积之比． 30．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知，．    (1)请用直尺和圆规作使所画三角形与全等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求作线段，使平分，交于点D； (3)若，，求的面积． 全等三角形的动点问题 31．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，垂足为C， 射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足 ，随着 P点运动而运动，当点P运动时间t为 秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等（）． 32．（21-22八年级上·河北沧州·期中）如图，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动（当点P运动结束时，点Q运动随之结束），当点Q的运动速度为 ，有与全等． 33．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，中，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当t＝ 秒时，与全等． 角平分线的综合性质应用 34．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线，交边于点D．则的度数为（ ） A． B． C． D． 35．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（　　）    A．3 B．2 C．1 D．0 36．（22-23八年级下·广东东莞·期中）如图，在的边，上取点M，N，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是8，则的长是 ． 37．（22-23八年级上·广东河源·期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接，；④过点作交于点，连接，则．其中正确的结论有 ． 38．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 39．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，从点O引射线，，点A，B分别在射线，上，点C为平面内一点，连接，，有． (1)如图1，若，则和的位置关系是______； (2)如图2，若，，请求出和的度数的等量关系式； (3)在（2）的条件下，过点C作交射线于点D，当时，求的度数． 全等三角形的性质与判定 40．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求度数； (2)求证：； (3)猜想线段的数量关系，并证明． 41．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由； (2)若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？ (3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 42．（23-24八年级上·广东广州·期中）等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 43．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知：平面直角坐标系中，点的坐标满足． (1)如图1，求证：是第一象限的角平分线； (2)如图2，过作的垂线，交轴正半轴于点，点分别从两点同时出发，在线段上以相同的速度相向运动(不包括点和点)，过作交轴于点，连，猜想与之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，是轴正半轴上一个动点，连接，过点作交轴正半轴于点，连接，过点点作的角平分线交于点，过点作轴于点，求的值． 全等三角形的模型 44．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，中线，则AB边的取值范围是(    ) A． B． C． D． 45．（19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，斜边BC绕点B逆时针方向旋转90°至BD的位置，连接AD，则AD的长是（    ） A． B． C． D． 46．（17-18八年级上·广东·期中）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 47．（20-21八年级下·广东深圳·期中）如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S四边形ODBE＝S△ABC；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3．上述结论中正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、解答题 48．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图1，在 中，是边上的中线，和的周长之差为，且的长是．    (1)求的长； (2)求长度的取值范围； (3)若，是的中点，如图，直接写出的面积． 49．（21-22八年级上·贵州铜仁）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 50．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过点，分别作，，垂足分别为点和，，． (1)求证：；求的长； (2)如图，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着边运动，到终点，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着线运动，到终点．，两点同时出发，运动时间为秒，当点到达终点时，两点同时停止运动，过点作于点，过点作于点； 当点在线段上时，用含有的代数式表示线段的长度； 当与全等时，求的值． 51．（23-24八年级上·广东惠州·期中）综合探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接并延长交于点P；    (1)求证：； (2)求证：． (3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，是否还与全等？那么与的位置关系是否发生变化？说明理由． 52．（23-24八年级上·广东云浮·期中）综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．    (1)【初步探究】请你探究线段之间的数量关系； (2)【全等模型】如图②，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为 ； (3)【类比探究】如图③，在中，，直线经过点A，E，D，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 图形全等 · 题型02、 全等三角形的性质 · 题型03、 添加条件使三角形全等 · 题型04、 全等三角形的判定 · 题型05、角平分线的性质 · 题型06、尺规作图（角平分线） 【优选提升题】 · 题型01、全等三角形的动点问题 · 题型02角平分线的综合性质应用 · 题型03、全等三角形的性质与判定 · 题型04、全等三角形的模型 图形全等 1．（21-22八年级上·广东珠海·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题． 2．（21-22八年级上·广东东莞·期中）如图，下列哪个图形与第一个图形全等（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】认真观察图形，根据全等形的定义，能够重合的图形是全等形，可得答案． 【详解】解：观察图形可知： 第一个图形其中一个箭头指向多边形突出的顶点， 另一个箭头指向多边形凹陷的顶点，即能够完全重合， ∴符合条件的图形为： 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等图形，属于较容易的基础题，做题时要认真观察图形，同时还要想到是否能够重合． 全等三角形的性质 3．（14-15八年级上·广东云浮·期中）下列语句：①面积相等的两个三角形全等； ②两个等边三角形一定是全等图形；③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同； ④边数相同的图形一定能互相重合．其中错误的说法有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】试题分析：①面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； ②两个等边三角形一定是相似图形，但不一定全等，故本选项错误； ③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同，符合全等形的定义，正确； ④边数相同的图形不一定能互相重合，故本选项错误； 综上可得错误的说法有①②④共3个． 故选B． 考点：全等图形． 4．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，，点A和点B，点C和点D是对应点，如果cm，cm，cm，那么的长是（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【分析】直接根据全等三角形的性质求解；本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 【详解】解：∵， 和是对应边 ∴cm． 故选：B． 5．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，点A和点，点B和点是对应点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：B． 6．（22-23八年级上·广东潮州·期中）如图，，若，，则的长度为（　　）    A．20 B．13 C．7 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握对应边相等的性质是关键．由全等的性质可得，，则由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】解：， ∴，， ， 故选：D． 7．（22-23八年级下·广东云浮·期中）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，．若，则的度数为（        ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角形内角和定理求出，再利用全等三角形对应角相等即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等和三角形内角和是是解题的关键． 8．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，已知，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查的全等三角形中对应角的关系，理解全等三角形中对应角相等，找出角与角的和差关系．根据可求出，从而，即可得到． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 添加条件使三角形全等 9．（23-24八年级上·广东东莞·期中）已知：如图和中，，要使，则下列添加的条件错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由三角形全等的判定方法、，判断出A、B正确，由直角三角形全等的判定方法得出D正确，从而得到答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】解：A、在和中， ， ，故A正确，不符合题意； B、在和中， ， ，故B正确，不符合题意； C、由，，，不能判定，故C错误，符合题意； D、， 和是直角三角形， 在和中， ， ，故C正确， 不符合题意； 故选：C． 10．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据选项逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵在和中，， A.添加，可以根据证明，不符合题意； B. 添加，可以根据证明，不符合题意； C. 添加，只有两个条件，不能证明，符合题意； D. 添加，可以根据证明，不符合题意． 故选：C． 11．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点P是上任意一点，，还应补充一个条件，才能推出．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，根据题意，，是公共边，结合选项，逐个验证得出正确结果．解题的关键是掌握全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】解：A、补充， 又∵，， ∴，不符合题意； B、补充，不能推出，符合题意； C、补充， 又∵，， ∴，不符合题意； D、补充， 又∵，， ∴，不符合题意； 故选：B． 12．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件使得，你添加的条件是： ． 【答案】或或．（选择其一作答即可） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据题意要证明已有一个公共角和一对相等边，因此可以利用、、证明两三角形全等． 【详解】解：， 可以添加，此时满足； 可以添加，此时满足； 可以添加，此时满足； 故答案为：或或．（选择其一作答即可） 13．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，已知，要使需要添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，根据题中给出的条件，，再添加即可利用证明． 【详解】解：，， 当时，， 故答案为：（答案不唯一）． 全等三角形的判定 14．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点、间的距离，作线段与相交于点，使，，只要测得、之间的距离，就可知道、间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（填、、、中的一种） ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 根据证明即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·广东茂名·期中）已知：如图，，垂足分别为与相交于点P． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线；连结，先证根据，证明，得，再根据，证明，得，进而可证； 【详解】证明：连接， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ； 16．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过得出． 根据可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 17．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，，分别是的边，上的高，且，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据题意易得，，则，即可根据判定； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，分别是的边，上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是的边上的高， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知在中，D是上一点，点F、G都在上，，，连接，分别延长，，且它们相交于点E． (1)求证：； (2)若，点F，G是上的三等分点，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识点并灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用平行线性质可得，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再利用平行线性质及等腰三角形的性质可推出，则可求得，由点，是上的三等分点得，即可求得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴ 在和中， ∴． （2）解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点，是上的三等分点，， ∴， ∴的周长 19．（21-22八年级上·广东汕尾·期末）如图，，，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)猜想线段之间具有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：， 理由如下：∵， ∴， ∴． 20．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，于，点在边上． (1)求证：； (2)若，，且的面积等于，求的长； (3)若，直接写出线段，，的数量关系： ． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由，那么，利用可证，由全等三角形的性质即可得出； （）求出的面积，由，证得，然后根据即可求得； （）由，，根据，即可得出结论； 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 【详解】（1）∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（）得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵，， ∴． 角平分线的性质 21．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E，    ∵平分，，， ， ， ∴的面积为：， 故选：C． 22．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，是的平分线，于E，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，再根据，即可解答． 【详解】解：过点D作于点F， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 23．（23-24八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的有（    ） ①的面积的面积；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可． 【详解】是中线， 的面积的面积(等底等高的三角形的面积相等)，故①正确； 是角平分线， ， 为高， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； 为高， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 即，故③正确； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误； 因此正确的有：①②③，个 故选：C 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 24．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．结合垂直定义以及四边形内角和360度，进行列式计算即可．本题考查了角平分线的性质，熟记在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：，，， 点在的平分线上， ∴． ∴ ∴ 故答案为： 25．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定，过点E作于F，先由线段中点的定义得到，再由角平分线的性质得到，则，据此根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】证明：如图所示，过点E作于F， ∵E是的中点， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴是的平分线． 尺规作图（角平分线） 26．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的大小为 度． 【答案】30 【分析】本题考查基本作图--角平分线，以及平行线的性质．根据作图得到平分，平行，得到，，即可得解． 【详解】解：由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：30． 27．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，， (1)尺规作图：求作的平分线，交边于点D（不写作法，但要保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作角平分线以及角平分线的性质，勾股定理： （1）以点A为圆心，适当长为半径画弧与的两边交于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间的距离的一半，画弧，相交于一点，再连接点A与该点，并延长与边交于一点，即为点D； （2）根据角平分线的性质，得，根据勾股定理，解得，根据面积公式以及面积不变进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求； （2）解：过D作于点H． ∵AD平分，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，在中，． (1)作的平分线，交BC于D． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查角平分线的作法，角平分线的性质定理： （1）根据角平分线的作法，利用尺规作图即可； （2）作于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，推出，再根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，作于点E， ， ， 又 平分，， ， ． 29．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，在中， (1)求作的平分线，与交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，，求的面积． (3)若，，求和的面积之比． 【答案】(1)见解析 (2)30 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，尺规作一个角的平分线，三角形面积的计算； （1）根据角平分线的一般作图方法进行解答即可； （2）过点D作于点E，根据角平分线的性质求出，根据三角形面积公式得出； （3）根据的面积，的面积，根据角平分线的性质得出，即可得出答案． 解题的关键是熟练掌握角平分线的性质． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：过点D作于点E，如图2所示：    平分∠BAC，， ， 的面积； （3）解：的面积， 的面积，， 和的面积之比等于． 30．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知，．    (1)请用直尺和圆规作使所画三角形与全等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求作线段，使平分，交于点D； (3)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图—三角形，作角平分线，角平分线的性质： （1）取，以点为圆心，取为半径画弧，以点为圆心，取的长为半径画弧，两弧相交于一点，即为，连接，即可； （2）以点A为圆心，画弧分别交，于一点M，N，再以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于一点，即为，连接，并延长交于于一点，即为点D； （3）过点D作，由（2）知平分，根据角平分线的性质即可作答；正确掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：线段如图所示：    （3）解：过点D作，    由（2）知平分 因为， 所以 则 全等三角形的动点问题 31．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，垂足为C， 射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足 ，随着 P点运动而运动，当点P运动时间t为 秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等（）． 【答案】6或12或18 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，此题要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上，时，， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ②当P在线段上，时，， 这时，因此时间为0秒， ，故不合题意舍去； ③当P在上，时，， ， 点P的运动时间为（秒）； ④当P在上，时，， ， 点P的运动时间为（秒）， ∴点P的运动时间为6或12或18， 故答案为：6或12或18． 32．（21-22八年级上·河北沧州·期中）如图，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动（当点P运动结束时，点Q运动随之结束），当点Q的运动速度为 ，有与全等． 【答案】2或 【分析】分两种情形：①当△ACP≌△BPQ时，可得：AP=BQ；②当△ACP≌△BQP时，AC=BQ=7，AP=BP=分别求解即可． 【详解】解：①当△ACP≌△BPQ时，可得：AP=BQ， ∴点P、Q的运动路程相同， 又∵当点P运动结束时，点Q随之结束运动，即运动时间相同， ∴点P，Q的运动速度也相同， ∴Q的运动速度是2cm/s ②当△ACP≌△BQP时， 则AP=BP，AC=BQ=7cm， ∴点P是AB的中点， 又∵AB=9cm，AC=7cm， ∴AP=， ∴， 又∵点P，Q的运动时间也相同， ∴点Q与点P的速度之比是：， 又∵ ∴ 故答案为：2或． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题． 33．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，中，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当t＝ 秒时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况；根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，， ∵， ∴， 当， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 角平分线的综合性质应用 34．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线，交边于点D．则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键． 由作图方法可得是的角平分线，进而根据，求得，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 35．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（　　）    A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】作于E，于F，根据平分可知，结合即可证明．根据图中各角的数量关系可得，进而还可证明；利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断①的正误．根据全等三角形的性质得到，据此可得定值，还可判断③的正误； 【详解】解：如图，作于E，于F．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于E，于F， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，故①正确． ∴定值，故③正确． ∴定值，故②正确． 故选：A． 【点睛】本题侧重考查角平分线的题目，需要掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 36．（22-23八年级下·广东东莞·期中）如图，在的边，上取点M，N，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是8，则的长是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，利用角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积求出，再利用的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，   平分，，， ， 平分，，， ， ， ，的面积是2， ， ， ， 的面积是8， 的面积的面积的面积， ， ， 故答案为：10． 37．（22-23八年级上·广东河源·期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接，；④过点作交于点，连接，则．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】①根据证明；②由，得到角相等，从而推出；③连接，过点D作，过点D作，根据角平分线的性质，即可判断；④无法证明，从而无法证明． 【详解】∵在与中， ， ∴ 故①正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故②正确； 如图，连接，过点D作，过点D作， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵，， ∴是的角平分线 ∵ ∴ ∴ 故③正确； 如图，过点作交于点，连接， 若 ∵ 则 ∵ 则 若， 则 ∵ ∴ ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 故④错误． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，解题的关键是能够根据题目条件，进行推论，能够作出辅助线连接，过点D作，过点D作． 38．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【详解】（1） ， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， ，平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 39．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，从点O引射线，，点A，B分别在射线，上，点C为平面内一点，连接，，有． (1)如图1，若，则和的位置关系是______； (2)如图2，若，，请求出和的度数的等量关系式； (3)在（2）的条件下，过点C作交射线于点D，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质、三角形的外角性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，结合题意判定，根据全等三角形的性质得出，即可判定； （2）根据全等三角形的性质及题意得到，再利用三角形内角和定理及三角形外角性质即可得解； （3）根据三角形外角性质、平行线的性质及题意即可得解． 【详解】（1）证明：，过程如下 ， ， 在和中， ， ， ， ∴； （2）解：，理由如下： 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， 由（2）得，， ， ． 全等三角形的性质与判定 40．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求度数； (2)求证：； (3)猜想线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理； （1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）中结论得到，利用定理证明≌； （3）延长交于，分别证明 、 ，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）解：， ， 是的角平分线， ， ， （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ∴； （3）解：， 证明如下：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 41．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由； (2)若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？ (3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】(1)全等，见解析 (2) (3)秒，点P与点Q在上第一次相遇 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． （1）由“”可证； （2）根据全等三角形的性质得出 ，则可得出答案； （3）由题意列出方程，解方程可得出答案． 【详解】（1）解：全等，理由如下： ，点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ， ，点D为的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）解：点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 与不是对应边， 即， ，且， 则 ， 点P，点Q运动的时间， ， （3）解：设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得， 解得， 点P运动， ， 点P与点Q在上第一次相遇． 42．（23-24八年级上·广东广州·期中）等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析． 【分析】（1）过点作轴于点，通过证明，得到，，即可求解， （2）在上截取，连接，通过证明，得到，，通过证明，，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形，， ，，， ， 在和中，， ， ，， ， ， 故答案为：， （2）解：在上截取，连接， 由对称性得，， ， ， 是的平分线， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：． 43．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知：平面直角坐标系中，点的坐标满足． (1)如图1，求证：是第一象限的角平分线； (2)如图2，过作的垂线，交轴正半轴于点，点分别从两点同时出发，在线段上以相同的速度相向运动(不包括点和点)，过作交轴于点，连，猜想与之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，是轴正半轴上一个动点，连接，过点作交轴正半轴于点，连接，过点点作的角平分线交于点，过点作轴于点，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据非负性得出，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为进而利用角平分线的性质解答即可； （2）过作平分，交于点，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （3）过作，于，根据全等三角形的判定和性质解答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 如图1，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，则 ∴平分 即是第一象限的角平分线． （2）解：如图2，过作平分，交于点 ∴ ∵ ∴ 在与中 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 设与交于 ∴ ∴ （3）如图3，过作，于，连接 ∵点是的角平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， 在和中， ∴ ∴ 过作轴于轴于， ∵为角平分线， ∴， ∵ ∴， ， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是全等三角形性质和判定的运用． 全等三角形的模型 44．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，中线，则AB边的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长至，使，然后利用边角边证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵是的中线， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系定理，遇中线，加倍延构造出全等三角形是解题的关键． 45．（19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，斜边BC绕点B逆时针方向旋转90°至BD的位置，连接AD，则AD的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D做AC的平行线与AB的延长线交于点E，然后证明,进而把边等量代换掉，在根据勾股定理求出AD长即可. 【详解】解：过点D做AC的平行线与AB的延长线交于点E， 如图所示： ,且, , 在和中： , , , , 中，根据勾股定理得： , 即：, 故选：B. 【点睛】本题考查三角形全等的知识点，解题关键在于辅助线的构造. 46．（17-18八年级上·广东·期中）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS定理判断③；根据全等三角形的性质、三角形的三边关系判断④． 【详解】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB， ∴△ADC≌△AFB，①正确； ∵EA与DA不一定相等， ∴△ABE与△ACD不一定全等，②错误； ∵∠FAD＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝∠DAE＝45°， 在△AED和△AEF中， ∴△AED≌△AEF，③正确； ∵△ADC≌△AFB， ∴BF＝CD， ∵BE＋BF＞DE ∴BE＋DC＞DE，④错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、旋转变换，掌握全等三角形的判定定理与性质定理、图形旋转的性质等知识是解题的关键． 47．（20-21八年级下·广东深圳·期中）如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S四边形ODBE＝S△ABC；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3．上述结论中正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①通过证明△BOD≌△COE可得结论；②根据①的结论可以推出；③S△ODE随OE的变化而变化；④当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长的最小值为2+OE． 【详解】连接OB、OC，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵点O是△ABC的中心， ∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°， 而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°， ∴∠BOD＝∠COE， 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（ASA）， ∴BD＝CE，OD＝OE， ∴①正确； ∵△BOD≌△COE， ∴S△BOD＝S△COE， ∴四边形ODBE的面积＝S△OBC═S△ABC， 故②正确； 作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH， ∵∠DOE＝120°， ∴∠ODE＝∠OEH＝30°， ∴OH＝OE，HE＝OH＝OE， ∴DE＝OE， ∴S△ODE＝×OE×OE＝OE2， 即S△ODE随OE的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ∴S△ODE≠S△BDE； 故③错误； ∵BD＝CE， ∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝2+DE＝2+OE， 当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝， ∴△BDE周长的最小值＝2+1＝3， 故④正确． 综上所述，正确的有①②④共3个． 故选C．    【点睛】本题考查了等边角形性质，图形的旋转，三角形全等，勾股定理，动点问题，熟练等边三角的性质是解题的关键． 二、解答题 48．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图1，在 中，是边上的中线，和的周长之差为，且的长是．    (1)求的长； (2)求长度的取值范围； (3)若，是的中点，如图，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，全等三角形的性质与判定； （1）根据三角形的中线的性质，得出，根据题意得出，即可求解； （2）倍长中线，延长至，使得，连接，证明，得出，，进而根据三角形的三边关系，即可求解． （3）根据三角形的面积公式求得，进而根据三角形的中线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， ∵和的周长之差为， ∴， ∵的长是． ∴； （2）解：如图所示，延长至，使得，连接，    ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴ ∴， 在中，，即 ∵， ∴ （3）解：∵， ∴ ∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． 49．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 50．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过点，分别作，，垂足分别为点和，，． (1)求证：；求的长； (2)如图，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着边运动，到终点，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着线运动，到终点．，两点同时出发，运动时间为秒，当点到达终点时，两点同时停止运动，过点作于点，过点作于点； 当点在线段上时，用含有的代数式表示线段的长度； 当与全等时，求的值． 【答案】(1)见解析； ； (2) ； 等于或． 【分析】（）先证明，由即可得出； 由全等三角形的性质得出，，即可得出； （）当点在线段上时，根据即可得出答案； 分两种情况：当点在线段上时，，则，得，解得；当点在线段上时，，则，解得；即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 由得：， ∴，， ∴； （2）当点在线段上时，如图所示： ； 分两种情况：当点在线段上时，， ∴， ∴，解得：； 当点在线段上时，， 即点与重合，，则，解得：； 综上所述，当与全等时，则等于或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 51．（23-24八年级上·广东惠州·期中）综合探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接并延长交于点P；    (1)求证：； (2)求证：． (3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，是否还与全等？那么与的位置关系是否发生变化？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，不发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点．掌握全等三角形的判定定理内容是解题关键． （1）由条件推出，即可求证； （2）由推出，即可求证； （3）根据证即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：，不发生变化，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 52．（23-24八年级上·广东云浮·期中）综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．    (1)【初步探究】请你探究线段之间的数量关系； (2)【全等模型】如图②，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为 ； (3)【类比探究】如图③，在中，，直线经过点A，E，D，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）证明，根据全等三角形对应边相等即可得到结论； （2）证明，则，，即可得到； （3）证明，则，，由即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∵， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 即， 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． ( 72 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$