专题4.6 数列的求和【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.6 数列的求和【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 2 【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 3 【题型3 错位相减法求和】 4 【题型4 裂项相消法求和】 5 【题型5 倒序相加法求和】 5 【题型6 分组（并项）法求和】 7 【题型7 放缩裂项求和】 8 【题型8 新定义、新情景下的数列求和】 9 【知识点1 数列求和的几种常用方法】 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： =. 2．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 5．倒序相加法 如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 6．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 【例1】（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）已知是数列的前项和，数列是公差为1的等差数列，则（    ） A．480 B．479 C．291 D．290 【变式1-1】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知等差数列，，其前项和为，若，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 【变式1-2】（2024·四川达州·二模）等差数列的前项和为，当和5时，取得最大值． (1)求； (2)若为等比数列，，求通项公式． 【变式1-3】（2024·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 【例2】（24-25高三上·湖南·开学考试）若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（    ） A． B．43 C． D．47 【变式2-1】（23-24高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知}是各项均为正数的等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列前n项和． 【变式2-3】（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列中，，且满足，设，. (1)求，证明数列是等比数列； (2)求及数列的前n项和. 【题型3 错位相减法求和】 【例3】（23-24高二下·四川达州·期中）在数列中，若，且对任意有，则数列的前30项和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·广东肇庆·期中）已知数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知等比数列的各项均为正数，且． (1)求的通项公式； (2)令，记，求． 【变式3-3】（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知数列是首项为3，公比为9的等比数列，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【题型4 裂项相消法求和】 【例4】（24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024高二·全国·专题练习）为等差数列的前项和．已知． (1)求的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 【变式4-3】（2024·四川泸州·二模）已知等差数列的前n项和为． (1)求的通项公式； (2)数列满足为数列的前n项和，求的值. 【题型5 倒序相加法求和】 【例5】（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【变式5-1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【变式5-2】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求数列的前99项的和的值． 【变式5-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)令，求数列的前2020项和. 【题型6 分组（并项）法求和】 【例6】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列满足. (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式. (2)设，求数列的前n项和. 【变式6-1】（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知递增等差数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 【变式6-2】（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知数列满足，且. (1)设，求数列的通项公式； (2)求数列的前30项的和. 【变式6-3】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)从数列中剔除第1项，第4项，第7项，，第项后，将剩下的项保持顺序不变组成一个新数列，求数列的前项和． 【题型7 放缩裂项求和】 【例7】（23-24高二下·安徽·期中）已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【变式7-1】（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知正项数列满足，，且对于任意，满足． (1)求出数列的通项公式； (2)设，证明：数列的前n项和； (3)设，证明：． 【变式7-2】（23-24高二下·天津·期中）已知是公差为1的等差数列，其前8项和为36．是公比大于0的等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)记，求的前项和； (3)证明． 【变式7-3】（23-24高二下·山东烟台·期末）已知数列是等差数列，且，数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，证明：. 【题型8 新定义、新情景下的数列求和】 【例8】（23-24高二下·陕西渭南·期末）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和； (2)若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和. 【变式8-1】（24-25高三上·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”. (1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列. (2)已知. （i）证明：数列为“线性数列”. （ii）记，数列的前项和为，证明：. 【变式8-2】（23-24高二下·辽宁本溪·期末）在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项. (1)若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”； (2)若满足，且为等比数列，的“次生数列”为. （i）求的值； （ii）求的前项和. 【变式8-3】（24-25高三上·广东·阶段练习）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.6 数列的求和【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 2 【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 4 【题型3 错位相减法求和】 6 【题型4 裂项相消法求和】 8 【题型5 倒序相加法求和】 10 【题型6 分组（并项）法求和】 14 【题型7 放缩裂项求和】 17 【题型8 新定义、新情景下的数列求和】 21 【知识点1 数列求和的几种常用方法】 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： =. 2．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 5．倒序相加法 如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 6．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 【例1】（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）已知是数列的前项和，数列是公差为1的等差数列，则（    ） A．480 B．479 C．291 D．290 【解题思路】令，根据题意求得，结合，利用等差数列的求和公式，即可求解. 【解答过程】因为是数列的前项和， 且数列是公差为1的等差数列， 令，可得，所以， 所以 . 故选：A. 【变式1-1】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知等差数列，，其前项和为，若，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 【解题思路】借助等差数列求和公式结合题意计算可得的公差，即可得. 【解答过程】设数列的公差为，则， 故， ， 故，则. 故选：A. 【变式1-2】（2024·四川达州·二模）等差数列的前项和为，当和5时，取得最大值． (1)求； (2)若为等比数列，，求通项公式． 【解题思路】（1）设出公差，由题目条件得到，求出公差，从而得到； （2）计算出，得到公比，得到通项公式. 【解答过程】（1）设等差数列公差为，， ，即， ，． （2）由（1）得， ，， 数列公比为， ． 【变式1-3】（2024·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，然后由等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【解答过程】（1）证明：设等差数列的公差为， ，． ． 是等差数列． （2）， 数列的首项为2，第四项为． 数列的公差． ． 【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 【例2】（24-25高三上·湖南·开学考试）若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（    ） A． B．43 C． D．47 【解题思路】证明两等比数列的和数列仍为等比数列，再由等比数列求和公式可得. 【解答过程】因为两个等比数列的公比相等，设为， 则，且， 故，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 由，得 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的前7项和． 故选：B. 【变式2-1】（23-24高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案. 【解答过程】设等比数列的公比为q， 则由，，得， 解得， 故， 故选：B. 【变式2-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知}是各项均为正数的等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列前n项和． 【解题思路】（1）根据条件求等比数列的公比，再写出通项公式； （2）代入等比数列前项和公式，即可求解. 【解答过程】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，， 所以令数列的公比为q，，， 所以，解得（舍去）或4， 所以数列是首项为2、公比为4的等比数列，． （2）因为， 求和可得：． 【变式2-3】（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列中，，且满足，设，. (1)求，证明数列是等比数列； (2)求及数列的前n项和. 【解题思路】（1）直接代入计算可得，由等比数列的定义可得证明； （2）由等比数列的通项公式、求和公式，计算可得所求． 【解答过程】（1）由数列中，，且满足，设， 可得； 由，可得，即， 则数列是首项和公比均为2的等比数列； （2）由（1）可得，则． 【题型3 错位相减法求和】 【例3】（23-24高二下·四川达州·期中）在数列中，若，且对任意有，则数列的前30项和为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由累乘法求出，再由错位相减法求出数列的前项和为，即可求出. 【解答过程】因为任意有 ， 所以， ，，……，， 上式累乘可得：， 因为，所以， 设数列的前项和为， ， ， ， 两式相减可得：， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 【变式3-1】（23-24高二下·广东肇庆·期中）已知数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用构造法求得，利用错位相减求和法求得正确答案. 【解答过程】依题意，，，则， ， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，其前项和①， 则②， 两式相减得 ， 所以. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知等比数列的各项均为正数，且． (1)求的通项公式； (2)令，记，求． 【解题思路】（1）根据给定条件，求出数列的首项及公比即可求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【解答过程】（1）设正项等比数列的公比为，由，得， 解得，所以的通项公式为. （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 【变式3-3】（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知数列是首项为3，公比为9的等比数列，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解题思路】（1）利用等比数列的通项公式可得，利用数列的递推式作差可得，从而得解； （2）由（1）求得，再利用错位相减法即可得解. 【解答过程】（1）因为数列是首项为3，公比为9的等比数列， 所以，所以， 由， 得当时，， 两式相减，得，即， 又当时，也符合， 所以. （2）设， 则 ， 故.， 两式作差得 ， 即， 所以. 【题型4 裂项相消法求和】 【例4】（24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由得出为等差数列，求出等差数列的通项公式得出，再根据裂项相消即可求解． 【解答过程】因为， 所以， 所以为等差数列，公差，首项， 所以，所以， 所以 . 故选：D． 【变式4-1】（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用与间的关系，求出，从而有，再利用累加法，即可求出结果. 【解答过程】因为①，当时，②， 所以①②得到， 当，，满足，所以， 得到， 所以， 故选：D. 【变式4-2】（2024高二·全国·专题练习）为等差数列的前项和．已知． (1)求的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 【解题思路】（1）根据题意，列出方程，求出首项和公差即可求通项； （2）先求出数列的通项，再用裂项的方法求前项和即可. 【解答过程】（1）设数列的公差为， 由题意得 解得， 所以是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为． （2）由（1）知， 所以 ． 设数列的前项和为，则 ． 【变式4-3】（2024·四川泸州·二模）已知等差数列的前n项和为． (1)求的通项公式； (2)数列满足为数列的前n项和，求的值. 【解题思路】（1）利用等差数列定义根据题意可求得首项和公差，即可得出的通项公式； （2）根据等差数列前项和公式可得，裂项可得，即可求出. 【解答过程】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由可得， 解得， 所以； 因此的通项公式为， （2）由（1）可得； 所以， 因此数列的前n项和; 即可得. 【题型5 倒序相加法求和】 【例5】（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【解题思路】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【解答过程】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 【变式5-1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【解题思路】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【解答过程】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则 . （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 【变式5-2】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求数列的前99项的和的值． 【解题思路】（1）利用数列的前项和，求通项； （2）根据（1）的结果，利用错位相减法求和； （3）观察数列的形式，求得，再利用倒序相加法求和. 【解答过程】（1）由 ① 得 ② ①－②得：， 在①式中令得，合适上式，所以对任意的正整数n都有： （2）， 两式相减得： 整理得： （3）， 所以 所以，为定值，则 且，两式相加得，因此. 【变式5-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)令，求数列的前2020项和. 【解题思路】（1）由题意可得：，由即可求解； （2）求出的表达式，由指数的运算即可求解； （3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解. 【解答过程】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，， 当时，，适合上式，所以. （2）因为，所以， 所以. （3）由（1）知，可得， 所以，① 又因为，② 因为， 所以①②，得， 所以. 【题型6 分组（并项）法求和】 【例6】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列满足. (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式. (2)设，求数列的前n项和. 【解题思路】（1）根据等差数列定义即可得数列是以为首项，为公差的等差数列，并求出通项公式； （2）写出数列的通项公式，利用分组求和的方法即可得出. 【解答过程】（1）根据题意由易知， 即可得为定值， 由此可得数列是以为首项，公差的等差数列， 所以，可得； 即数列的通项公式为； （2）由（1）可得； 则数列的前n项和 . 即可得. 【变式6-1】（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知递增等差数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 【解题思路】（1）利用因式分解得，即，从而求解通项公式. （2）解法一：结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和求解即可；解法二：利用并项求和法求和即可. 【解答过程】（1）设递增等差数列的公差为d，则， 因为，所以， 即， 因为，，所以，所以，所以， 故数列的通项公式为. （2）解法一： . 解法二： . 【变式6-2】（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知数列满足，且. (1)设，求数列的通项公式； (2)求数列的前30项的和. 【解题思路】（1）根据题意要得，，所以得，从而可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而可求出数列的通项公式； （2）由（1）得，然后利用分组求和法可求得数列的前30项的和. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为， 所以， 所以， 又，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； （2）由（1）可知， 所以 . 【变式6-3】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)从数列中剔除第1项，第4项，第7项，，第项后，将剩下的项保持顺序不变组成一个新数列，求数列的前项和． 【解题思路】（1）根据与之间的关系分析可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）分析可知数列的奇数项和偶数项均为公比为8的等比数列，利用分组求和法结合等比数列求和公式分析求解. 【解答过程】（1）因为，则有： 若，可得，解得； 若，则， 两式相减得，即， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由题意可知：新数列为， 若为奇数，则，可得； 若为偶数，则，可得； 则数列的奇数项和偶数项均为公比为8的等比数列， 可得 ， 所以. 【题型7 放缩裂项求和】 【例7】（23-24高二下·安徽·期中）已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【解题思路】（1）利用公式时，，得到关于数列的递推关系式，法一，转化为，利用累乘法求通项公式，法二，转化为，判断数列是常数列，即可求通项公式； （2）首先根据（1）的结果求数列的通项公式，并放缩为，利用裂项相消法求和，即可证明. 【解答过程】（1）根据题意，当时， 法一： ∴ 当时， ，也满足. 法二： 可得， 所以数列是常数列， . （2），， 首项满足，所以， 所以， 设数列， 数列前n项和为， 分析可得，数列从第2项开始放缩成， 设数列 数列前n项和为， 所以. 【变式7-1】（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知正项数列满足，，且对于任意，满足． (1)求出数列的通项公式； (2)设，证明：数列的前n项和； (3)设，证明：． 【解题思路】（1）根据得出，两相减可得，从而可以得出为定值，即为等差数列，从而得解； （2）先由（1）求出，然后利用，再利用裂项相消求和即可得证； （3）由，结合进行缩放，再结合裂项相消法求和即可得证. 【解答过程】（1）因为，，， 当时，，计算得， 由，可得， 两相减可知， 整理可得， 所以为定值，定值为， 所以 所以为等差数列，故． （2）证明:由（1）得，所以， ， 故 因为 ，所以，所以，即 （3）证明： ， 因为， 所以 ． 另解： ． 【变式7-2】（23-24高二下·天津·期中）已知是公差为1的等差数列，其前8项和为36．是公比大于0的等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)记，求的前项和； (3)证明． 【解题思路】（1）根据等差数列和等比数列的公式，即可求解； （2）由（1）的结果可知，，再利用裂项相消法，即可求解； （3）首先根据不等式，放缩为求数列的前项和为，即可求解. 【解答过程】（1）设数列的首项为，公差，则 ，解得：， 所以， 设等比数列的公比为，，则， 解得：（舍）或， 所以； （2）由（1）可知，， 所以， ； （3），当时，等号成立， 所以， 数列的前项和为， 则，    ， 两式相减得， ， 得， 所以. 【变式7-3】（23-24高二下·山东烟台·期末）已知数列是等差数列，且，数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，证明：. 【解题思路】（1）首先求得，由累加法即可求解； （2）不妨设，分，两种情况讨论即可求解； （3）当时，结论显然成立，当时，通过放缩法以及裂项即可得证. 【解答过程】（1）由题意可知，即，故， 由，可得， 所以数列的公差，所以， 由， 叠加可得， 整理可得，当时，满足上式， 所以； （2）不妨设，即，可得， 当时，，不合题意， 当时，， 所以在数列中均存在公共项， 又因为，所以. （3）当时，，结论成立， 当时，， 所以， 综上所述，. 【题型8 新定义、新情景下的数列求和】 【例8】（23-24高二下·陕西渭南·期末）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和； (2)若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和. 【解题思路】当时，，数列为等差数列，根据条件，由等差数列前项和公式求解即可； （2）当时，，由条件求出，可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式分组求解即可． 【解答过程】（1）若数列为1级等差数列， 即为对一切，都成立， 则数列为等差数列，设公差为， 由，，可得， 则． （2）数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3， 可得对一切，都成立． ， ， ，……， 可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列， 偶数项是首项为0、公差为3的等差数列， 则 所以，，． 【变式8-1】（24-25高三上·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”. (1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列. (2)已知. （i）证明：数列为“线性数列”. （ii）记，数列的前项和为，证明：. 【解题思路】（1）依题意可得，则，即可求出、，从而得到，结合等比数列的定义证明即可； （2）（i）首先求出，令，求出、，再计算即可证明； （ii）由（i）可得 ，利用裂项相消法求出，即可得证. 【解答过程】（1）因为为“线性数列”，所以， 所以，即，解得， 所以， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）（i）因为，则， 令，即，解得，所以， 因为 ， 所以，所以数列为“线性数列”； （ii）因为，则 ， 所以 ， 因为，，所以， 所以. 【变式8-2】（23-24高二下·辽宁本溪·期末）在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项. (1)若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”； (2)若满足，且为等比数列，的“次生数列”为. （i）求的值； （ii）求的前项和. 【解题思路】（1）根据次生数列的定义得到，从而得到有3个，分别为或或. （2）（i）根据为等比数列，求出公比，求出，从而根据次生数列的定义得到，，得到的值； （ii）当为偶数时，，故，错位相减法求和，再求出当为奇数时，，检验时，也符合上式，从而得到答案. 【解答过程】（1）因为，，中各项均不相等， 所以， 若，此时“次生数列”为， 若，此时“次生数列”为， 若，此时“次生数列”为， 所以“次生数列”的定义可知有3个， 分别为或或. （2）（i）设数列的公比为， 因为为等比数列，且， 所以，即，解得， 所以，则. 由“次生数列”的定义，可知， ， 故. （ii）由（i）可知当为偶数时，， ① ，② 由①-②得 ， 所以. 当时，， 当为奇数且时，为偶数， 则 ， 显然当时，也符合上式， 故. 【变式8-3】（24-25高三上·广东·阶段练习）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 【解题思路】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解； （2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解； （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【解答过程】（1）以内的质数为， ，故，所以为“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； 和5为两个质数“理想数”； （2）由题设可知必为奇数，必为偶数， 存在正整数，使得，即： ，且， ，或，或，解得，或， ，或，即的值为12或18． （3）显然偶数"理想数"必为形如的整数， 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：， 若奇数，不妨设， 若为"理想数"，则，且，即，且， ①当，且时，； ②当时，； ，且， 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解， 区间]存在唯一的奇数"理想数"，且， 显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为， 所有的奇数"理想数"的倒数为， ，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$