第三章第05讲 探究与表达规律（2考点+6题型+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（北师大版2024）

第05讲 探究与表达规律 课程标准 学习目标 ①掌握规律探索的方法 ②掌握从特殊到一般、从个体到整体地观察 1．初步掌握规律探索的方法，并能对简单的规律进行用数学语言描述； 2．培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野； 3．掌握从特殊到一般、从个体到整体地观察。分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题， 培养应用意识和创新意识。 知识点01 规律类：数字变化型 一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。 例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时， 3n=3，3+1=4，所有第n项表示为 3n+1. 拓展延申： 【即学即练1】 1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即，已知，根据这个几何图形的规律求得…的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24九年级下·广东茂名·期末）观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ． 知识点02 规律型：图形变化类 1.基本思想：图形规律 数字规律 2.基本方法： （1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律. （2）由此及彼,合理联想,大胆猜想 （3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点； （4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否; 【即学即练2】 1．（2024·安徽池州·三模）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是________； (2)第n个结构式的分子式是________； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． 2．（2024·安徽马鞍山·二模）【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 题型01 数字类规律探索之排列问题 【典例1】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2016个数是 ． 【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）一组数据，，，，，按这种规律得第十个数为 【变式2】（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）一组数：，，，，，，…，根据这个规律，第n个数是 （n为正整数）．（用含n的代数式表示） 【变式3】（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）仔细观察，思考下面 一列数有哪些规律：，2，，8，，32，…，然后填空： （1）第7个数是 ，（2）第2012个数是 ，（3）第n个数是 ． 题型02 数字类规律探索之末尾数字问题 【典例2】（2023·江苏镇江·模拟预测）已知，，，，，，，推测的个位数字是 ． 【变式1】（22-23七年级上·河南洛阳·阶段练习）观察等式：，，，，，，，．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【变式2】（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得： （1） ( )； （2）的值的个位数字是 ． 题型03 数字类规律探索之新运算问题 【典例3】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ． 【变式1】（23-24七年级上·广西桂林·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【变式2】（23-24八年级上·湖南岳阳·开学考试）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，计算： ． 题型04 数字类规律探索之等式问题 【典例4】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知，，，，，…，若符合前面式子的规律，则 ． 【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式： ； （2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）． 【变式2】（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． …． (1)请写出第5个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 题型05 图形类规律探索之数字问题 【典例5】（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按如下表方式设置，则第五排、第六排分别有 个座位；第n排有 个座位． 排数 1 2 3 4 … 座位数 50 53 56 59 … 【变式2】（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 题型06 图形类规律探索之数量问题 【典例6】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第6个图中共有______根火柴； (2)第n个图形中共有__________根火柴；（用含n的式子表示） (3)第2021个图形中共有多少根火柴？ 【变式1】（23-24七年级上·安徽·单元测试）观察下列图形中点的个数． (1)图2中点的个数是 ； (2)若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第 个图形； (3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 （用含n的代数式表示）． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去． (1)如果剪n次共能得到 个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如． ①试用含的式子表示 ； ②计算 ． 【变式3】（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 一、单选题 1．（2024九年级下·云南·学业考试）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）为了便于管理，毓龙路实验学校决定给每个学生编号，末尾用1表示男生，用2表示女生．例如：编号201901232表示2019年入学的1班23号学生，是位女生．那么2023年入学的10班3号男学生的编号为（     ） A．202310301 B．202301032 C．202310031 D．202310032 3．（23-24七年级上·广西桂林·期中）观察下面三行数： ，9，，81……① 1，，9，……② ，10，，82……③ 设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）利用如图1的二维码可以进行身份识别．我校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24九年级下·广东茂名·期末）观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ． 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知一组有理数a，b，我们将左边的数减去右边相邻的数即的值插入到a，b之间称之为一次“差数操作”．若，，第一次“差数操作”得2，5，；第二次“差数操作”得2，，5，8，；则第2024次“差数操作”所得数的和是 ． 7．（2024·湖南娄底·模拟预测）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：、和分别可以分裂成2个、3个和4个连续奇数的和，即，，，…若也按照此规律来进行分裂，则分裂出的奇数中，最小的奇数是 ． 8．（2024·四川成都·模拟预测）观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第个数记为，第个数记为，且满足，则 ； ． 三、解答题 9．（23-24七年级上·江西吉安·期中）有一列数，按一定规律排列成，…，观察这列数的规律解决如下问题： (1)第七个数是______，第n个数可表示为________； (2)若其中某三个相邻数的积是，求这三个数的和． 10．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）摆一摆，找规律．    (1)依次摆下去，图形⑤是什么图形？画出来． (2)摆图形⑥需要用多少根小棒？ 11．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下面三行数： ；① ；② ；③ (1)第①行数第8个数是________； (2)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 12．（23-24八年级下·江西吉安·期末）观察下面的变形规律： 解答下面的问题： (1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想_____． (2)计算： (3)计算： 13．（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）观察下列图案： 它们是按照一定规律排列的，依照此规律， (1)第1个图案中共有 ______ 个三角形，第2个图案中共有______个三角形． (2)第4个图案中共有______个三角形，第5个图案中共有______个三角形． (3)计算：第120个图案中三角形的个数是多少？ 14．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，每个小正方形的面积均为1．认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题： (1)请写出第5个等式； (2)猜想第n个等式，用含n的等式表示这个等式； (3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？ 15．（24-25七年级上·全国·假期作业）将连续的奇数1，3，5，7，，排成如下的数表：十字框框出5个数和（如图所示），问： (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)若设中间的数为，用代数式表示十字框框住的5个数字之和； (4)十字框框住的5个数之和能等于2000吗？能等于2055吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 探究与表达规律 课程标准 学习目标 ①掌握规律探索的方法 ②掌握从特殊到一般、从个体到整体地观察 1．初步掌握规律探索的方法，并能对简单的规律进行用数学语言描述； 2．培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野； 3．掌握从特殊到一般、从个体到整体地观察。分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题， 培养应用意识和创新意识。 知识点01 规律类：数字变化型 一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。 例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时， 3n=3，3+1=4，所有第n项表示为 3n+1. 拓展延申： 【即学即练1】 1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即，已知，根据这个几何图形的规律求得…的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的规律，结合图形可知：，，，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】结合图形可知： ， ， ， …… ， 则： 故选：B． 【点睛】本题考查分数乘方的应用，根据题意得到规律，掌握有理数乘方的的运算是解题关键． 2．（23-24九年级下·广东茂名·期末）观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数字型规律的探究．2的个位数字为2；的个位数字为6；的个位数字为4；的个位数字为0；的个位数字为2；确定循环节为4，计算，确定末位数字即可． 【详解】解：2的个位数字为2； 的个位数字为6； 的个位数字为4； 的个位数字为0； 的个位数字为2； 所以循环节为4， 因为， 所以的末位数字是4． 故答案为：4． 知识点02 规律型：图形变化类 1.基本思想：图形规律 数字规律 2.基本方法： （1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律. （2）由此及彼,合理联想,大胆猜想 （3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点； （4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否; 【即学即练2】 1．（2024·安徽池州·三模）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是________； (2)第n个结构式的分子式是________； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． 【答案】(1) (2) (3)不属于，理由见解析 【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解． （1）由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是，据此即可求解； （2）由（1）中的结论即可求解； （3）令，计算即可判断； 【详解】（1）解：由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是； ∴第6个结构式的分子式是， 故答案为： （2）解：由（1）可知：第n个结构式的分子式是， 故答案为： （3）解：令，则， ∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物 2．（2024·安徽马鞍山·二模）【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查数与形结合的规律，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键． （1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案； （2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解； （3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题． 【详解】（1）解：由图知，第1个图形中有个圆形棋子， 第2个图形中有个圆形棋子， 第3个图形中有个圆形棋子， 第4个图形中有个圆形棋子， ，依此类推， 第6个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （2）解：由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： 由题知，，解得，不为整数． 2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放． 题型01 数字类规律探索之排列问题 【典例1】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2016个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类变化规律，此列数可变为：，，，，，，，可以找到每个分数与数的个数的关系，进而求得第2016个数，得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴此列数可变为：，，，，，，，每个分数的分子是数的个数，分母是数的个数加2， ∴第2016个数为，即， 故答案是：． 【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）一组数据，，，，，按这种规律得第十个数为 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，解题的关键是根据题意找出规律． 正负间隔出现，分母是连续的奇数，分子为连续自然数的平方，第项为 【详解】解：根据题中规律可得第项为， 当时，． 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）一组数：，，，，，，…，根据这个规律，第n个数是 （n为正整数）．（用含n的代数式表示） 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】 根据题目中的数据，可以发现奇数个数都是负数、偶数个数都是正数、整数部分的绝对值是按照1，2，3，4，…，在变化，分数部分的分子是一些连续的奇数，分母部分是对应的个数的平方加1，然后即可写出第n个数． 【详解】 解：∵一组数：，，，，，，…， ∴这列数可以表示为：，，，，…， ∴这组数的第n个数为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，表示出第n个数． 【变式3】（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）仔细观察，思考下面 一列数有哪些规律：，2，，8，，32，…，然后填空： （1）第7个数是 ，（2）第2012个数是 ，（3）第n个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字规律，根据规律写出一般式是关键． （1）观察发现后一个数是前一个数的倍，即可求解； （2）利用（1）的规律，把各数写成乘方的形式，即可求解； （3）利用（2）的规律即可求解． 【详解】解：（1）∵，，，，，，… ∴从第2个数开始，后面每一个数是前一个数的倍， ∴第7个数是， 故答案为：； （2）由（1）知：，，，，，， ∴第2012个数是， 故答案为：； （3）由（2）知：第n个数是， 故答案为：． 题型02 数字类规律探索之末尾数字问题 【典例2】（2023·江苏镇江·模拟预测）已知，，，，，，，推测的个位数字是 ． 【答案】9 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题意，对于3的正整数幂，个位数字只出现3、9、7、1这四个数，且按这一顺序每四个一循环，据此可求． 【详解】解：，，，，，，， 个位数3、9、7、1按这一顺序每四个一循环， ， 的个位数是：9． 故答案为：9． 【变式1】（22-23七年级上·河南洛阳·阶段练习）观察等式：，，，，，，，．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】2 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的乘方规律型题．解决本题的关键是熟练掌握以2为底的幂的末位数字的循环规律． 可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循的，根据，得到的个位数字是2． 【详解】∵，，，， ，，，， ，， ∴以2为底的幂的末位数字是以2，4，8，6依次循环， ∴， ∴的个位数字是2， 故答案为：2． 【变式2】（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得： （1） ( )； （2）的值的个位数字是 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，掌握整式的混合运算，找出数字计算的规律是解题的关键． （1）根据材料提示的运算法则即可求解； （2）由材料提示找到运算规律可得，再计算幂的结果的个位数，由此即可求解． 【详解】解：（1）根据材料提示得，， 故答案为：； （2） ， ∵，，，，，，……即个位数字4次以循环，在， ∴的个位数为， ∴， 故答案为：． 题型03 数字类规律探索之新运算问题 【典例3】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得，，，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，， ∴． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级上·广西桂林·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【答案】19 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可． 【详解】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数），需再进行②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为152，， 第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，， 可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152， 则6次一循环， ， 则第2024次“运算”的结果是19． 故答案为：19． 【变式2】（23-24八年级上·湖南岳阳·开学考试）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，计算： ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应项的值．根据题目中的数据，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，，，， …， 由上可得，这列数依次以，，循环出现， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型04 数字类规律探索之等式问题 【典例4】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知，，，，，…，若符合前面式子的规律，则 ． 【答案】239 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律的探索，根据前面几个式子的特点，得到规律，即可确定a与b的值，从而求解． 【详解】解：，，，， 观察得规律：， 则， 所以； 故答案为：239． 【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式： ； （2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】（1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可． 此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：（1） ∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 通过观察前面式子可得： 第5个等式：， 故答案为： （2）通过观察前面式子可得： 第个等式：． 故答案为： 【变式2】（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． …． (1)请写出第5个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律即可求解； （3）先将乘法化为加法，再加减即可求解； 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：第n个等式：， 故答案为：； （3）解：原式． ． 题型05 图形类规律探索之数字问题 【典例5】（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 【答案】 9 10 69 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探究，可得规律，，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 ， 解得：， ． ． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按如下表方式设置，则第五排、第六排分别有 个座位；第n排有 个座位． 排数 1 2 3 4 … 座位数 50 53 56 59 … 【答案】 62，65 【知识点】有理数加法在生活中的应用、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，列代数式．有理数加减的应用等知识． （1）由后一排比前一排多3个座位，进而可求出第5排和第6排的座位数． （2）由后一排比前一排多3个座位，从而可得出规律，从而可得答案． 【详解】解：（1）由表格数据可知：后边一排都比前边一排多3个座位， 所以第5排的座位为：（个）；6排有（个） （2）第一排有50， 第二排有， 第三排有， 第三排有， … ∴第n排有：， 故答案为：62，65，． 【变式2】（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． （2）利用规律解决问题即可． （3）用转化的思想解决问题即可． 本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为 故答案为：； （2）解：第1次分割后空白部分的面积为 第2次分割后空白部分的面积为 第3次分割后空白部分的面积为 第4次分割后空白部分的面积为 ∴ 故答案为： （3）解：由（2）得出 第n次分割后空白部分的面积为 ∴ ∴ 题型06 图形类规律探索之数量问题 【典例6】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第6个图中共有______根火柴； (2)第n个图形中共有__________根火柴；（用含n的式子表示） (3)第2021个图形中共有多少根火柴？ 【答案】(1)19 (2) (3)第2021个图形中共有6064根火柴． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型－图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）观察图形发现规律：每个图形比前一个图形多3根火柴，进而求解； （2）根据每个图形比前一个图形多3根火柴，总结规律即可； （3）将代入（2）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：第1个图中，火柴的根数是； 第2个图中，火柴的根数是； 第3个图中，火柴的根数是； ， 第6个图中，火柴的根数是； 即第6个图中共有19根火柴； 故答案为：19； （2）解：由（1）可得第个图形中火柴有根， 故答案为：； （3）解：当时，， 所以第2021个图形中共有6064根火柴． 【变式1】（23-24七年级上·安徽·单元测试）观察下列图形中点的个数． (1)图2中点的个数是 ； (2)若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第 个图形； (3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】(1)9； (2)5； (3)． 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题． （1）图2中点的个数为： （2）由第1个图形中点的个数为：， 第2个图形中点的个数为：，第3个图形中点的个数为：，得出第n个图形中点的个数为：，进一步得出也就是第5个图形； （3）利用 （2）中的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：图2中点的个数是：， 故答案为：； （2）解：第1个图形中点的个数为： 第2个图形中点的个数为： 第3个图形中点的个数为：， … ∴第n个图形中点的个数为： ， ∴ ∴是第5个图形， 故答案为：5； （3）解：第n个图形中点的个数为： 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去． (1)如果剪n次共能得到 个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如． ①试用含的式子表示 ； ②计算 ． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题z主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每剪一次，等边三角形的个数增加3，据此写出代数式即可； （2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答； ②运用①中的结论进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 剪1次共得到的等边三角形个数为：； 剪2次共得到的等边三角形个数为：； 剪3次共得到的等边三角形个数为：； …， 所以剪n次共得到的等边三角形个数为个． 故答案为：． （2）解：①因为原等边三角形的边长为1， 所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第2次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第3次所剪出的小等边三角形的边长为：； …， 所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10；4 (2)第个图案中有正三角形个．六边形有个 (3)三角形的个数为个；六边形的个数为个 (4)没有，理由见详解 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）将代入（2）中所得的一般式即可求解； （4）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第个就有正三角形个．这类题型在中考中经常出现． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； 故答案为：10；4； （2）解：由图可知： 第一个图案有正三角形4个为． 第二图案比第一个图案多2个为（个． 第三个图案比第二个多2个为（个． 那么第个图案中有正三角形个．六边形有个． （3）解：由（2）知第个图案中有正三角形个．六边形有个 ∴第2024个图案中，三角形与六边形各有：（个， ∴三角形的个数为个；六边形的个数为个 （4）解：没有，理由如下： ∵， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 一、单选题 1．（2024九年级下·云南·学业考试）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了与多项式有关的规律探索，观察可知每个式子都是由a、b两个字母组成的，其中第n个式子的字母a的系数为，次数为 1，字母b的系数为1，次数为，据此可得答案． 【详解】解：第一个式子为， 第二个式子为， 第三个式子为， 第四个式子为， 第五个式子为， ……， 以此类推可知，每个式子都是由a、b两个字母组成的，其中第n个式子的字母a的系数为，次数为 1，字母b的系数为1，次数为， ∴第个多项式是， 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）为了便于管理，毓龙路实验学校决定给每个学生编号，末尾用1表示男生，用2表示女生．例如：编号201901232表示2019年入学的1班23号学生，是位女生．那么2023年入学的10班3号男学生的编号为（     ） A．202310301 B．202301032 C．202310031 D．202310032 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了观察类比，关键在于理解题干给出的信息去类比归纳得出结果，根据题干规律，编号前四位数为年份，中间的四位数是班级与学号，最后一位数为1代表男生2代表女生，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得：2023年入学的10班3号男学生的编号为202310031， 故选：C． 3．（23-24七年级上·广西桂林·期中）观察下面三行数： ，9，，81……① 1，，9，……② ，10，，82……③ 设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查数字类规律探究、代数式求值，找到每行数字的变化规律是解答的关键．先根据每行前几个数字的变化得到变化规律，进而求得a、b、c，然后代值求解即可． 【详解】解：①由，9，，81……，得第n个数为，则； ②由1，，9，……，得第n个数为，则； ③由，10，，82……，得第n个数为，则， ∴ ， 故选：A． 4．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）利用如图1的二维码可以进行身份识别．我校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形类规律探索、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查图形的变化规律，有理数的乘方运算，根据班级序号的计算方法，进行计算即可． 【详解】解：、第一行数字从左到右依次为1，0，1，0，序号为，表示该生为10班学生，不符合题意； 、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为，表示该生为6班学生，符合题意； 、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生，不符合题意； 、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生，不符合题意； 故选：． 二、填空题 5．（23-24九年级下·广东茂名·期末）观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ． 【答案】4 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字型规律的探究．2的个位数字为2；的个位数字为6；的个位数字为4；的个位数字为0；的个位数字为2；确定循环节为4，计算，确定末位数字即可． 【详解】解：2的个位数字为2； 的个位数字为6； 的个位数字为4； 的个位数字为0； 的个位数字为2； 所以循环节为4， 因为， 所以的末位数字是4． 故答案为：4． 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知一组有理数a，b，我们将左边的数减去右边相邻的数即的值插入到a，b之间称之为一次“差数操作”．若，，第一次“差数操作”得2，5，；第二次“差数操作”得2，，5，8，；则第2024次“差数操作”所得数的和是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字规律，理解“差数操作”的定义和发现操作一次数串比前一次之和多5的规律是解答本题的关键．根据题意，求出操作一次数串比前一次之和多5，进行求解即可． 【详解】解：第一次“差数操作”得2，5，；和为：； 第二次“差数操作”得2，，5，8，；和为：； 第三次“差数操作”得2，5，，，5，，8，，；和为：； 观察可知：操作一次数串比前一次之和多5 ∴第次操作后，和为， ∴第2024次“差数操作”所得数的和是； 故答案为：． 7．（2024·湖南娄底·模拟预测）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：、和分别可以分裂成2个、3个和4个连续奇数的和，即，，，…若也按照此规律来进行分裂，则分裂出的奇数中，最小的奇数是 ． 【答案】999001 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类的规律变化，一般按照题中给出的形式写出前几组式子，正确找出数字的变化规律是解题的关键．根据“，，”，归纳出 “分裂”出的奇数中最小的奇数是，把代入，计算求值即可． 【详解】解：，且， ，且， ，且， ∴“分裂”出的奇数中最小的奇数是， ∴“分裂”出的奇数中最小的奇数是， 故答案为：999001． 8．（2024·四川成都·模拟预测）观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第个数记为，第个数记为，且满足，则 ； ． 【答案】 / 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变换规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．把相应的数字代入，从而得到，在分析其中的规律进行求解即可． 【详解】解由题意得：， ， 时，， ， 解得， 当时，可求得， 则这列数为：， 可看出分子为，分母为， 第个数为：， ． 故答案为：，． 三、解答题 9．（23-24七年级上·江西吉安·期中）有一列数，按一定规律排列成，…，观察这列数的规律解决如下问题： (1)第七个数是______，第n个数可表示为________； (2)若其中某三个相邻数的积是，求这三个数的和． 【答案】(1)64， (2)12 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． （1）根据题目中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以写出相应的数据； （2）根据（1）中发现的数字的特点和题意，可以计算出这三个数，从而可以得到这三个数的和． 【详解】（1）这列数为，…， 这列数的第个数为， 当时，这个数是， 故答案为：64，； （2）设这三个数是，，， 则， 即， 解得， 这三个数是4，，16， 这三个数的和是． 10．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）摆一摆，找规律．    (1)依次摆下去，图形⑤是什么图形？画出来． (2)摆图形⑥需要用多少根小棒？ 【答案】(1)长方形，见解析 (2)19 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化类问题，能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴． （1）根据规律画出图形即可； （2）根据规律计算即可 【详解】（1）解：图形⑤是长方形，如图：        （2）解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴； 当时，， 所以，摆图形⑥需要用19根小棒. 11．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下面三行数： ；① ；② ；③ (1)第①行数第8个数是________； (2)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)256 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算： （1）观察第①行的数据可知，第个数据为，进行求解即可； （2）观察数据可知，第②行数据为第①行数据加2得到，第③行数据为第①行数据除以2得到，进而表示出每行数的第10个数，列式计算即可． 【详解】（1）解：观察第①行的数据可知，第个数据为， ∴第①行数第8个数是； 故答案为：256； （2）观察数据可知，第②行数据为第①行数据加2得到，第③行数据为第①行数据除以2得到， ∴每行数中的第10个数的和是 ． 12．（23-24八年级下·江西吉安·期末）观察下面的变形规律： 解答下面的问题： (1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想_____． (2)计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，熟练掌握与运用对相应的运算法则是解答的关键． （1）分析所给的等式的形式，猜想规律即可解答； （2）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答； （3）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答． 【详解】（1）解：∵；；； 猜想． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 13．（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）观察下列图案： 它们是按照一定规律排列的，依照此规律， (1)第1个图案中共有 ______ 个三角形，第2个图案中共有______个三角形． (2)第4个图案中共有______个三角形，第5个图案中共有______个三角形． (3)计算：第120个图案中三角形的个数是多少？ 【答案】(1)6，10； (2)18，22； (3)第120个图案中三角形的个数是个． 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据已知图形找出一般规律是解题关键． （1）根据已知图形数出三角形个数即可； （2）根据已知图形得出一般规律：第个图案中三角形个数为，即可求解； （3）根据（2）所得规律求解即可． 【详解】（1）解：由图形可知，第1个图案中共有6个三角形，第2个图案中共有10个三角形， 故答案为：6，10； （2）解：由图形可知，第1个图案中三角形个数为， 第2个图案中三角形个数为； 第3个图案中三角形个数为； …… 观察发现，第个图案中三角形个数为， 第4个图案中共有个三角形，第5个图案中共有个三角形， 故答案为：18，22； （3）解：由（2）可知规律：第个图案中三角形个数为， 第120个图案中三角形的个数是， 即第120个图案中三角形的个数是个． 14．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，每个小正方形的面积均为1．认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题： (1)请写出第5个等式； (2)猜想第n个等式，用含n的等式表示这个等式； (3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？ 【答案】(1)； (2)； (3)这个几何体最多共有2200小正方体． 【知识点】图形类规律探索、从不同方向看几何体 【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． （1）根据规律解答即可； （2）利用规律可得第个等式：； （3）根据从不同方向看到的几何体以及题目要求计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ， ∴第5个等式：； （2）解：猜想第个等式：； （3）解：这个几何体最多共有：（个）． 答：这个几何体最多共有2200小正方体． 15．（24-25七年级上·全国·假期作业）将连续的奇数1，3，5，7，，排成如下的数表：十字框框出5个数和（如图所示），问： (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)若设中间的数为，用代数式表示十字框框住的5个数字之和； (4)十字框框住的5个数之和能等于2000吗？能等于2055吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数． 【答案】(1)十字框框住的5个数的和是17的5倍 (2)有，见解析 (3) (4)不能等于2000，能等于2055；399、409、411、413、423 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、整式加减的应用、数字类规律探索 【分析】本题主要考查列代数式、数字的规律及一元一次方程的应用，根据数列的构成特点得出5个数之间的关系，列出方程依据条件取舍是解题的关键． （1）求出这5个数的和即可得； （2）根据表中的数，易发现另外的四个数中，上下的数相差是12，左右的数相差是2．根据这一关系进行表示各个数，再求和； （3）若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为，据此可得； （4）根据五个数的和为2000或2055列方程求解后，依据数列为奇数列即可判断． 【详解】（1）解：， 十字框框住的5个数的和是17的5倍； （2）解：如图所示： ， 若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数的和仍然是中间的数的5倍； （3）解：若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为， ； （4）解：5个数之和不能等于2000， 当时，得， 不是奇数， 个数之和不能等于2000； 5个数之和能等于2055， 当时，得， 是奇数， 个数之和能等于2055，这5个数分别为399、409、411、413、423． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$