广东省广州市黄广中学2024-2025学年高二上学期收心考试数学试题

试卷第 1页，共 4页 黄广中学 2024-2025 学年 高二第一学期收心考 数学科 一、单选题 1．复数 2 4i 1 i z   ，则 z的虚部为（ ） A．3 B． 3 C． 3 i D． 1 2．在∆���中， 2 , 2BA BE DB CD      ，则DE   （ ） A． 1 2 2 3 AB AC   B． 1 1 2 3 AB AC   C． 1 36 4 AB AC   D． 1 2 6 3 AB AC   3．已知 a，b是不同的直线， ，  是不同的平面，下列说法中正确的是（ ） A．若 / /a b，a 平面 ，则 / /b 平面 B．若 a 平面  ，b 平面  ，则 a b r r C．若 a 平面 ，b 平面  ，平面 平面  ，则 a b r r D．若 / /a 平面 ， / /b 平面  ， / /a b，则平面 / / 平面  4．已知一组数据 34，36，39，41，44，45，x，50的第 65 百分位数是 45，那么实数 x的取值范围 是（ ） A． 45, B．  45, C．  45,50 D． 45,50 5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90 后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比 80后多 B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的20% C．互联网行业中从事运营岗位的人数 90后比 80前多 D．互联网行业从业人员中 90后占一半以上 6．如图，测量河对岸的可视塔底的塔高 AB时，可以选取与塔底 B在同一水 平面内的两个测量基点 C与 D，现测得 75BCD  °， 45BDC  ， 50CD  米， 在点 C测得塔顶 A的仰角为 60°，则塔高 AB=（ ） A．50 2 B．100 2 C．50 3 D．100 3 试卷第 2页，共 4页 7．如图，三棱锥P ABC 的三条棱 , ,PA PB PC两两互相垂直，且�� = �� = 3， 2PB  ， 则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为 （ ） A． 8 2 π 3 B． 64 2 π 3 C．8π D． 32π 3 8．若 π 4sin 12 5       ，则 5πcos 2 6       （ ） A． 12 25  B． 7 25  C． 7 25 D． 12  25 二、多选题 9．已知平面向量  3,1a  ，  , 3b x  ，则下列命题正确的是（ ） A．若 //a b  ，则 3 3x  B．若a b  ，则 3x  C．若 3x   ，则b  在 a上的投影向量的坐标为 3 3 3,2 2         D．若 a与b  的夹角为锐角，则 x的取值范围为 ( , 3) 10．计算下列几个式子，结果为 3的是（ ） A． tan 25 tan35 3 tan 25 tan35     B．  2 sin 35 cos 25 sin 55 cos65     C． 2 πtan 6 π1 tan 6  D．1 tan15 1 tan15     11．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，O为底面 ABCD的中心，M 为 棱 1BB 的中点，则下列结论中正确的是（ ） A． 1 / /DO 平面 1 1ABC B．MO 平面 1 1ABC C．二面角M AC B  等于90 D．异面直线 1BC 与 AC所成的角等于60 三、填空题 12．从某小区抽取 100户层民用户进行月用电量 调查，发现他们的月用电量都在50 ~ 350kW h 之 间，进行适当分组后（每组为左用右开的区间）， 画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户 中，月用电量落在区间 100,300 内的户数 为 ． 试卷第 3页，共 4页 13．一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为 1m，高为 2m 的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是 ，体积 为 ． 14．在∆���中， 1, 2, 60AB AC BAC   ，若 ,BC AC 边上的两条中线 ,AM BN 相交于点 P，则BN CA    ；cos MPN  . 四、解答题 15．在∆���内，角A， B，C所对的边分别为 a，b， c，且�cos� − � cos� = (� − �)cos�． (1)求角 B的值；(2)若∆���的面积为3 3， 13b  ，求∆���的周长。 16．某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取 n名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分（满分 100分）从低到高将满意度分为四个等级： 调查评分 40,50 50,60 60,70  70,80 80,90 90,100 满意度等级 不满意 一般 良好 满意 并绘制如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在  70,80 的顾客为 80人． (1)求 n的值及频率分布直方图中 t的值； (2)若某段时间有 10000名顾客购买该公司的产品，请估计这 10000名顾客中对该公司产品满意度达到“满意”的人数； (3)该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于 80分，则需要对该公司旗下产品 进行调整，否则不需要调整、根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由．（每 组数据以区间的中点值代替）。 试卷第 4页，共 4页 17．如图，在四棱锥 P ABCD ， PA 底面 ABCD， / /AB BC AD BC ， ， 4PA AD  ， 1BC  ， 3AB  . (1)证明：�� ⊥平面 PAC； (2)求 AD与平面 PCD所成角的正弦值. 18．如图，在平面四边形 ABCD中， 15 4 cos 90 8 AB AD BAD BCD     ， ， ， ． (1)若 AC与 BD交于点O，且BD AC ，求BO的长； (2)求四边形 ABCD周长的最大值． 19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD//QA， π 2 PDA PDC    ， 且 2 2AD PD QA   . (1)求证： //QB 平面 PDC； (2)求二面角� − �� − �的平面角大小。 (3)已知点 H在棱 PD上，且异面直线 AH与 PB所成角的余弦值为 7 3 15 ， 试确定点 H的位置。 参考答案： 1．B 【分析】利用复数的除法运算可得答案. 【详解】复数， 所以的虚部为 故选：B. 2．D 【分析】由平面向量的加减法、数乘运算求解即可. 【详解】. 故选：D 3．C 【分析】根据线面平行判定定理可判断A；根据线面垂直的性质定理可判断B；作出二面角的平面角，根据面面垂直可判断C；通过举反例判断D. 【详解】对A，若，平面，则平面或，A错误； 对B，若平面，平面，则，B错误； 对C，记，过点作，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 记平面与直线相交于点，连接， 因为，所以， 又，所以， 因为是平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以， 又平面平面，所以， 所以四边形为矩形，所以，所以，C正确；    对D，如图，记，当直线与平行，且不在平面内时满足条件，但平面不平行，D错误. 故选：C    4．A 【分析】根据数据的总个数可得第65百分位是第6位，可得的范围. 【详解】因为，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据45，则. 故选：A 5．A 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假． 【详解】选项A；设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事技术岗位的90后人数为，小于80后的人数， 但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故A错误． 选项B：设整个互联网行业总人数为a，90后从事技术岗位人数为56％×39.6％a， 而90后总人数的20％为，故B正确； 选项C：设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事运营岗位的90后人数为， 超过80前的人数6％a，且80前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确； 选项D： 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故D正确. 故选：A． 6．A 【分析】由已知，，CD=50米,利用正弦定理求出,在中，求出. 【详解】由已知，，CD=50米，故， 所以，即，解得， 又因为在点C测得塔顶A的仰角为，即， 所以在中，. 故选：A 7．C 【分析】根据题意三棱锥可以补成一个长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，求出长方体的体对角线，可得外接球的直径，从而可求出球的表面积. 【详解】因为三棱锥的三条棱两两互相垂直， 所以三棱锥可以补成一个长方体，如图所示 长方体的长，宽，高分别为， 则此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，设外接球的半径为，则 ， 得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 8．C 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解. 【详解】 故选：C 9．BC 【分析】根据平面向量共线的坐标表示判断A；由判断B；由投影向量的定义判断C；根据判断D. 【详解】对于A：若，则，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：若，则， 所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D：若，则， 若与的夹角为锐角，则，解得， 所以与的夹角为锐角的充要条件是，故D错误. 故选：BC 10．ABD 【分析】由正切的和角公式变形可判断A；将转化为，结合正弦和角公式可判断B；利用二倍角的正切公式即可判断C；将转化为结合正切和角公式可判断D. 【详解】对于选项A，， 变形得，故A正确； 对于选项B，原式可化为，故B正确； 对于选项C，原式，故C错误； 对于选项D，原式＝＝tan 60°＝，故D正确； 故选：ABD. 11．ABD 【分析】对于A，连接，交于，连接、，证明即可由线面平行判定定理得平面；对于B，证明平面即可得证平面；对于C，求证为二面角的平面角即可得解；对于D，由得为异面直线与所成的角，从而依据正三角形得解. 【详解】对于A，连接，交于，连接、， 则由正方体性质可知且， 所以四边形为平行四边形，故． 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，所以， 由正方体性质有、平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可得，又，平面， 所以平面，故平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，，又 所以为二面角的平面角，显然不等于，故C错误； 对于D，因为，所以为异面直线与所成的角， 由正方体性质可知为等边三角形，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于B，直接证明平面不好证，可通过证明的平行线垂直平面来得证，因为，故求证平面即可得证平面. 12． 【分析】首先求出参数的值，再求出月用电量落在区间的频率，即可得解. 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 所以月用电量落在区间的频率为， 所以在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为. 故答案为： 13． 【分析】该组合体的表面积是，体积是，求出即可． 【详解】解：如图所示， 该组合体的表面积是: ; 体积是． 故答案为：；. 14． 【分析】法一：由余弦定理得，从而得到，，以点为原点，建立空间直角坐标系，写出向量、的坐标即可求得数量积，由，由即可得到； 法二：选一组基向量，可得，分别表示出、、，利用数量积的运算法则求得、、、，由及公式求得. 【详解】法一：在中，由余弦定理得，所以. 因为，所以， 以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，， 所以， 所以. 法二： ，. 因为， ， ， ， 所以， 故答案为：，. 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，求出角； （2）由余弦定理和面积公式得到方程，求出，进而求出周长. 【详解】（1）由，得 由正弦定理，得． ． ． 又， ． 又， ． 又， ． （2）由（1）知， ① 又，故， ，② 又， 由①②，得，故， ∴， 故，周长为. 16．(1)，； (2)2400人； (3)不需要对该公司旗下产品进行调整，理由见解析． 【分析】（1）根据调查评分在的顾客为80人得到方程，求出n的值，根据频率之和为1得到方程，求出； （2）在（1）计算上得到，进而得到频率，求出对产品满意度达到“满意”的人数； （3）每组数据以区间的中点值代替，计算出平均值，得到结论, 【详解】（1），， 所以，； （2）， 估计的人数为人； （3）由频率分布直方图得，顾客满意度评分的均值为： ， 由题意知不需要对该公司旗下产品进行调整. 17． 【详解】（1）在中，，，， 则，……1分 ，所以 在中，， 故，所以为直角三角形，故，……2分 又因为底面，底面，所以，……3分 又因为，平面，所以平面，……6分 （2）如图：作于， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，故为与平面所成的角， 中，，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理可得，即可利用等面积法求解,进而由勾股定理即可求解， （2）由基本不等式即可求解. 【详解】（1） 中,由余弦定理得, 所以 因为，，所以    由可知, , 所以   （2）因为,所以, ,故， 当且仅当时等号成立，故周长的最大值为 19．(1)证明见解析 (2) (3)H为线段PD的四等分点靠近P点 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得平面PDC，平面PDC，再由面面平行的判定定理可得答案； （2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求出结果； （3）根据异面直线的向量公式可求出结果. 【详解】（1）四边形ABCD是正方形， ，平面PDC，平面PDC， 平面PDC， 四边形ADPQ是梯形，，平面PDC，平面PDC， 平面PDC， 平面ABQ，平面ABQ，， 平面平面DCP， 平面ABQ，平面PDC； （2），即，，又， 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面PBC的法向量， 则， 取，得，，得， 设平面PBQ的法向量， 则， 取，，，得， 设二面角的大小为，由图形得为钝角， 则， 为钝角，， 二面角的大小为， 平面CPB与平面PBQ所成角的大小为； （3）点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为， 设，，则，， ，， ， 解得，或舍去，线段DH的长为，又， 即， H为线段PD的四等分点靠近P点. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$