专题02 一元二次方程（期中专项训练，考题猜想易错必刷49题10种题型）九年级数学上学期湘教版

专题02 一元二次方程（易错必刷49题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 一元二次方程的定义 · 一元二次方程的解法 · 一元二次方程的判别式 · 一元二次方程根与系数的关系 · 增长率问题（一元二次方程的应用） · 营销问题（一元二次方程的应用） · 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） · 动点问题（一元二次方程的应用） · 其他问题（一元二次方程的应用） · 一元二次方程创新题型 一．一元二次方程的定义（共5小题） 1．下列选项中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（    ） A． B． C． （a、b为常数） D． 3．若是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（   ） A． B． C． D． 4．一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为，一次项系数为，则的值为 （   ） A． B． C． D． 5．若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 二．一元二次方程的解法（共5小题） 6．将一元二次方程配方后，可化为（   ） A． B． C． D． 7．解方程： (1) ； (2)． 8．如图是小明解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，即，……第三步 由此可得，……第四步 所以，.……第五步 (1)在小明的解题过程中，从第______步开始出现错误，出现错误的原因：______； (2)请写出正确的解答过程． 9．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 10．解方程： (1)； (2)． 三．一元二次方程的判别式（共7小题） 11．关于的一元二次方程，根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 12．已知关于x的方程，当时，下列选项中，可作为该方程的根的是（    ） A． B． C． D． 13．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D． 14．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则其中正确的（   ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 15．若关于的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数的和为 . 16．已知关于x的一元二次方程． （1）若，则该方程的根的情况是 ；（填“有两个不相等的实数根”“有两个相等的实数根”或“没有实数根”） （2）若该方程的一个根是2，则另一个根是 ． 17．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求a的取值范围； (2)当a取符合要求的最大整数时，求该方程的根． 四．一元二次方程根与系数的关系（共4小题） 18．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 19．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 21．关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 五．增长率问题（一元二次方程的应用）（共3小题） 22．某药品经过连续两次降价，每盒售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 23．某机械厂七月份生产零件100万个，九月份生产零件144万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 24．随着科技的发展，某省正加快布局以等为代表的新兴产业．据统计，目前该省基站数量约为1.5万座，计划到今年底，全省基站数是目前的4倍；到后年底，全省基站数量将达到17.34万座． (1)计划在今年底，全省基站数量是多少万座？ (2)按照计划，从今年底到后年底，全省基站数量的年平均增长率为多少？ 6． 营销问题（一元二次方程的应用）（共3小题） 25．商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． (1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 26．河南烩面是一道河南特色的传统美食，在安阳市一家烩面馆考察得知，一份烩面的成本价为8元，若每份卖18元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为320元． (1)每份烩面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天1360元的净利润？ (2)面馆能实现每天1800元的净利润吗？说明理由． 27．四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）． (1)网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？ (2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？ 七．与图形有关的问题（一元二次方程的应用）（共4小题） 28．如图，公园里有一段长20米的墙，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（    ） A．由题意得 B．x的取值范围是 C．只有一种围法 D．只有两种围法 29．《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 30．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 31．如图，要利用一面墙（墙长为）建羊圈（矩形，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长的长度． 8． 动点问题（一元二次方程的应用）（共4小题） 32．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 33．如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 34．如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 35．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点， ，动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点 P 以的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止，点 Q以的速度向点 D 移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点 P 和点Q 的距离是？ (3)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形（精确到）？ 9． 其他问题（一元二次方程的应用）（共7小题） 36．今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 37．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为 38．已知两个连续正偶数的积为224，则这两个连续的正偶数是 ． 39．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 40．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 41．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 42．世界杯火热进行期间，其相关的周边产品大多为中国制造．为了抓住这一商机，两工厂决定生产球衣．据统计，甲厂每小时生产600件，乙厂每小时生产800件．甲、乙两厂共生产16小时，且每天生产的球衣总数量为11400件． (1)求甲、乙两厂每天分别生产多少小时？ (2)由于球衣在国外热销，客户纷纷追加订单，两工厂每天均增加生产时间，其中甲厂比乙厂多增加2小时，在整个生产过程中，甲厂每小时产量不变，而乙厂由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140件，这样两工厂一天生产的球衣总量将比原来多1200件．求甲厂增加的生产时间为多少小时？ 10． 一元二次方程创新题型（共7小题） 43．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 44．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为2，宽为1的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 ． 45．我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若一个数列中任意相邻的三个数，，总满足，则称这个数列为“梦数列”． （1）若0，1，，2，是“梦数列”，则 ； （2）若不论取何值，数列，，都是“梦数列”，则 ； （3）若数列是“梦数列”，则 ． 46．如果一个三位自然数的各数位上的数字均不为，且使得关于的方程有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数是方程的“等根数”．则关于的方程的最小“等根数”是 ；如果是关于的方程的“等根数”，记，，若是整数，则满足条件的最大值是 ． 47．阅读理解以下内容，解决问题： 解方程：． 解：， 方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，，； 当时，即，不成立． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． (1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______； (2)仿照上述方法，解方程：． 48．我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下： 解：由②得：    ③ 将③代入①得： 整理得：，解得， 将，代入③得， ∴原方程组的解为或． (1)请你用代入消元法解二元二次方程组：； (2)若关于x，y的二元二次方程组有实数解，求实数a的取值范围． 49．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． $$专题02 一元二次方程（易错必刷49题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 一元二次方程的定义 · 一元二次方程的解法 · 一元二次方程的判别式 · 一元二次方程根与系数的关系 · 增长率问题（一元二次方程的应用） · 营销问题（一元二次方程的应用） · 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） · 动点问题（一元二次方程的应用） · 其他问题（一元二次方程的应用） · 一元二次方程创新题型 一．一元二次方程的定义（共5小题） 1．下列选项中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：方程不是整式方程，方程含有两个未知数，方程整理后未知数的最高次数是1，所以都不是一元二次方程， 方程符合一元二次方程的定义， 故选：D． 2．公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（    ） A． B． C． （a、b为常数） D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的识别，形如（其中a、b、c为常数且）的方程叫作一元二次方程，由此逐项判断即可． 【详解】解：A．关于x的方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．（a、b为常数），当时，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 3．若是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． 故选C． 4．一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为，一次项系数为，则的值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据的二次项系数为，一次项系数为，列式即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ∴方程整理得：． 结果一次项系数为， ， 即． 故选：B 5．若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．把代入方程，解得的值．注意：二次项系数不为零． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， 解得或1； 又， 即； 所以． 故选：C 二．一元二次方程的解法（共5小题） 6．将一元二次方程配方后，可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 把常数项移到方程右侧，二次项的系数化为1，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】 ． 故选：B． 7．解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴或 ∴ 8．如图是小明解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，即，……第三步 由此可得，……第四步 所以，.……第五步 (1)在小明的解题过程中，从第______步开始出现错误，出现错误的原因：______； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)三，配方错误 (2)见详解 【分析】（1）根据完全平方公式即可求解； （2）在小明同学的第三步开始，左右两边同时加，根据完全平方公式配方，然后直接开方解方程即可求解， 本题主要考查配方法，直接开方法解一元二次方程，掌握完全公式的配方法解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：第三步中，的一次项系数是，根据完全平方公式可知常数项应该是，即左右两边同时加即可， ∴第三步出错， 故答案为：三，配方错误， （2）解： 二次系数化为， 移项， 配方，，即 直接开方， ∴原方程的解为：，． 9．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． （2）根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解：整理得， ，，，， ∴， 解得：，． 10．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，． 三．一元二次方程的判别式（共7小题） 11．关于的一元二次方程，根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个实数根， 故选：A． 12．已知关于x的方程，当时，下列选项中，可作为该方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先判别出方程有两个不等的实数根，再求解出来即可判断． 【详解】解：， 当时，， 方程有两个不等实数根，为， 故选：C． 13．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据列式求解即可． 【详解】解：根据题意， 解得． 故选：D． 14．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则其中正确的（   ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键． 根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可． 【详解】解：①若，即， 则是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：， 故①正确； ②∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， 又∵方程的判别式为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，即有两种可能性， 故③错误； ④若是一元二次方程的根， ∴根据求根公式得：或， ∴或， ∴， 故④正确． 故选：A． 15．若关于的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数的和为 . 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义，解分式方程，利用一元二次方程二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，解分式方程可得出分式方程的解，再由分式方程有正整数解及m的取值范围，可得m的所有值，再将其相加即可得出结论． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数解， ∴，解得且， 解方程得且， ∵分式方程有整数解， ∴为，，， 解得：，（舍去），，（舍去），， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 16．已知关于x的一元二次方程． （1）若，则该方程的根的情况是 ；（填“有两个不相等的实数根”“有两个相等的实数根”或“没有实数根”） （2）若该方程的一个根是2，则另一个根是 ． 【答案】 没有实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系； （1）利用根的判别式直接求解进行判断； （2）利用根与系数的关系进行求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 方程没有实数根， 故答案为：没有实数根； （2）设另一个根为， ，一个根是2， ， 解得：， 故答案为：． 17．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求a的取值范围； (2)当a取符合要求的最大整数时，求该方程的根． 【答案】(1)且； (2),． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）根据题意得出，进行计算即可得到答案； （2）根据（1）中的的范围得出的值，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解:∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且； （2）解：由（1）知且， 可取的最大整数值为1， ∴此时，方程为， ， ，， 解得：,． 四．一元二次方程根与系数的关系（共4小题） 18．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，．利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 19．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，先对代数式进行化简；再根据一元二次方程两根据之和为：，即可求出结果． 【详解】 ． ∵，是一元二次方程的两根， ， ． 故选：B． 20．若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由m，n是方程的两个实数根 ，得，，将所求式子变形后整体代入即可． 【详解】解∶∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选∶C． 21．关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确，是一元二次方程的两个根时，，是答题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 解得：； （2）∵，是这个方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：． 五．增长率问题（一元二次方程的应用）（共3小题） 22．某药品经过连续两次降价，每盒售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 23．某机械厂七月份生产零件100万个，九月份生产零件144万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能分别将八、九月份的产量表示出来，难度不大．根据题意表示出八、九月份的产量，再结合九月份生产零件144万个即可列出方程． 【详解】解：该厂八、九月份平均每月的增长率为，七月份生产零件100万个， 九月份生产零件万个， 九月份生产零件144万个， ， 故选：B． 24．随着科技的发展，某省正加快布局以等为代表的新兴产业．据统计，目前该省基站数量约为1.5万座，计划到今年底，全省基站数是目前的4倍；到后年底，全省基站数量将达到17.34万座． (1)计划在今年底，全省基站数量是多少万座？ (2)按照计划，从今年底到后年底，全省基站数量的年平均增长率为多少？ 【答案】(1)6万座 (2) 【分析】本题考查有理数乘法的应用，一元二次方程的实际应用： （1）根据计划到今年底，全省基站数是目前的4倍，列出算式计算即可； （2）设全省基站数量的年平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可 【详解】（1）解：由题意得：（万座）； 答：计划在今年底，全省基站数量是6万座． （2）解：设全省基站数量的年平均增长率为x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：全省基站数量的年平均增长率为． 6． 营销问题（一元二次方程的应用）（共3小题） 25．商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． (1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设每套拖把降价x元，根据题意列出代数式即可； （2）设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程求解即可； （3）设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可. 【详解】（1）解：设每套拖把降价x元，则每天销售量增加套，即每天销售套， 每套拖把盈利元． 故答案为：，； （2）解：设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； （3）解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下： 设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无实数解， 即不可能每天盈利1400元． 26．河南烩面是一道河南特色的传统美食，在安阳市一家烩面馆考察得知，一份烩面的成本价为8元，若每份卖18元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为320元． (1)每份烩面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天1360元的净利润？ (2)面馆能实现每天1800元的净利润吗？说明理由． 【答案】(1)20元或22元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，理解销售中的数量关系，列出方程是解题的关键． （1）设当每份烩面提高x元时，每天的销量为元，每份的利润为元，根据“每份的利润×总销量-各种费用=净利润”列出方程并解答求得x的值；然后由销售价格求得答案； （2）根据题意得：，整理得，根据一元二次方程根的判别式即可得出答案 【详解】（1）解：设当每份烩面提高x元时，每天的销量为元，每份的利润为元， 由题意，得， 解得，． 所以或22． 答：每份烩面的价格是20元或22元时，该面馆才能实现每天1360元的净利润． （2）解：不能，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴面馆不能实现每天1800元的净利润． 27．四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）． (1)网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？ (2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？ 【答案】(1)每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元 (2)小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元，根据“元买了箱大果和箱帝王果；元买了箱大果和箱帝王果”列出二元一次方程组求解即可； （2）设每箱大果的售价应该降低元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元， 根据题意得，， 解得， 答：每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元． （2）解：设每箱大果的售价应该降低元， 根据题意得， 即： 解得：，（舍） ∴， 答：小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元． 七．与图形有关的问题（一元二次方程的应用）（共4小题） 28．如图，公园里有一段长20米的墙，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（    ） A．由题意得 B．x的取值范围是 C．只有一种围法 D．只有两种围法 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．由题意可得平行于墙的一边长为米，即可建立一元二次方程求解． 【详解】解：∵垂直于墙的一边长为米， ∴平行于墙的一边长为米， 则：，故A错误； ∵， 解得：，故B错误； 对于方程，化简得：， 解方程得：，， ∵ ∴， 故只有一种围法，故C正确、D错误； 故选：C． 29．《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设折断后的竹子高度为x尺，根据各部分的长，可得出折断部分的竹子长尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺， ∴折断部分的竹子长尺． 根据题意得：． 故选：A． 30．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的边AB的长为或时，能围成一个面积为的羊圈 (2)羊圈的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． （1）设羊圈的边的长为，则边的长为根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设羊圈的边的长为，则边的长为，根据题意，得， 化简，得， 解方程，得，，当时，， 当时，． 答：当羊圈的边的长为或时，能围成一个面积为的羊圈． （2）不能，理由如下：根据题意，得， 化简，得， ， ∴该方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 31．如图，要利用一面墙（墙长为）建羊圈（矩形，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设，则，再根据矩形面积计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴羊圈的边长的长度为． 8． 动点问题（一元二次方程的应用）（共4小题） 32．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：，． 当运动时间为秒时，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的运动时间是． 故选：A． 33．如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 34．如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)不能，理由见解析 (3)经过秒或5秒或秒后，的面积为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． （1）设经过x秒，的面积等于，根据三角形面积公式列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，的面积等于，依题意有： ， 解得：， ∴经过2秒或4秒，的面积等于； （2）解：线段不能将分成面积相等的两部分，理由如下： 设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意得： ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴此时； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意得： ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上，依题意得： ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积为． 35．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点， ，动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点 P 以的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止，点 Q以的速度向点 D 移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点 P 和点Q 的距离是？ (3)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形（精确到）？ 【答案】(1)5 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．关键是作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程． （1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，则，根据梯形的面积公式可列方程：，解方程可得解； （2）作，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． （3）需要对等腰三角形的不同的腰进行分类讨论，然后求解． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2， 则， 根据梯形的面积公式得， 解之得， ∴从出发开始到5秒时，四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是，      作，垂足为E， 则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得． （3）解：过点P作于M，于N    则 分三种情况； ①当时，则． ∵． ∴； ②当时，在直角中，由勾股定理得： 整理，得， 解得， ， ③当时，在直角中，由勾股定理得： 解得， （舍去）， 综上所述，经过或或或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形． 9． 其他问题（一元二次方程的应用）（共7小题） 36．今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共发多少条拜年短信，首先确定一个人发多少条拜年短信是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要发出条短信，共有x名学生，那么总共发送的条数数应该是条，即可列出方程． 【详解】解：∵小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，且全班有x名同学， ∴每位同学需发送条拜年短信． 根据题意得：． 故选：C． 37．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，十位数字为，周瑜逝世的年龄为，且个位数字的平方刚好是周瑜逝世的年龄，即，由此列式即可求解． 【详解】解：个位数字为，则十位数字为， ∴， 故答案为： ． 38．已知两个连续正偶数的积为224，则这两个连续的正偶数是 ． 【答案】14，16 【分析】设较小的正偶数为x，可表示出较大的正偶数，再根据两个连续正偶数的积为224，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出这两个连续的正偶数． 本题考查了一元二次方程的应用之数字问题，正确解方程是解题的关键． 【详解】解：设较小的正偶数为x，则较大的正偶数为， 根据题意得 ， 解得：， ∵ ∴， ∴． 故答案为：14，16． 39．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 40．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 41．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 42．世界杯火热进行期间，其相关的周边产品大多为中国制造．为了抓住这一商机，两工厂决定生产球衣．据统计，甲厂每小时生产600件，乙厂每小时生产800件．甲、乙两厂共生产16小时，且每天生产的球衣总数量为11400件． (1)求甲、乙两厂每天分别生产多少小时？ (2)由于球衣在国外热销，客户纷纷追加订单，两工厂每天均增加生产时间，其中甲厂比乙厂多增加2小时，在整个生产过程中，甲厂每小时产量不变，而乙厂由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140件，这样两工厂一天生产的球衣总量将比原来多1200件．求甲厂增加的生产时间为多少小时？ 【答案】(1)甲厂每天生产7小时，乙厂每天生产9小时； (2)甲厂增加的生产时间为3小时． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的应用，正确的列出方程组和一元二次方程，是解题的关键： （1）设甲厂每天生产x小时，乙厂每天生产y小时，根据“甲、乙两厂共生产小时，且每天生产的球衣总数量为件”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲厂增加的生产时间为m小时，则乙厂增加的生产时间为小时，乙厂每小时生产件，利用生产总量生产效率生产时间，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲厂每天生产小时，乙厂每天生产小时， 根据题意得：， 解得：． 答：甲厂每天生产7小时，乙厂每天生产9小时； （2）设甲厂增加的生产时间为小时，则乙厂增加的生产时间为小时，乙厂每小时生产件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ． 答：甲厂增加的生产时间为3小时． 10． 一元二次方程创新题型（共7小题） 43．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义——“限根方程”．熟练掌握新定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分类讨论，是解题关键． ①当时，该方程是；得到方程的根为 ，，得到，该方程是“限根方程”， ①正确；②解该一元二次方程，得出，，或，．再根据此方程为“限根方程”，即此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，当，时，根据，得到，整数m不存在；当，时，得到，整数m不存在．②错误． 【详解】解：①当时，原方程为： ， 解得 ， ， ∴ ， ∵， ∴该方程是“限根方程”； ∴ ①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，，或，． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 当，时， ∵， ∴， 解得：， ∵m只是一个整数， ∴m值不存在； 当，时，， 解得：， ∴m值不存在． 综上所述，m的值不存在． ∴②错误． ∴①正确，②错误． 故选：C． 44．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为2，宽为1的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出原矩形的周长和面积分别为6和2，设它的“k倍”矩形长为x，宽为y，根据题意得，进而可得，根据即可求出k的范围． 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，利用求k的范围解题的关键． 【详解】解：原矩形的周长为， 面积为． 设它的“k倍”矩形长为x，宽为y， 则， 由①得， 将③代入②得， ∴， 由得， ， 解得，或（舍去）． ∴k的最小值为， 故答案为：． 45．我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若一个数列中任意相邻的三个数，，总满足，则称这个数列为“梦数列”． （1）若0，1，，2，是“梦数列”，则 ； （2）若不论取何值，数列，，都是“梦数列”，则 ； （3）若数列是“梦数列”，则 ． 【答案】 2 1或 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是明确“梦数列”的含义. （1）根据“梦数列”的定义进行求解即可； （2）根据“梦数列”的定义可得到， 结合条件则有，从而可求解； （3）结合“梦数列”的定义进行求解即可. 【详解】（1） 由题意得： ， 故答案为： ； （2）∵数列是“梦数列”， ∴， ∵不论取何值， 数列都是“梦数列”， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； （3）∵数列是“梦数列”， ∴， ， 则有， ∴， 解得： 或. 故答案为： 或. 46．如果一个三位自然数的各数位上的数字均不为，且使得关于的方程有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数是方程的“等根数”．则关于的方程的最小“等根数”是 ；如果是关于的方程的“等根数”，记，，若是整数，则满足条件的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，根据“等根数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的“等根数”， ∴， ∴， 即， ∵为最小“等根数”， ∴，， ∴， ∴最小“等根数”为， 故答案为：； ∵， ∴， ∵是整数， ∴是整数， ∴当时，或，此时或， ∵， ∴不符，舍去； 当时，或，此时或， 由可得，不符，舍去， ∴， ∴， ∴，，， ∴的最大值是， 故答案为：． 47．阅读理解以下内容，解决问题： 解方程：． 解：， 方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，，； 当时，即，不成立． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． (1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______； (2)仿照上述方法，解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可； （2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可． 【详解】（1）设， 则， 可化为：， 即， 故答案为：； （2）设，则， 原方程可化为：， 整理得， ， 或， 或， 当时，， 解得， 当时，无解， 检验，当时，左边右边， 是原方程的解， 故原方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法． 48．我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下： 解：由②得：    ③ 将③代入①得： 整理得：，解得， 将，代入③得， ∴原方程组的解为或． (1)请你用代入消元法解二元二次方程组：； (2)若关于x，y的二元二次方程组有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)原方程组的解为或 (2) 【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，读懂题意掌握给出的方法是解题的关键． （1）将前一个方程转化为，代入后一个方程求出x的值，继而利用得出y的值，从而得解； （2）将前一个方程转化为，代入后一个方程得到关于x的方程，然后分所得方程是一元一次方程还是一元二次方程讨论，对于前者直接求解即可，对于后者根据根的判别式与方程的根的关系得出，继而得到关于a的不等式，从而得解． 【详解】（1） 由①，得③ 把③代入②，得． 整理，得． 解得，． 把，代入③，得，． 故原方程组的解为或 （2） 由①得，得③ 把③代入②，得． 整理，得． ①若，则．此时原方程可化为，解得，符合题意； ②若，则且． 解得且． 综上可知，． 49．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． $$