专题2.1 解直角三角形及应用（易错、好题必刷题40题8种题型）（期中专项训练）九年级数学上学期青岛版

专题2.1 解直角三角形及应用（易错、好题必刷40题8种题型专项训练） 目录 【题型01 解直角三角形及其应用】 1 【题型02 解直角三角形的相关计算】 14 【题型03 解非直角三角形】 26 【题型04 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 34 【题型05 仰角俯角问题（解直角三角形的应用）】 41 【题型06 方位角问题（解直角三角形的应用）】 50 【题型07 坡度坡比问题（解直角三角形的应用）】 57 【题型08 其他问题（解直角三角形的应用）】 63 【题型01 解直角三角形及其应用】 【易错题精讲】（2023·重庆沙坪坝·二模）如图，在四边形中，，，过点A作于点E，，动点P从点B出发，沿运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，的面积为． (1)请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)画图见解析，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3)当时的取值范围为：或 【思路点拨】（1）当点在上运动时，由，即可求解；当点在上运动时，同理可解； （2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解； （3）观察函数图象即可求解； 【规范解答】（1）解：，， 则， 即， 则四边形为矩形， 在中，，，则， 则矩形为边长为4的正方形， 当点在上运动时， 过点作于点， 则， 当点在上运动时， 同理可得：， 即； （2）当时，，当时，，当时，； 将上述坐标描点连线绘制图象如下： 从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）从图象看，当时的取值范围为：或． 【考点评析】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的判别和性质、面积的计算等，其中（1），要注意分类求解，避免遗漏． 【变式训练1-1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】由是等边三角形，得，而，故①正确；由，，可判定②正确；过点作于，过点作于，则，，可推出，，则，判定③正确；由可得，进而得到，得到，又因为不是中点，故，可判定④错误；由，得，则，可判定⑤错误． 【规范解答】解：为等边三角形， ，， 四边形是正方形 ，， ， 又， ， ， ，， ， 在中，， ， 又， ，故①正确； ，， ， ，故②正确； 过点作于，过点作于， 由题意可得，， ，， ，故③正确； ， ， ， 又与同高， ， 又，不是中点， ， ，故④错误； ，， ， ， ， 又，， ，故⑤错误， 综上所述：正确的结论有3个， 故选：C． 【考点评析】本题考查了正方形的性质、等边三角形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式训练1-2】（22-23九年级上·北京·期中）已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求： (1)线段的长； (2)的值． 【答案】(1)5 (2) 【思路点拨】此题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，直角 三角形的性质等知识点． （1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出，从而求出∠C的正切值即求出了的值． 【规范解答】（1）解：∵是边上的高，和是， 在中， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在中， ∵E为斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1-3】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）在 和中，，，将 绕着点 A 旋转． (1)如图 1 ，当点 D 在线段 上，且 ，，求 的正切值； (2)如图 2， 与 交于点 N，连结 ，， 的延长线与 的延长线交于点 F， ，M 为 延长线上一点，当 时，连结 ，求证：； (3)如图 3 ，当 时，点 M，F 分别是边 ， 的中点，连结 ，N 为 的中 点，连结 ，当 恰好经过点 F 时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【思路点拨】连接，可证明，有和，结合已知可知，在中即可求得正切值； 延长到S，使，连接，由（1）可得：，可判定四边形是平行四边形，则，有可证明，则，利用线段和差即可； 设与相交于点G，连接，，，，，作交的延长线于点H，于点I，则，且，利用等腰三角形的性质得，结合中点证明，有和，进一步判定是的中位线，则，且，根据四点共圆得到，结合三线合一可证得，设，则，那么，，利用勾股定理和和差关系即可求得对应各线段长即可． 【规范解答】（1）解：连接，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴； （2）证明：如图2，延长到S，使，连接， 由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则 （3）解：设与相交于点G，连接，，，，，作交的延长线于点H，于点I，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵F为中点，M为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵N为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∴，， ∴为直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【考点评析】这是一道几何综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、平平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、等腰三角形三线合一和勾股定理等知识点，熟悉“手拉手”模型和截长补短法是解题的关键． 【变式训练1-4】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在正方形中，点P是直线上一动点，连接，以为边作等边，作直线交于点E． (1)如图1，若点Q落在边上，则 ； (2)如图2，若点Q落在正方形外，求证； (3)如图3，若向的另一侧作等边，连接，此时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）过P点做，垂足为点F，设，解直角三角形，求出，，进而求出，即可解答； （2）连接，在上取点，使得，连接，证明，进而证明为等边三角形，得到，即可得出结论； （3）连接，过D点向的延长线作垂线，垂足为F点，设正方形边长为x，由题意易得是的直径，即点B、D、P在同一条直线上，得到，从而求出，，，再根据，求出，进而求出，即可求解． 【规范解答】（1）解：过P点做，垂足为点F， 设， ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ； （2）证明：连接，在上取点，使得，连接，如图， 是正方形的对角线， 关于直线对称， ，且， 又 在和中， ， ， ，即为等腰三角形， ，即， 为等边三角形， ； （3）解：如图3，连接，过D点向的延长线作垂线，垂足为F点， 设正方形边长为x， 由题意可知， 点B、D、Q在以点P为圆心、长为半径的上， ， 点A在上，而， 是的直径，即点B、D、P在同一条直线上， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 又， ∴． 【考点评析】本题是正方形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、旋转的性质以及解直角三角形等知识，具有较强的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 【题型02 解直角三角形的相关计算】 【易错题精讲】（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，内接于，，点在直径的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）先根据圆周角定理求得，进而有，再根据等腰三角形的性质求得，然后根据三角形的内角和定理求得，根据切线判断定理即可解答； （2）先利用锐角三角函数求得，再根据扇形面积公式和三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，，，， ∴, ∴， ∴， ． 【考点评析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数、扇形和三角形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的有关知识是解答的关键． 【变式训练2-1】（23-24九年级上·山东聊城·期中）在中，，，，则（　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据锐角三角函数的定义设，，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【规范解答】解：如图，在中，，，， 设，， ∵， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴． 故选：D． 【变式训练2-2】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，连接，若，．则的长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题综合考查了直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线、角平分线的性质，解直角三角形等知识．解答该题时，通过作辅助线构建含有角的直角三角形，然后在直角三角形中利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来求的长度．过点作于点．根据角平分线的性质，以及已知条件“，”可以推知；然后在含有角的直角和中求的长度． 【规范解答】 解：过点作于点． 平分交于点，， ； 在中，，， ∴， ； 又∵平分交于点D， ， 在中，； 在中，， ． 故答案为：． 【变式训练2-3】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面直角坐标系中，已知矩形的顶点O为坐标原点，的长为8，点，点B在y轴正半轴上， ，的角平分线交于点C． (1)求直线的解析式； (2)动点P从A出发，以5个单位／秒的速度沿方向向终点O运动．过P作于点E，直线交射线于点F，设的长为，P点的运动时间为t，求y与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接、，当的一边与平行时，求的正切值． 【答案】(1) (2)； (3)或 【思路点拨】（1）过点C作，证明，得出，，根据可求出，利用勾股定理求出，在中，由勾股定理得出，可求出C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）分，两种情况讨论，在中， 利用正切、余切的定义求出，，在中，利用正切的定义求出，然后利用线段的和差关系求解即可； （3）当时，，过点D作，利用余弦的定义求出，进而求出，，则可求，利用P是的中点，得出，即可求解；当时，此时，过点D作，延长交于点M， 利用余弦的定义求出，进而求出，，在中，，在中，，求出，可得出，即可求解． 【规范解答】（1）解：过点C作， ∵是的角平分线， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵矩形的顶点O为坐标原点，的长为8， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴ 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：时，如图1，， ∵， 在中， ，， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 当时，如图2， 由上可知，， ∴ ∵， ∴， ∴时，；时，； （3）解：当时，如图3， 此时，，过点D作， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴， ∵P是的中点， ∴， ∴； 当时，此时，如图4，过点D作，延长交于点M， ∴，，即 ∴； ∴， ∴， 在中，， ∵在中，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：时，；时，． 【考点评析】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，结合矩形的性质，平行线的性质，直角三角形中三角函数的求法是解题的关键． 【变式训练2-4】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，，，点是射线上的动点（点不与点重合），在的下方作． (1)求的值； (2)当在线段上时，射线交于点，若与相似时，求的长； (3)在的下方作交于点，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）作，，根据等腰三角形三线合一的性质，及勾股定理，得到，，由三角形面积公式，得到，代入正弦函数即可求解， （2）作，，当时，，根据角平分线性质定理，设，根据面积公式，代入解得：，根据锐角三角函数，即可求解， （3）由，得到，结合，得到，，当时，，作，根据等腰三角形三线合一的性质得到，在中，根据锐角三角函数及够谷歌定理得到，，，即可求解，当时，由，，得到，，作，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，由，可设设，在中，根据勾股定理得到，即，由，解得：，由，得到，代入即可求解， 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是：分情况讨论，找到相似三角形． 【规范解答】（1）解：过点作于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， （2）解：作，， ∵， 当时，，可设， ，即：，解得：， ∴， （3）解：∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 作， ∴， 在中，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 作， ， ∵， ∴设，则， 在中，，即：，解得：， ∴， ∵，即：，解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【题型03 解非直角三角形】 【易错题精讲】（20-21九年级下·福建龙岩·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：    (1)________． (2)对于，的正对值的取值范围是________． (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）如图，,，所以. （2）如图，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的；当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的；于是． （3）如图，在上截取，过H作于D，设，则,．解，，． 【规范解答】（1）解：如图，, , ∵, ∴.    （2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的； 当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的逐渐接近0，； ∴    （3）解：如图，在上截取，过H作于D， ， 设，则，, ∴． 中，， ∴．    【考点评析】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 【变式训练3-1】（21-22九年级下·上海静安·期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG= ． 【答案】 【思路点拨】作于，作交AD延长线于，连接，．在，，，中，根据勾股定理可求，，，的长，即可求的长，即可得值． 【规范解答】解：如图：作于，作于，连接， 四边形是菱形， ， 是中点 ， ，且 ，， 折叠， ，， 在中，， ， ， 在中，，， ， ， ，， 是等边三角形， 点是中点， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【考点评析】本题考查了折叠问题，解非直角三角形，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键． 【变式训练3-2】（2021·浙江温州·三模）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架和两个大小相同的车轮组成，已知，，，当，，F在同一水平高度上时，135°，则 ；为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至，如图3所示，则为 ． 【答案】 30 【思路点拨】连接AE，过点A作AH⊥CE于点H，由题意易得∠AEC=45°，然后根据三角函数可进行求解；过点A作AM⊥EF交其延长线于点M，过点D作DN⊥EF交其延长线于点N，并延长ND，交AB于点P，由题意易得，然后根据三角函数可进行求解． 【规范解答】解：连接AE，过点A作AH⊥CE于点H，如图2， ∵，，F在同一水平高度上时，135°， ∴∠AEC=45°， ∵，，， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， 过点A作AM⊥EF交其延长线于点M，过点D作DN⊥EF交其延长线于点N，并延长ND，交AB于点P，如图3， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，，∠DEM=45°，， ∴，， ∴， ∴， 设车轮半径为r，则有， ∴； 故答案为30；． 【考点评析】本题主要考查三角函数及矩形的性质与判定，熟练掌握三角函数及矩形的性质与判定是解题的关键． 【变式训练3-3】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【思路点拨】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【规范解答】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【考点评析】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 【变式训练3-4】（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又， 即， ， ． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 【题型04 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【易错题精讲】（19-20九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，Rt△ABC，∠C=90°，tan∠A=，D是AC中点，∠ABD=∠FBD，BC=6，CF∥AB，则DF= . 【答案】 【思路点拨】延长交与点，过点作，垂足为，垂足为，过点作垂足为.先证明，再证明 然后证明，得出，进而得出是等腰直角三角形，设，得出，然后根据三角函数解得，再根据等腰直角三角形解得. 【规范解答】延长交与点，过点作，垂足为，垂足为，过点作垂足为，如下图： ∵， ∴ 又∵， ∴ 又∵是中点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵且 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ 设 ∴ ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴ 【考点评析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形、三角函数，准确作出辅助线是解本题的关键. 【变式训练4-1】（2019·四川达州·中考真题）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决． 【规范解答】解：当时，，即S与t是二次函数关系，有最小值，开口向上， 当时，，即S与t是二次函数关系，开口向下， 由上可得，选项C符合题意， 故选C． 【考点评析】考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式训练4-2】（18-19九年级上·江苏盐城·期末）某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米，≈1.732)． 【答案】AC=6米；CD=5.2米. 【思路点拨】根据题意和正弦的定义求出AB的长，根据余弦的定义求出CD的长． 【规范解答】解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE， ∴∠CDA＝∠EBA＝90°， ∵∠E＝30°， ∴AB＝AE＝8米， ∵BC＝2米， ∴AC＝AB﹣BC＝6米， ∵∠DCA＝90°﹣∠DAC＝30°， ∴CD＝AC×cos∠DCA＝6×≈5.2(米)． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是①掌握特殊角的函数值，②能根据题意做构建直角三角形，③熟练掌握直角三角形的边角关系. 【变式训练4-3】（19-20九年级上·上海浦东新·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=    （1）试求的值； （2）试求△BCD的面积. 【答案】（1）；（2）. 【思路点拨】（1）作AH⊥BC，则△ABH中，根据勾股定理即可求得AH的长，即可求得sinB； （2）作DE⊥BC，则根据勾股定理可以求得BE的长，求得BC=BE+EC，即4k+6k=8，求得k的值即可求△BCD的面积． 【规范解答】   （1）作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ 在 中， ∴ （2）作,垂足为, 在中， ，令 , ， 则 ， 又在中，， 则 ， 于是 ，即 ， 解得 ， ∴. 【考点评析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键． 【变式训练4-4】（19-20九年级上·重庆·期中）如图1，在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥AD于点E，过AE上一点F作FH⊥CD于点H，交CE于点K，且KE=DE． （1）若AB=13，且cosD=，求线段EF的长； （2）如图2，连接AC，过F作FG⊥AC于点G，连接EG，求证：CG+GF=EG． 【答案】（1）12；（2）详见解析. 【思路点拨】（1）首先解直角三角形求出EC，再证明△FEK≌△CED（AAS），推出EF=CE=12即可解决问题； （2）如图，作EM⊥AC于M，EN⊥GF交GF的延长线于N，连接CF．证明△EGN≌△EGM（AAS），推出EN=EM，∵GN=GM，EF=EC，推出Rt△ENF≌Rt△EMC（HL），推出FN=CM，推出CG+GF=GM+CM+GN-FN=2GM=EG； 【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=13， ∵CE⊥AD，FH⊥CD， ∴∠FHC=∠CED=90°， 在Rt△CDE中，∵cosD==， ∴DE=5， ∴CE==12， ∵∠FEK=∠CED=90°，∠FKE=∠CKE， ∴∠EFK=∠ECD， ∵EK=DE， ∴△FEK≌△CED（AAS）， ∴EF=CE=12． （2）证明：如图，作EM⊥AC于M，EN⊥GF交GF的延长线于N，连接CF． ∵FG⊥AC，CE⊥AD， ∴∠FGC=∠FEC=90°， ∵EF=EC， ∴∠EFC=∠ECF=45°， ∴∠FGC+∠FEC=90°， ∴E，F，G，C四点共圆， ∴∠FGE=∠ECF=45°，∠EGC=∠EFC=45°， ∴∠EGN=∠EGM，∵∠EMG=∠ENG=90°，EG=EG， ∴△EGN≌△EGM（AAS）， ∴EN=EM，∵GM=GN，EF=EC， ∴Rt△ENF≌Rt△EMC（HL）， ∴FN=CM， ∴CG+GF=GM+CM+GN-FN=2GM=EG． 【考点评析】考查平行四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【题型05 仰角俯角问题（解直角三角形的应用）】 【易错题精讲】（19-20九年级上·海南海口·期末）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点B，底座米，底座与支架所成的角，点H在支架上，篮板底部支架．于点E，已知米， 米，米． (1)求篮板底部支架与支架所成的的度数． (2)求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：，） 【答案】(1) (2)大约是2.75米 【思路点拨】本题考查解直角三角形、锐角三角函数； （1）由可得答案； （2）延长交的延长线于M，过点A作于G，过点H作于N，据此知中，求得；中，求得；根据可得答案． 【规范解答】（1）解：在中，， ∴． 答：篮板底部支架与支架AF所成的的度数为； （2）解：延长交的延长线于M，过点A作于G，则四边形和四边形是矩形， ∴，， 在中，∵， ∴（米） ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴． 答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米． 【变式训练5-1】（23-24九年级上·陕西西安·期中）在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．(点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号) 【答案】米 【思路点拨】本题考查的是解直角三角形的应用：仰角俯角、坡度坡角问题，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，依据题意得：，，设米，则米，在中，利用勾股定理求出、的长．再设米，则米，最后分别在和中利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程即可求解． 【规范解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 依据题意得：，， 坡长米，坡度， ， 设米，则米， 在中， (米)， ，解得：， 米，则米， 设米， 米， 在中，， (米)， 在中，， 米， ， ， 解得：， (米)， 旗杆的高度为米． 【变式训练5-2】（23-24九年级上·山东济南·期末）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点、处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为5米，高为3米．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为．、、、、在同一平面内．设塔的高度为米． (1)用含有x的式子表示线段的长： ； (2)你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】(1) (2)能，信号塔的高约为31米． 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得：，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据，列出关于的方程，进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意得：，， 在中，米，米， （米， 在中，，米， （米， 米， 故答案为：； （2）解：我认为小王同学能求出信号塔的高， 理由：过点作，垂足为， 由题意得：米，米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 信号塔的高约为31米． 【变式训练5-3】（2023·河南周口·三模）郑州博物馆（新馆）位于郑州奥体中心附近，周边有郑州大剧院，郑州植物园等，其主展馆以郑州出土的商代青铜方鼎为造型基础，整体建筑风格取鼎器粗犷与精美相统一的神韵，让人叹为观止．某校数学小组的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量郑州博物馆（新馆）的高度，如图，他们在C处测得顶端A的仰角为，沿方向前进17m到达D处，又测得顶端A的仰角为．已知测角仪的高度为1.5m，测量点C，D与郑州博物馆（新馆）的底部B在同一水平线上，求郑州博物馆（新馆）的高度．（结果精确到1m．参考数据：，，）    【答案】61.5m 【思路点拨】先延长，交于点G，再设的长为x，最后表示出，,最后用正切定义列出方程即可求出的长，再求和即可得到的长． 【规范解答】如图，延长，交于点G    设 ∵, ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ ∴（此时分母不为0） ∵,, ∴四边形是矩形 ∴ ∴ 故郑州博物馆（新馆）的高度为61.5m． 【考点评析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正切的定义，列解分式方程，关键是在直角三角形中，找到边与边之间的关系，并能正确运算． 【变式训练5-4】（2022·海南·中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空：___________度，___________度； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【答案】(1)75；60 (2)米 (3)110米 【思路点拨】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求； （2）在中，求出DE的长度再根据计算即可； （3）作于点G，交于点F，证明即可． 【规范解答】（1）过点A作于点E， 由题意得： ∴ （2）由题意得：米，． 在中，， ∴， ∴ ∴楼的高度为米． （3）作于点G，交于点F， 则 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴（AAS）． ∴． ∴ ∴无人机距离地面的高度为110米． 【考点评析】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 【题型06 方位角问题（解直角三角形的应用）】 【易错题精讲】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日， 在雷达塔 A 处侦测到东北方向上的点 B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以 30 海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了 1 小时 10 分到达点 A 南偏东方向的 C 处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不 计）与 A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与 A 相距 100 海里的 D 处． (1)求的距离和点 D 到直线的距离； (2)若海警船航行速度为 40 海里/时，可侦测半径为 25 海里，当海警船航行 1 小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据： ， ， ） 【答案】(1)的距离为25海里，点D到直线的距离为60海里 (2)可以侦测到菲律宾渔船，理由见解析 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用： （1）作于E，于F，根据方向角和锐角三角函数的定义求出，求出，根据题意求出，根据正弦的定义求出； （2）设1小时后，海警船到达点，菲律宾渔船到达点，分别求出的长，勾股定理求出的长，判断即可． 【规范解答】（1）解：作于E，于F， 由题意得，，设海里， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的距离为25海里，点D到直线的距离为60海里； （2）能，理由如下： 设1小时后，海警船到达点，菲律宾渔船到达点，则，， 由（1）知， ∴，， 由勾股定理，得： 故可以侦测到菲律宾渔船． 【变式训练6-1】（22-23九年级下·重庆铜梁·期中）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题是解直角三角形的实际应用，关键理解方位角，并通过作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形是解题的关键．对于非直角三角形问题，常常作垂线转化为直角三角形问题解决． （1）过点C作于点D，分别在和中，解直角三角形即可求得的长； （2）由题意可得及的长，则计算即可求得结果． 【规范解答】（1）解：过点C作于点D， 由题意得，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故景点B和C处之间的距离为； （2）由题意得：，， ， 即大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约． 【变式训练6-2】（23-24九年级下·重庆·期中）旅游旺季，某沙漠景区吸引了大量游客，为了更好的参观，特绘制了沙漠线路的平面示意图．景点B在入口A的正西方向，景点C在景点B的正北方向，景点D在入口A的北偏西方向1000米处，景点D在景点C的东南方向1800米处．（参考数据：，）    (1)求的长度；（结果精确到个位） (2)小明和小华从入口A处进入，约定一起到景点C处看日落．小明选择步行①，步行速度为90米/分钟，在景点D处停留5分钟观赏沙漠中的泉水景观，然后按原速继续向景点C前进．小华选择骑骆驼②，在景点B处不停留，骆驼队伍速度为110米/分钟，若两人同时从入口A出发，请计算说明小明和小华谁先到达景点C？（结果精确到0.1） 【答案】(1)的长度约为1769米 (2)小华先到达景点C 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用: （1）过点D作于点E，于点F，在中，求出，在中，求出，即可解决问题； （2）求出，进而求出，根据线路求出小明和小华各自到达景点C的时间，比较即可解决问题． 【规范解答】（1）解：（1）过点D作于点E，于点F，如图，    由题意，可知四边形是矩形，，，米，米， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：的长度约为1769米； （2）解：在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 小明选择步行①需要的时间为：（分钟）， 小华选择骑骆驼②，需要的时间为：（分钟）， ∵， ∴小华先到达景点C． 【变式训练6-3】（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，五边形是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点在点的正北方935米处，点在点的正东方，点在点的北偏东，且在点的正北方；，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果精确到米）； (2)小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点出发沿路线的方向骑行，爸爸以150米/分的速度从点出发沿路线的方向跑步前行．两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达点？请说明理由． 【答案】(1)960米 (2)小明先到达点，理由见详解 【思路点拨】（1）过点作于点，首先求得米，，再在中利用三角函数解得米，然后证明四边形为矩形，由矩形的性质即可获得答案； （2）首先求得的值，再分别求得小明和爸爸到达点所经过的路程，然后计算两人用时，比较即可获得答案． 【规范解答】（1）解：过点作于点，如下图， 则， 根据题意可知，米，，， ∵，米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴在中，米， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米； （2）小明先到达点，理由如下： 在中，米， 由（1）可知，四边形为矩形，米， ∴米， ∴米， ∴米， 米， ∴小明到达点用时为：分钟， 爸爸到达点用时为：分钟， ∵， ∴小明先到达点． 【考点评析】本题主要考查了三角函数的应用、方位角问题、勾股定理、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练运用相关知识，并正确作出辅助线是解题关键． 【变式训练6-4】（19-20九年级上·河南洛阳·期中）2019年4月23日是中国人民解放军海军成立70周年纪念日，届时将在青岛举行盛大的多国海军庆祝活动．为此我国海军进行了多次军事演习．如图，在某次军事演习时，舰艇A发现在他北偏东22°方向上有不明敌舰在指挥中心O附近徘徊，快速报告给指挥中心，此时在舰艇A正西方向50海里处的舰艇B接到返回指挥中心的行动指令，舰艇B迅速赶往在他北偏东60°方向的指挥中心处，舰艇B的速度是80海里/小时，请根据以上信息，求舰艇B到达指挥中心O的时间．（结果精确到0.1小时，参考数据：（sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，＝1.73） 【答案】舰艇B到达指挥中心O的时间约为0.9小时． 【思路点拨】要求舰艇B到达指挥中心O的事件，根据“时间=路程÷速度”，即要求BO的长度，过点O作OC⊥AB，构造Rt△OAC和Rt△OBC，通过锐角三角函数进行求解即可. 【规范解答】解：作OC⊥AB交BA的延长线于C， 由题意得，∠OBC＝30°，∠AOC＝22°， 设OC＝x海里， 在Rt△OBC中，∠OBC＝30° 则OB＝2OC＝2x，BC＝＝x， 在Rt△OAC中，∠AOC＝22°， 则AC＝OC•tan∠AOC≈0.4x， 由题意得，x﹣0.4x＝50， 解得，x＝37.59，  OB＝2x＝75.18（海里）， 则舰艇B到达指挥中心O的时间为：75.18÷80≈0.9（小时） 答：舰艇B到达指挥中心O的时间约为0.9小时． 【考点评析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题. 将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线.在本题中还需注意Rt△OAC和Rt△OBC的边之间的关系，利用边之间关系建立方程解决问题. 【题型07 坡度坡比问题（解直角三角形的应用）】 【易错题精讲】（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为 m． 【答案】12 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用、坡度坡角问题等知识点，根据图示确定在哪个直角三角形中进行解直角三角形是解题的关键． 先根据坡角，坡长米求得的长，从而知的长，再根据背水坡CD的坡度得到∠C的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得的长即可． 【规范解答】解：∵迎水坡的坡角，坡长m， ∴（米）， ∴， ∵背水坡CD的坡度，， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为12． 【变式训练7-1】（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，一段河坝的断面为梯形，为坝底上的高，则根据图中数据可算出坝底的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，过点作于，根据坡度与坡角的关系求出；根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案． 【规范解答】解：过点作于， 则四边形为矩形， ，， 斜坡的坡度， 在中，，， ， 故选：A． 【变式训练7-2】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）都为．如果在坡度为的山坡上种树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离为 ． 【答案】 【思路点拨】考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，以及勾股定理的运用，根据坡度为求得竖直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离即可． 【规范解答】解：竖直高度， 由勾股定理可得：相邻两树间的坡面距离为， 故答案为：5． 【变式训练7-3】（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，某数学小组测量街阳三塔之一“来雁塔”的高度，在坡D处测得测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为 (1)求坡顶C到地面的距离： (2)计算来雁塔的高度． 【答案】(1)坡顶C到地面的距离为10米 (2)米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题： （1）延长交于点E，过点C作，垂足为F，则，，先设米，则，由勾股定理列方程，求出x的值即可解决问题； （2）在中，设，用含有的式子表示，再根据求出的值，即可得出． 【规范解答】（1）解：延长交于点E，过点C作，垂足为F， 则， 设米，则米， 在中，米， ∴, ∴ 解得，（负䐈舍去） ∴米，米； 即坡顶C到地面的距离为10米； （2）解：设米， 在中， ∴； 在中， ∴ ∴ ∴，解得， ∴米． 【变式训练7-4】．（21-22九年级下·上海·期中）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区． (1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； (2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行． 表：轮椅坡道的最大高度和水平长度 坡度 1：20 1：16 1：12 1：10 1：8 最大高度（m） 1.20 0.90 0.75 0.60 0.30 水平长度（m） 24.00 14.40 9.00 6.00 2.40 【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m (2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析 【思路点拨】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； （2）根据坡度的定义求出新方案斜坡 的水平距离进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可． 【规范解答】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点 和点，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点，射线FC过点，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，E＝5m， ∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即＝1：2.4， ∴AE＝4×2.4＝9.6（m）， 又∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AE＝DF＝9.6m， ∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m）， AB＝＝＝10.4（m）＝CD， ∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m）， 答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m． （2）解：∵斜坡的坡度为1：4，即＝1：4， ∴E＝5×4＝20（m）， ∴A＝20﹣9.6＝11.4（m）， G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m）， ∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m）， 点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m）， ∵14.2＜14.4， ∴轮椅坡道的设计不可行． 【考点评析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键． 【题型08 其他问题（解直角三角形的应用）】 【易错题精讲】（22-23九年级下·江苏泰州·期中）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高为，连杆长度为，手臂的长度为，B，C是转动点，且，与始终在同一平面内． (1)转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，）． (2)物品在操作台上，距离底座A端的点M处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由． 【答案】(1)手臂端点离操作台的高度的长约为 (2)不能，理由见解析 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数及勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，，，再解直角三角形可得的长，由此即可得； （2）当点共线时，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， 则， 答：手臂端点离操作台的高度的长约为． （2）解：手臂端点不能碰到点，理由如下： 由题意可知，如图，当点共线时，手臂端点能碰到的距离最远， ∴此时， ∵，， ∴， 即手臂端点不能碰到点． 【变式训练8-1】（23-24九年级上·浙江湖州·期末）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号） (2)小吉通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：） 【答案】(1) (2)当α从变化到的过程中，高度增加了 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，，易得四边形为矩形，那么可得，所以，利用的三角函数值可得长，进而可求解； （2）过点C作，过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【规范解答】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M， ， 由题意得：， 四边形为矩形， ． ， ． ， ． ， 答：支点C离桌面l的高度为； （2）解：过点C作，过点E作于点H，     ， ， ， 当时，； 当时，； ， ∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了． 【变式训练8-2】（2020·河北·模拟预测）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点可以上下调整高度，离地面的距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴．    (1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．（结果保留一位小数） (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，只要把活动调节点向下移动即可，移动的距离与小华的身高有什么数量关系？直接写出你的结论． ②活动调节点不动，只要调整的大小，如图3，试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【答案】(1)125.4cm (2)①；②61.7° 【思路点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义． （1）过点作的延长线于点，交的延长线于点，利用含30度角的直角三角形的性质即可求出答案． （2）①由平行四边形的判定与性质即可知道； ②由勾股定理可求出的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的度数，从而可求出的度数． 【规范解答】（1）过点作的延长线于点，交的延长线于点，    ， 四边形为矩形， ，，， 在中，，， ，， ， ， ， 又， ， cm； （2）①， 如图，由平移可知： ， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得：四边形为平行四边形， ∴， ∴；    ②如图，连接，在中， ， ， ， 在中，． ， ， ， ．    【变式训练8-3】（2023·江西上饶·二模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．      (1)求的长． (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：．    （2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了．    【考点评析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． 【变式训练8-4】（22-23九年级上·山东东营·期中）如图，中，，，以点A为圆心、长为半径作弧，再以点B为圆心，长为半径作弧，与前弧交于点D，连接，交于点E，连接．      (1)猜想：如图1，写出线段与的数量关系是______，直线与直线所夹的锐角是______； (2)探究：如图2，将绕点B逆时针方向旋转α，在旋转过程中，（1）中的与的数量关系是否仍然成立，若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展：在（2）的条件下，若，当D、E、A共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)或 【思路点拨】（1）根据作法可得，，从而得到垂直平分，进而得到，，可证得是等边三角形，即可求解； （2）分别取的中点M，N，延长交于点P，设交于点Q，则，，可得，，证明，可得，从而得到，再由，可得，即可求解； （3）由（1）得：，，根据直角三角形的性质可得， ，由勾股定理可得，然后分两种情况：当点A在的延长线上时，当点A在的延长线上时，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据作法得：， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即直线与直线所夹的锐角是 故答案为：，； （2）解：仍然成立，理由如下： 如图，分别取的中点M，N，延长交于点P，设交于点Q，则，，    ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 当点A在的延长线上时，如图，    ∴， ∵， ∴， 当点A在的延长线上时，如图，    ∴， ∵， ∴； 综上所述，线段的长为或． 【考点评析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，旋转的性质等知识，做适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 解直角三角形及应用（易错、好题必刷40题8种题型专项训练） 目录 【题型01 解直角三角形及其应用】 1 【题型02 解直角三角形的相关计算】 4 【题型03 解非直角三角形】 6 【题型04 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 9 【题型05 仰角俯角问题（解直角三角形的应用）】 11 【题型06 方位角问题（解直角三角形的应用）】 14 【题型07 坡度坡比问题（解直角三角形的应用）】 18 【题型08 其他问题（解直角三角形的应用）】 20 【题型01 解直角三角形及其应用】 【易错题精讲】（2023·重庆沙坪坝·二模）如图，在四边形中，，，过点A作于点E，，动点P从点B出发，沿运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，的面积为． (1)请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【变式训练1-1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1-2】（22-23九年级上·北京·期中）已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求： (1)线段的长； (2)的值． 【变式训练1-3】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）在 和中，，，将 绕着点 A 旋转． (1)如图 1 ，当点 D 在线段 上，且 ，，求 的正切值； (2)如图 2， 与 交于点 N，连结 ，， 的延长线与 的延长线交于点 F， ，M 为 延长线上一点，当 时，连结 ，求证：； (3)如图 3 ，当 时，点 M，F 分别是边 ， 的中点，连结 ，N 为 的中 点，连结 ，当 恰好经过点 F 时，请直接写出的值． 【变式训练1-4】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在正方形中，点P是直线上一动点，连接，以为边作等边，作直线交于点E． (1)如图1，若点Q落在边上，则 ； (2)如图2，若点Q落在正方形外，求证； (3)如图3，若向的另一侧作等边，连接，此时，求的值． 【题型02 解直角三角形的相关计算】 【易错题精讲】（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，内接于，，点在直径的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【变式训练2-1】（23-24九年级上·山东聊城·期中）在中，，，，则（　） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，连接，若，．则的长为 ． 【变式训练2-3】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面直角坐标系中，已知矩形的顶点O为坐标原点，的长为8，点，点B在y轴正半轴上， ，的角平分线交于点C． (1)求直线的解析式； (2)动点P从A出发，以5个单位／秒的速度沿方向向终点O运动．过P作于点E，直线交射线于点F，设的长为，P点的运动时间为t，求y与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接、，当的一边与平行时，求的正切值． 【变式训练2-4】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，，，点是射线上的动点（点不与点重合），在的下方作． (1)求的值； (2)当在线段上时，射线交于点，若与相似时，求的长； (3)在的下方作交于点，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【题型03 解非直角三角形】 【易错题精讲】（20-21九年级下·福建龙岩·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：    (1)________． (2)对于，的正对值的取值范围是________． (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 【变式训练3-1】（21-22九年级下·上海静安·期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG= ． 【变式训练3-2】（2021·浙江温州·三模）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架和两个大小相同的车轮组成，已知，，，当，，F在同一水平高度上时，135°，则 ；为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至，如图3所示，则为 ． 【变式训练3-3】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【变式训练3-4】（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【题型04 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【易错题精讲】（19-20九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，Rt△ABC，∠C=90°，tan∠A=，D是AC中点，∠ABD=∠FBD，BC=6，CF∥AB，则DF= . 【变式训练4-1】（2019·四川达州·中考真题）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（18-19九年级上·江苏盐城·期末）某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米，≈1.732)． 【变式训练4-3】（19-20九年级上·上海浦东新·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=    （1）试求的值； （2）试求△BCD的面积. 【变式训练4-4】（19-20九年级上·重庆·期中）如图1，在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥AD于点E，过AE上一点F作FH⊥CD于点H，交CE于点K，且KE=DE． （1）若AB=13，且cosD=，求线段EF的长； （2）如图2，连接AC，过F作FG⊥AC于点G，连接EG，求证：CG+GF=EG． 【题型05 仰角俯角问题（解直角三角形的应用）】 【易错题精讲】（19-20九年级上·海南海口·期末）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点B，底座米，底座与支架所成的角，点H在支架上，篮板底部支架．于点E，已知米， 米，米． (1)求篮板底部支架与支架所成的的度数． (2)求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：，） 【变式训练5-1】（23-24九年级上·陕西西安·期中）在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．(点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号) 【变式训练5-2】（23-24九年级上·山东济南·期末）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点、处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为5米，高为3米．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为．、、、、在同一平面内．设塔的高度为米． (1)用含有x的式子表示线段的长： ； (2)你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 【变式训练5-3】（2023·河南周口·三模）郑州博物馆（新馆）位于郑州奥体中心附近，周边有郑州大剧院，郑州植物园等，其主展馆以郑州出土的商代青铜方鼎为造型基础，整体建筑风格取鼎器粗犷与精美相统一的神韵，让人叹为观止．某校数学小组的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量郑州博物馆（新馆）的高度，如图，他们在C处测得顶端A的仰角为，沿方向前进17m到达D处，又测得顶端A的仰角为．已知测角仪的高度为1.5m，测量点C，D与郑州博物馆（新馆）的底部B在同一水平线上，求郑州博物馆（新馆）的高度．（结果精确到1m．参考数据：，，）    【变式训练5-4】（2022·海南·中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空：___________度，___________度； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【题型06 方位角问题（解直角三角形的应用）】 【易错题精讲】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日， 在雷达塔 A 处侦测到东北方向上的点 B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以 30 海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了 1 小时 10 分到达点 A 南偏东方向的 C 处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不 计）与 A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与 A 相距 100 海里的 D 处． (1)求的距离和点 D 到直线的距离； (2)若海警船航行速度为 40 海里/时，可侦测半径为 25 海里，当海警船航行 1 小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据： ， ， ） 【变式训练6-1】（22-23九年级下·重庆铜梁·期中）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 【变式训练6-2】（23-24九年级下·重庆·期中）旅游旺季，某沙漠景区吸引了大量游客，为了更好的参观，特绘制了沙漠线路的平面示意图．景点B在入口A的正西方向，景点C在景点B的正北方向，景点D在入口A的北偏西方向1000米处，景点D在景点C的东南方向1800米处．（参考数据：，）    (1)求的长度；（结果精确到个位） (2)小明和小华从入口A处进入，约定一起到景点C处看日落．小明选择步行①，步行速度为90米/分钟，在景点D处停留5分钟观赏沙漠中的泉水景观，然后按原速继续向景点C前进．小华选择骑骆驼②，在景点B处不停留，骆驼队伍速度为110米/分钟，若两人同时从入口A出发，请计算说明小明和小华谁先到达景点C？（结果精确到0.1） 【变式训练6-3】（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，五边形是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点在点的正北方935米处，点在点的正东方，点在点的北偏东，且在点的正北方；，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果精确到米）； (2)小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点出发沿路线的方向骑行，爸爸以150米/分的速度从点出发沿路线的方向跑步前行．两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达点？请说明理由． 【变式训练6-4】（19-20九年级上·河南洛阳·期中）2019年4月23日是中国人民解放军海军成立70周年纪念日，届时将在青岛举行盛大的多国海军庆祝活动．为此我国海军进行了多次军事演习．如图，在某次军事演习时，舰艇A发现在他北偏东22°方向上有不明敌舰在指挥中心O附近徘徊，快速报告给指挥中心，此时在舰艇A正西方向50海里处的舰艇B接到返回指挥中心的行动指令，舰艇B迅速赶往在他北偏东60°方向的指挥中心处，舰艇B的速度是80海里/小时，请根据以上信息，求舰艇B到达指挥中心O的时间．（结果精确到0.1小时，参考数据：（sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，＝1.73） 【题型07 坡度坡比问题（解直角三角形的应用）】 【易错题精讲】（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为 m． 【变式训练7-1】（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，一段河坝的断面为梯形，为坝底上的高，则根据图中数据可算出坝底的宽度为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）都为．如果在坡度为的山坡上种树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离为 ． 【变式训练7-3】（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，某数学小组测量街阳三塔之一“来雁塔”的高度，在坡D处测得测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为 (1)求坡顶C到地面的距离： (2)计算来雁塔的高度． 【变式训练7-4】．（21-22九年级下·上海·期中）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区． (1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； (2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行． 表：轮椅坡道的最大高度和水平长度 坡度 1：20 1：16 1：12 1：10 1：8 最大高度（m） 1.20 0.90 0.75 0.60 0.30 水平长度（m） 24.00 14.40 9.00 6.00 2.40 【题型08 其他问题（解直角三角形的应用）】 【易错题精讲】（22-23九年级下·江苏泰州·期中）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高为，连杆长度为，手臂的长度为，B，C是转动点，且，与始终在同一平面内． (1)转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，）． (2)物品在操作台上，距离底座A端的点M处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由． 【变式训练8-1】（23-24九年级上·浙江湖州·期末）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号） (2)小吉通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：） 【变式训练8-2】（2020·河北·模拟预测）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点可以上下调整高度，离地面的距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴．    (1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．（结果保留一位小数） (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，只要把活动调节点向下移动即可，移动的距离与小华的身高有什么数量关系？直接写出你的结论． ②活动调节点不动，只要调整的大小，如图3，试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【变式训练8-3】（2023·江西上饶·二模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．      (1)求的长． (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【变式训练8-4】（22-23九年级上·山东东营·期中）如图，中，，，以点A为圆心、长为半径作弧，再以点B为圆心，长为半径作弧，与前弧交于点D，连接，交于点E，连接．      (1)猜想：如图1，写出线段与的数量关系是______，直线与直线所夹的锐角是______； (2)探究：如图2，将绕点B逆时针方向旋转α，在旋转过程中，（1）中的与的数量关系是否仍然成立，若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展：在（2）的条件下，若，当D、E、A共线时，请直接写出线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$