精品解析： 山东省青岛市崂山区实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年山东省青岛市崂山区实验学校九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，那么下列等式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10m，宽为6m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（ ） A B. C. D. 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，大小关系为（　　） A. B. C. D. 5. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A B. C. D. 6. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（　　） A. 25 mm B. 20mm C. 15 mm D. 8mm 7. 如图，平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F,当AB=6,BC=8时，的值为(  ) A. 3:4 B. 4:3 C. 3:7 D. 3:14 8. 如图，的顶点B在反比例函数的图象上，边在x轴上，已知，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 12 B. C. D. 9. 如图，在中，点、分别在、边上，，若 ， 则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，D是等边三角形边上的点，，，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为，且点E、点F分别在边和上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 12. 若是关于x一元二次方程一个根，则_________． 13. 如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 __________________． 14. 如图，点A是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k＝________． 15. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为______． 16. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的为 _________． 三、解答题（共72分） 17. 已知：如图，线段a和∠α，求作：矩形，使对角线，两条对角线、的夹角为α．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 18. 解下列方程组 （1）； （2）； （3）． 19. 某校以“我最喜爱的冰雪运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有短道速滑，花样滑冰，速度滑冰，冰壶以及其他项目（每个同学必须选择且只能选择一个项目），并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次调查共抽取了多少名同学？ （2）将条形统计图补充完整； （3）在学校举办的“共筑冰雪中国梦”的主题演讲比赛中，小明获得了一等奖，他可以在包装完全相同的A，B，C，D四枚冬奥纪念章中选取两枚，请用列表或画树状图法求出小明选到的纪念章恰好是“A”和“C”图案的概率． 20. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上． （1）求BC边上的高； （2）求正方形EFGH的边长． 21. 【探索发现】 （1）如图1，在四边形ABCD中，，对角线AC、BD相交于M，则成立吗?小丽是这样证明的． 证明：过点A作于点E，于点F，，， ∵， ∴ ∴， ∴ 【类比应用】 （2）如图2，对于四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于M，则的结论是否成立?请写出证明过程． 【拓展延伸】 （3）在图（3）的情形下，，则_________ （4）在图（4）的情形下，，则_________ 22. 如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 23. 如图，矩形的对角线相交于点，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 25. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点 M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交 BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts(0＜t＜5)． (1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？ (2)设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (4)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省青岛市崂山区实验学校九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：，含两个未知数x和y，不符合“一元”条件，排除； 选项B：，未明确，若则方程变为一次方程，无法确定是否为二次方程，排除； 选项C：，展开为，整理得，满足整式、一元且最高次数为2，符合定义； 选项D：，含分式，非整式方程，排除； 故选：C． 2. 已知，那么下列等式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键． 根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：，，，， 不成立的是B． 故答案为：B． 3. 如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10m，宽为6m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上两点求解即可． 【详解】解：由表可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率逐渐稳定于， 所以小球落在不规则图案上的概率约为， 则估计不规则图案的面积大约是， 故选：B． 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键．先判断出反比例函数图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而减小判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ， ， ， ． 故选：A． 5. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，， ∵原方程为， ∴是原方程的一个近似解， 故选：D． 6. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（　　） A. 25 mm B. 20mm C. 15 mm D. 8mm 【答案】A 【解析】 【分析】连接图2、图3中的BD，图2中证明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，在图3中证明四边形EFDB是矩形，求得BD，进而作差即可求解． 【详解】解：如图2，连接BD， ∵AE=CF=28，BE=DF=35 ， ∴，又∠EAF=∠BAD， ∴△AEF∽△ABD， ∴，又EF=20， ∴，解得：BD=45， 如图3，连接BD， ∵BEDF，BE=DF， ∴四边形EFDB是平行四边形， ∵∠BEF=90°， ∴四边形EFDB是矩形，则BD=EF=20， ∴从闭合到打开B，D之间的距离减少了45-20=25（mm）， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的应用、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，理解题意，会利用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解答的关键． 7. 如图，平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F,当AB=6,BC=8时，的值为(  ) A. 3:4 B. 4:3 C. 3:7 D. 3:14 【答案】C 【解析】 【分析】由在▱ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质，可求得∠FBC=∠AFB，又由BF是∠ABC的平分线，易证得∠ABF=∠AFB，利用等角对等边的知识，即可证得AB=AF，再证得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值． 【详解】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠CBF=∠AFB， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∵平行四边形ABCD， ∴AB=AF， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∵平行四边形ABCD， ∴AB=AF， ∵AB=6， ∴AF=6， ∵AF∥BC， ∴△AEF∽△CEB， ∴ === ∴= 故选C. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意有平行线与角平分线易得等腰三角形． 8. 如图，的顶点B在反比例函数的图象上，边在x轴上，已知，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式求出B点坐标为，解直角三角形得出，，，根据，得出，求出，根据梯形面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴B点纵坐标为4， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴当时，，即B点坐标为， ∴， 在中，，，， ∴，，， 设与y轴交于点D， ∵， ∴∽， ∴， 即， 解得：， ∴阴影部分的面积是：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何综合，解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，求出． 9. 如图，在中，点、分别在、边上，，若 ， 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质：高相等的两个三角形的面积之比等于底之比，根据题意得，，与是同高，底之比等于，从而得出面积之比． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， 故选：B 10. 如图，D是等边三角形边上的点，，，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为，且点E、点F分别在边和上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴方程的判别式：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键． 12. 若是关于x一元二次方程的一个根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接将方程的解代入方程求解即可． 【详解】解：将代入方程得： ， 解得：m=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查已知一元二次方程的解求参数，准确运算是解题的关键． 13. 如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 __________________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】此题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，掌握相关知识是解题的关键．根据若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或，即可求解． 【详解】解：按比例尺把缩小，， 点的对应点的坐标是或，即或， 故答案：或． 14. 如图，点A是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k＝________． 【答案】-4 【解析】 【详解】试题分析：由于点A是反比例函数y=上一点，矩形ABOC的面积S=|k|=4，则k的值为-4． 考点：反比例函数 15. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，是等边三角形，延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的为 _________． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】由是等边三角形，得，而，故①正确；由，，可判定②正确；由，对应边成比例，由与同高，得，则判定③错误，过点D作于M，过点P作于N，然后根据三角形面积公式即可判断④，由，得，可判定⑤正确． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 又∵与同高， ∴， ∵，F不是中点， ∴， ∴,故③错误； 过点D作于M，过点P作于N， 由题意可得， ∴，， ∴， ∴，故④正确， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤正确， ∴正确的为①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 已知：如图，线段a和∠α，求作：矩形，使对角线，两条对角线、的夹角为α．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图，矩形的判定，作一个角等于已知角，先作线段，作的垂直平分线确定线段的中点，作，作直线，分别截取，再顺次连接A，B，C，D即可． 【详解】解：如图，矩形即为所求作的四边形； ． 18. 解下列方程组 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，配方法，解题的关键是掌握因式分解法解方程，配方法解方程． （1）利用配方法解一元二次方程，即可求解； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： 【小问2详解】 解： ， 或， 解得： 【小问3详解】 解： ∴ ， 或， 解得： 19. 某校以“我最喜爱的冰雪运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有短道速滑，花样滑冰，速度滑冰，冰壶以及其他项目（每个同学必须选择且只能选择一个项目），并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次调查共抽取了多少名同学？ （2）将条形统计图补充完整； （3）在学校举办的“共筑冰雪中国梦”的主题演讲比赛中，小明获得了一等奖，他可以在包装完全相同的A，B，C，D四枚冬奥纪念章中选取两枚，请用列表或画树状图法求出小明选到的纪念章恰好是“A”和“C”图案的概率． 【答案】（1）120名 （2）补全图形见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用花样滑冰的人数除以其所占百分比可以得解； （2）由（1）所得结论及已知条件可以得到速度滑冰的人数，从而可以补全条形统计图； （3）通过列表把所有可能的结果表示出来，然后根据概率的意义即可得到解答． 【小问1详解】 解：人 答：本次调查共抽取了120名同学． 【小问2详解】 解：速度滑冰的人数为：人 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解： A B C D A （B ，A） （C ，A） （D， A） B （A ，B） （C ，B） （D， B） C （A ，C） （B ，C） （D ，C） D （A ，D） （B ，D） （C， D） 一共产生12种结果，每种结果发生的可能性相同，其中恰好选中A和C的结果有2种，分别是（A，C），（C，A）， ∴． 【点睛】本题考查数据的整理和应用，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的关联应用及列表法求概率的方法是解题关键． 20. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上． （1）求BC边上的高； （2）求正方形EFGH的边长． 【答案】（1）12cm；（2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面积即可得出答案； （2）设正方形边长为x，证出△AEH∽△ABC，得出比例式，进而得出答案． 【详解】解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm， ∴BC＝＝25（cm）， ∵BC×AD＝AB×AC， ∴AD＝＝＝12（cm）； 即BC边上的高为12cm； （2）设正方形EFGH的边长为xcm， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC， ∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C， ∴△AEH∽△ABC． ∴＝，即＝， 解得：x＝， 即正方形EFGH的边长为cm． 【点睛】 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型． 21. 【探索发现】 （1）如图1，在四边形ABCD中，，对角线AC、BD相交于M，则成立吗?小丽是这样证明的． 证明：过点A作于点E，于点F，，， ∵， ∴ ∴， ∴ 【类比应用】 （2）如图2，对于四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于M，则的结论是否成立?请写出证明过程． 【拓展延伸】 （3）在图（3）的情形下，，则_________ （4）在图（4）的情形下，，则_________ 【答案】（2）见解析； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）借助辅助线，用线段表示出三角形面积，面积比等于对应线段的比值，再通过相似进行转换即可； （2）过点A作于点E，过点C作于点F，参照（1）得到结果； （3）如图，过点A作于点M，过点C作于点N，得到，根据相似三角形的性质，从而得到的值，利用三角形面积公式求解即可； （4）如图，过点A作于点M，过点C作于点N，得到，根据相似三角形的性质，从而得到的值，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）探索发现已证明； （2）成立，理由如下： 如图，过点A作于点E，过点C作于点F，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）如图，过点A作于点M，过点C作于点N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． （4）如图，过点A作于点M，过点C作于点N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质；合理作辅助线、构建相似三角形，利用相似的性质求出边的比值是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）由题意先求出，然后得到点B的坐标，进而问题可求解； （2）由（1）可得以PB为底，点A到PB的距离为高，即为点A、B之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解； （3）根据函数图象可直接进行求解． 【详解】解：（1）把点代入反比例函数解析式得：， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴，解得：， ∴， 把点A、B作代入直线解析式得：，解得：， ∴； （2）由（1）可得：，， ∵轴， ∴， ∴点A到PB的距离为， ∴； （3）由（1）及图象可得：当时，x的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 23. 如图，矩形的对角线相交于点，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质． （1）根据菱形的判定证明即可； （2）作交延长线于点，根据菱形的性质和三角函数解答即可． 【小问1详解】 解：证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， 在菱形中， ∴均为等边三角形， ∴， 如图，作交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴△EBC的面积 24 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】任务一：平均增长率为；任务二：该零件的实际售价应定为50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：（1）设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）设该零件的实际售价m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元． 25. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点 M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交 BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts(0＜t＜5)． (1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？ (2)设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (4)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质进行求解； （2）过P作PE⊥AC，交AC于E，根据PQ∥AC得出△PBQ∽△ABC，根据相似比求出函数关系式； （3）首先求出△ABC的面积，然后求出y的值，解出方程得出x的值； （4）假设存在某一时刻t，然后根据△AHM和△ADB相似进行以及△HMP的勾股定理进行解答． 【详解】解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形， 则PMQC， ∴AP=AM ∴， 解得 答：当s时，四边形PQCM是平行四边形． （2）过P作PE⊥AC，交AC于E． ∵PQ AC ∴△PBQ∽△ABC， ∴△PBQ是等腰三角形，PQ=PB=， ∴， 即， 解得， ∴ 又∵， ∴ 答：y与t之间的函数关系式是； （3） 当时， 解得，（舍去） 答：当时，S四边形PQCM＝S△ABC； （4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC， 过M作MH⊥AB，交AB于H，由△AHM∽△ADB ∴， 又 ∴， ∴ 即 在Rt△HMP中， 又∵ 由 ∴ 解得：（舍去） 答：当s时，点M在线段PC的垂直平分线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $