精品解析：2024年北京市九年级学业水平考试数学适应性模拟练习试卷

2024年北京市学业水平考试数学适应性模拟练习试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱锥 D. 长方体 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图都是长方形即可判断该几何体为长方体． 【详解】解：长方体的三视图都是长方形， 故选D． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟知基本几何体的三视图，正确判断几何体． 2. 下列图形中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称和轴对称图形的定义逐个判断，从而得出选项． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 故答案是：C． 【点睛】本题考查轴对称图形的判定和中心对称图形的判定，掌握图形对称的基本概念，是求解的关键． 3. 如图，直线，点B在直线b上，且，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂线的性质和平角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数． 【详解】解：如图示： ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝35°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角的概念，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组的解集为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5. 如果是方程的一个根，那么m、n的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不确定的 【答案】A 【解析】 【分析】把方程的解代入方程，得到m，n的关系式，判断m，n的大小． 【详解】解：把代入方程有： ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到m，n的关系式，是解题的关键． 6. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系． 【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为， ∴正好是抛物线的顶点坐标， ∴是二次函数的最大值， ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大． 7. 在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得， 黑球的个数为： ， 故选：D． 【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，理解概率的意义． 8. 如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④．则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出，，等面积法求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵折叠， ∴ ∴在以为圆心，为直径的圆上， ∴， ∴ ∵矩形，其中， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，请把答案直接填写在横线上． 9. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义，可得分母不为零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则分母满足， 解得． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 11. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故答案为： 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和 ∴把点代入得， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 13. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 14. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键． 15. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为______千米． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的解析式为：，直线的解析式为：；得到直线和的解析式，求出当时，的值，即可． 【详解】由图象可知，点和在直线上， ∴设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； 当时，， ∴， ∵点，点在直线上， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∴当时，， ∴小泽距甲地的距离为：（千米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查函数的知识，解题的关键是理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式． 16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果． 【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， ∴tan∠B'AC′＝=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键． 三、解答题：本大题有12个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，求零次幂，进行实数的计算即可求解． 【详解】解：原式＝ ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，求零次幂是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，值为 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∴当时，原式 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 19. 如图，在中，点E，F分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2），，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，证明四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论； （2）证明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 20. 某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次． （1）求珍珍第一局的得分； （2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 【答案】（1）珍珍第一局的得分为6分； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）根据题意列一元一次方程即可求解. 【小问1详解】 解：由题意得(分)， 答：珍珍第一局的得分为6分； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 21. 促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如表格和统计图： 等级 次数 频率 不合格 100≤x120 a 合格 120≤x140 b 良好 140≤x160 优秀 160≤x180 请结合上述信息完成下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是　 　； （4）若该校有2000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数． 【答案】（1）0.1；0.35； （2）如图，即为补全的频数分布直方图； （3）108°； （4）1800名 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图中不合格的数除总数即可求得a值；同理得出良好的人数，再根据扇形统计图求出优秀的人数即可得出合格的人数，再除总数即可求得b的值. （2）由（1）可得； （3）由（1）得出良好的人数除总人数，再乘360°即可． （4）先求出40个人合格及以上的人数占总人数的频率再乘2000即可解答. 【详解】解：（1）根据频数分布直方图可知：a＝4÷40＝0.1， 因为40×25%＝10， 所以b＝（40﹣4﹣12﹣10）÷40＝14÷40＝0.35， 故答案为：0.1；0.35； （2）略 （3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是360°×＝108°； 故答案为：108°； （4）因为2000×＝1800， 所以估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是1800． 【点睛】本题主要考查频数与频率，解题关键是熟练掌握频率=频数÷总数. 22. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为 （2）没有危险 理由如下： 过作，垂足为点     ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【小问1详解】 如图，作，垂足为点 在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 23. “冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量的2倍． （1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？ （2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元．为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元 （2）冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元 【解析】 【分析】（1）设“冰墩墩”的销售单价是x元，可得，解方程并检验可得“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元； （2）设“冰墩墩”购进m个，一月份销售利润为w元，则，解得：，而，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设“冰墩墩”的销售单价是x元，则“雪容融”的销售单价是元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴（元）， 答：“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元； 【小问2详解】 解：设1月份销售利润为w元，“冰墩墩”购进m个，则“雪容融”玩具为个， 则， 解得：， 由题意得：， ∵， ∴随m的增大而减小， ∴当时，w最大值， 答：冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元． 【点睛】本题考查分式方程、一次函数及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出方程、不等式及函数关系式． 24. 某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围栏周长为米，对于的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下． 请你补全探究过程． （1）建立函数模型： 设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第_________象限内交点的坐标； （2）画出函数图象： 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中画出直线； （3）平移直线，观察函数图象： 当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，直线与轴交点的纵坐标为_________； （4）得出结论： 若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长的最小值为_________米，此时矩形相邻两边的长分别为_________米、_________米． 【答案】（1）一 （2） 图像如图所示： （3）直线与轴交点的纵坐标为； （4）周长的最小值为8米；矩形相邻两边的长分别为2米、2米； 【解析】 【分析】（1）根据x，y是矩形的边长，都是正数，即可求解； （2）通过描点法可画出的图像； （3）根据题意将点代入，求出m，即可求出答案； （4）联立和，可知，即可求解． 【小问1详解】 解：∵x，y是矩形的边长，都是正数， 所以点在第一象限； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，； 【小问3详解】 解：将点代入得：， 解得：， 即， 当时，， ∴直线与轴交点的纵坐标为； 【小问4详解】 解：联立和并整理得：， ∴时，两个函数有交点， 解得：， ∴周长的最小值为8米， 可得，解得， ∴矩形相邻两边的长分别为2米、2米； 【点睛】本题考查的是反比例函数的综合应用，涉及到一次函数、一元二次方程、函数的平移等，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，难度不大． 25. 如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，． （1）求证：； （2）连接，若，的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：过O作于H，如图：    ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）10． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，切线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过O作于H，得到，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，延长交于E，根据切线的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，延长交于E，如图： ∵，是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 26. 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； （2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【答案】（1） （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）利用轴对称性质可得水柱所在抛物线（第二象限部分）的顶点，根据顶点坐标可设抛物线函数为，再代入抛物线上已知点的坐标可求出的值，即可得出水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； （2）根据（1）所得的函数解析式，代入时求得的值，结合图形即可得出答案； （3）根据（1）的函数解析式求出与轴的交点坐标，再二次函数图像的性质抛物线的形状不变时，可设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，再由函数图象过点代入函数表达式，求出的值，得到改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得第一象限抛物线的顶点坐标为， ∵水柱关于轴对称， ∴第二象限抛物线的顶点坐标为 设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当函数值时，有， 解得，， 结合图形可得，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内． 【小问3详解】 解：当时，， 喷出水柱的形状不变，水池的高度不变， 设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 该函数图象过点， ， 解得， 改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 该抛物线的顶点坐标为， 故扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当时的值；（3）根据点的坐标及二次函数性质，利用待定系数法求出二次函数表达式． 27. 如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上． （1）【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析；135 （2）解：；理由如下： 连接，如图所示： 根据旋转可知，， ∵， ∴、P、B、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：或；理由如下： 当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示： 根据解析（2）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 即； 当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示： 根据旋转可知，， ∵， ∴、B、P、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即； 综上分析可知，或． 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可；先求出，根据，求出； （2）根据，，证明、P、B、E四点共圆，得出，求出，根据等腰三角形的判定即可得出结论； （3）分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，分别画出图形，求出之间的数量关系即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：135． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合，并注意分类讨论． 28. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”． 例如：如图1，已知点，，在线段上，则点是直线：轴的“伴随点”． （1）如图2，已知点，，是线段上一点，直线过，两点，当点是直线的“伴随点”时，求点的坐标； （2）如图3，轴上方有一等边三角形，轴，顶点A在轴上且在上方，，点是上一点，且点是直线：轴的“伴随点”．当点到轴的距离最小时，求等边三角形的边长； （3）如图4，以，，为顶点的正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”．请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据新定义得出，根据已知得出，则，即可求解； （2）当到轴的距离最小时，点在线段上，设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的“伴随点”．且点到轴的距离最小，则的纵坐标为，即，是等边三角形，且轴，设交于点，则，得出，根据即可求解； （3）由正方形的边长为1，即可求出P到的距离为，从而可得P既在正方形的边上，也在到距离为的直线上，当时，向上平移2个单位长度得，分别求出过A、C时b的值；当时，向下平移2个单位长度得，分别求出过A、C时b的值，即可求出b的取值范围． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵，，则，点是直线的“伴随点”时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当到轴的距离最小时， ∴点在线段上， 设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的“伴随点”．且点到轴的距离最小， 则的纵坐标为，即， ∵是等边三角形，且轴，设交于点，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴等边三角形的边长为； 【小问3详解】 解：由题意知，正方形的边长为1，所以正方形上任意两点距离的最大值为,即正方形上始终存在点P，P到的距离为.则向上或者向下平移2个单位长度得到直线 ∵与平行，且两直线间的距离为， ∴P既在上，又在正方形的边上， ∴与正方形有交点. 当时，为， 当过A时，，即, 当过C时，，即; ∴； 当时，为， 当过A时，，即, 当过C时，，即; ∴； 综上，当或时，正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”． 【点睛】本题考查了几何新定义，解直角三角形，切线的性质，直线与坐标轴交点问题，正方形的性质，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年北京市学业水平考试数学适应性模拟练习试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱锥 D. 长方体 2. 下列图形中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，点B在直线b上，且，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如果是方程的一个根，那么m、n的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不确定的 6. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 8. 如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④．则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，请把答案直接填写在横线上． 9. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 10. 因式分解：______． 11. 分式方程的解是______． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 13. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 14. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）． 15. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为______千米． 16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 三、解答题：本大题有12个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值． 19. 如图，在中，点E，F分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2），，，求的长． 20. 某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次． （1）求珍珍第一局的得分； （2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 21. 促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如表格和统计图： 等级 次数 频率 不合格 100≤x120 a 合格 120≤x140 b 良好 140≤x160 优秀 160≤x180 请结合上述信息完成下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是　 　； （4）若该校有2000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数． 22. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 23. “冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量的2倍． （1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？ （2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元．为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润． 24. 某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围栏周长为米，对于的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下． 请你补全探究过程． （1）建立函数模型： 设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第_________象限内交点的坐标； （2）画出函数图象： 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中画出直线； （3）平移直线，观察函数图象： 当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，直线与轴交点的纵坐标为_________； （4）得出结论： 若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长的最小值为_________米，此时矩形相邻两边的长分别为_________米、_________米． 25. 如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，． （1）求证：； （2）连接，若，的半径为5，，求的长． 26. 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； （2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 27. 如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上． （1）【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 28. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”． 例如：如图1，已知点，，在线段上，则点是直线：轴的“伴随点”． （1）如图2，已知点，，是线段上一点，直线过，两点，当点是直线的“伴随点”时，求点的坐标； （2）如图3，轴上方有一等边三角形，轴，顶点A在轴上且在上方，，点是上一点，且点是直线：轴的“伴随点”．当点到轴的距离最小时，求等边三角形的边长； （3）如图4，以，，为顶点的正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”．请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $