22.1.1 二次函数 课件2024－2025学年人教版数学九年级上册

R·九年级上册 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 1 1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数是否是二次函数. 2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并能指出二次函数的项及各项系数. 素养目标 知识回顾 1.我们以前学过的函数的概念是什么？ 如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数. 2.我们学过哪些函数？ 一次函数 y=kx+b (k≠0) (正比例函数) y=kx (k≠0) 一条直线 任意时刻，篮球离地面的高度与抛掷时间之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？ 课堂导入 问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式怎样表示? x2 y=6x2 探究新知 问题2 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 解： 这个关系式是函数关系式吗？ n 1 2 3 n-1 ... n 个球队 × (n - 1)个球队 2 (循环) = 总场数 对于 n 的每一个确定的值，m 都有一个唯一确定的值与其对应值，即 m 是 n 的函数. 探究新知 一年后 增加 x 倍 问题3 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？ 20(1 + x) 20(1 + x)2 再过一年后 增加 x 倍 原产量是 20 分析： 两年后 答：y = 20x2 + 40x + 20. y 是 x 的函数 探究新知 问题 1~3 中函数关系式有什么共同点? y = 6x2 y = 20x2 + 40x + 20 思考： 1、函数解析式是整式； 2、化简后自变量的最高次数是2； 3、二次项系数不为0. 探究新知 二次项系数 自变量 二次函数的定义 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数. 解析式 y = ax² + bx + c 一次项系数 常数项 探究新知 二次函数的一般形式： y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 二次函数的特殊形式： 当b=0，c=0时， y=ax2(a≠0) 当c=0时， y=ax2+bx(a≠0) 当b=0时， y=ax2+c(a≠0) 一次项系数、常数项可以为0. 探究新知 例1 判断下列函数中，哪些是二次函数?若是二次函数，分别指出二次项系数、一次项系数和常数项. (1)y=3(x-1)2+1 (2)y= (3)S=3-2t2 先整理化简 y=3x²-6x+4 二次项系数：3,一次项系数：-6,常数项：4 √ 不是整式 × √ =-2t2+3 二次项系数：-2,一次项系数：0,常数项：3 典例精析 (4)y=(x+3)2-x2 先整理化简 y=6x+9 × (5)V=10πr2 √ 二次项系数：10π,一次项系数：0,常数项：0 (6)y=ax2 × a≠0才是二次函数 二次函数必须同时满足三个条件： (1) 函数解析式是整式； (2) 化简后自变量的最高次数是2; (3) 二次项系数不为0,即a≠0. 典例精析 例2 (1)已知函数y=(k-2)x2-5x+3是二次函数，求k的取值范围. 一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0) 解：由题意得∵k-2≠0， ∴k≠2. (2)已知函数y=4xk-3+x-5是二次函数，求k的值. 解：由题意得∵k-3=2， ∴k=5. 典例精析 (3)y=(m-2) +4是二次函数，求m的取值范围和函数解析式. 解：由题意得 m2-2=2， m-2≠0. 得 m=±2， m≠2. ∴m=-2. ∴此时函数解析式为y=-4x2-4. 本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=2的错误答案，需要引起同学们的重视. 探究新知 （3）若y=(m－2) xm2－2＋4是二次函数，求m的值和函数解析式. ∴m=－2, ∴此时函数解析式为y=－4x2＋4. 解：由题意得 ∴ 自变量的最高次数是2 二次项系数不为0 探究新知 例3 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围.当x=12m时，计算菜园的面积. xm y m2 xm （40-2x ）m 解： 由题意得： y=x(40-2x). 即 y=-2x2+40x. (0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为 y =-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）. 方法点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等. 典例精析 16 16 练习 矩形的周长为16cm，它的一边长为xcm，面积为ycm2.求 (1)y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)当x=3时，求矩形的面积. 【分析】 矩形的周长为16 长+宽=8 另一边=8-x 解：由题意得(1)y=x(8-x) =-x2+8x (0<x<8) (2)当x=3时，y=-32+8×3=15(cm2) 巩固练习 1.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r之间的关系式. 【教材P29练习 第1题】 S = 2πr2+2πrh = 2πr2+2πr2 = 4πr2 巩固练习 2.如图，矩形绿地的长、宽各增加xm，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式. 【教材P29练习 第2题】 y = (30+x) x+20x+20×30 = 30x +x2+20x+600 = x2+50x+600 巩固练习 实际问题 归纳抽象 数学模型 性质、特点 实际问题的答案 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y= x-2 2. 二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（ ） A.1 B.-1 C.7 D.-6 3.已知函数y=(a-1)x2+3x-1，若y是x的二次函数，则a的取值范围是 . C B a≠1 当堂检测 4.某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降价的百分率x的函数关系式是 . 5.正方形的边长为10cm，在中间挖去一个边长为xcm的正方形，若剩余部分的面积为ycm2，则y与x的函数关系式是y=100-x2，x的取值范围为 . y=2(1-x)2 0≤x≤10 当堂检测 6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，写出△PBQ的面积S与出发时间t（s）的函数关系式及t的取值范围. 解：依题意，得AP=2t, BQ=4t. ∵AB=12, ∴PB=12-2t, t的取值范围为0≤t≤6. 当堂检测 二次函数 定 义 y = ax² + bx + c(a≠0) 一般形式 形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，______) 的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_______________、_____________和__________ 特殊形式 y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c (a≠0，a，b，c 是常数) a≠0 二次项系数 一次项系数 常数项 课堂小结 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 课后作业 $$