精品解析：四川省成都市郫都区2025届高三上学期阶段性检测（一）数学试题

成都市郫都区高2022级阶段性检测（一） 数学 说明： 1．本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟. 2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.） 1. 若集合，则集合A的真子集有（ ）个. A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 2. 已知，则（ ） A. -13 B. 0 C. D. 13 3. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（ ） A. 120种 B. 24种 C. 36种 D. 12种 5. 双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（ ）． A. B. C. D. 6. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 过点可作曲线的切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 8. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分.） 9. 已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当或10时，取得最大值 B. C. 成立的n的最大值为20 D. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 11. 随机事件A，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在的展开式中，常数项为90，则_________． 13. 已知关于x的一组数据： x 1 m 3 4 5 y 0.5 0.6 n 1.3 1.4 根据表中数据得到的线性回归直线方程为，则的值_________． 14. 如图，在多面体的顶点处有一质点S，质点S每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置在点A处，记质点S移动n次后仍在平面ABCD上的概率为，则_________；_________． 四、解答题（本大题共5小题共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列满足:. （1）证明:是等比数列; （2）求数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，M为的中点. （1）证明：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 17. 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人． 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 （1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关： （2）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X．事件“”的概率为，求随机变量X的期望和方差． 参考公式：，其中． a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. （1）求W的方程； （2）若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； （3）设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 19. 定义运算：，已知函数． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）证明：． （3）若函数存在两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市郫都区高2022级阶段性检测（一） 数学 说明： 1．本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟. 2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.） 1. 若集合，则集合A的真子集有（ ）个. A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求集合A的元素个数，进而求真子集个数. 【详解】由题意可知：集合，共5个元素， 所以集合A的真子集有个. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. -13 B. 0 C. D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】先得到，再利用模长公式求解, 【详解】，故. 故选：D 3. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 4. 象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（ ） A. 120种 B. 24种 C. 36种 D. 12种 【答案】D 【解析】 【分析】先排红色棋子，再将黑色棋子插空，求出答案. 【详解】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择， 3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择， 则同色棋子不相邻的排列方式有种. 故选：D 5. 双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线方程解得，再由离心率公式求解即可. 【详解】解：因为双曲线的一条渐近线为( )， 即， 所以渐近线的斜率为， 即， 解得， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 6. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 7. 过点可作曲线的切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B 8. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，研究单调性，进而比较大小即可. 【详解】构造函数，可得， 当时，，因此在单调递减， 又，， 由，故，即. 故选：D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分.） 9. 已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当或10时，取得最大值 B. C. 成立的n的最大值为20 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列性质分析的符号性，结合的符号性以及的性质逐项分析判断. 【详解】因为，则， 且数列为等差数列，则， 可得，即， 又因为，可知：当时，；当时，； 对于选项A：由可知，所以当或10时，取得最大值，故A正确； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：由的符号性可知：①当时，单调递增，则； ②当时，单调递减； 且，可知：当时，；当时，； 所以成立的n的最小值为20，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确； 故选：AD. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 11. 随机事件A，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据条件概率公式，以及和事件概率公式，即可判断选项. 【详解】A.，所以，， 所以，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，， 所以，，故D正确. 故选：CD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在的展开式中，常数项为90，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程，从而求得. 【详解】二项式展开式的通项公式， 令，解得，所以常数项（负根舍去）. 故答案为： 13. 已知关于x的一组数据： x 1 m 3 4 5 y 0.5 0.6 n 1.3 1.4 根据表中数据得到的线性回归直线方程为，则的值_________． 【答案】0.64 【解析】 【分析】先计算出，代入回归直线方程，得到. 【详解】，， 又题意得在上， 故，故. 故答案为：0.64 14. 如图，在多面体的顶点处有一质点S，质点S每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置在点A处，记质点S移动n次后仍在平面ABCD上的概率为，则_________；_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出，再由题意归纳出的递推式子，进而构造数列，进而求和. 【详解】质点S点A处时，移动一次可以到四个位置的其中一个， 其中两个位置在平面ABCD上，因此, 因为当质点在时，移动一次一定在平面ABCD上， 所以当质点移动第二次时，质点仍在平面ABCD上的概率， 因此， 即， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，公比的等比数列， 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列满足:. （1）证明:是等比数列; （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可; （2）先根据第（1）问的求出数列的通项公式,再利用等差数列和等比数列的前项和公式分组求和即可. 【小问1详解】 由得, , 又, 故是以为首项,为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知,, 则, 故 . 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，M为的中点. （1）证明：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又平面，所以平面. 因为平面，所以， 又是的中点，所以， 因为平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证明平面，再证平面，最后证明平面，得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，由（1）知四边形为矩形，则， 又平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 取平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以， ， 设平面与平面所成二面角为， 则，所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 17. 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人． 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 （1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关： （2）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X．事件“”的概率为，求随机变量X的期望和方差． 参考公式：，其中． a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 ，有关 （2）期望6，方差【解析】 【分析】（1）根据题意，补充完善列联表，进行独立性检验即可. （2）根据题意，，利用二项分布的均值方差公式求解. 【小问1详解】 列联表见图， 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 零假设：假设食堂就餐与性别无关， 由列联表可得， 根据小概率的独立性检验推断不成立， 即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关，此推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 由题意可知，抽取的10名学生，喜欢饭堂就餐的学生人数服从二项分布， 且喜欢饭堂就餐的频率为，则， 故其期望，方差. 18. 已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. （1）求W的方程； （2）若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； （3）设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2） （3） 由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 故， . 【解析】 【分析】（1）由已知可得圆的方程，设，，，根据，可得，，代入圆的方程即可求解； （2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解； （3）根据题意可知直线斜率不为0，设直线的方程为，，，联立直线和椭圆构成方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由题意，点在圆上运动，设，，， 由得，， 又，所以，所以的方程为； 【小问2详解】 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆C截得的弦长为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 定义运算：，已知函数． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）证明：． （3）若函数存在两个极值点，证明：． 【答案】（1）1 （2） 由（1）知，，即， 当时， ． ． ． （3） “函数存在两个极值点”等价于 “方程有两个不相等的正实数根” 故，解得， 要证，即证， ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． 【解析】 【分析】（1）利用定义的运算得到的解析式，结合导数求最大值的方法，建立关于的方程，解方程得解. （2）借助（1）问中的结论，，得到，然后利用不等式性质，即裂项相消求和法，从而得证. （3）将极值点个数问题转化为到导函数零点个数问题，从而得出，将所证转化为，通过消元，然后构造函数，借助导数证明即可. 【小问1详解】 由题意知：，， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为． ，令，求导得， 当时，，函数递减，当时，，函数递增， 因此，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第（1）小问关键在于读懂新定义运算，得到解析式，然后借助导数求最大值，第（2）小问关键，借助（1）中得到的结论，，得到，其中的放缩很关键；第（3）问的关键是将极值点个数问题等价为导函数零点个数问题，从而得出的结论，最后双元变单元，再一次构造函数从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $