精品解析：2021年1月新疆维吾尔自治区普通高中学业水平考试数学试卷

2021年1月新疆维吾尔自治区普通高中学业水平考试试题卷 数 学 注意事项： 1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分100分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生先在答题卡上将自己的座位号、姓名、准考证号填写清楚，待监考员粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号与自己的准考证上的信息是否一致． 3．考生必须在答题卡上作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 第Ⅰ卷 （选择题，共48分） 一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分）在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线l的方程是，则这条直线的斜率（ ） A. B. C. D. 2 4. 函数的零点是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 5. 从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中，用分层抽样方法抽取一个容量为6的样本，则抽取数学教师的人数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知，且为锐角，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知两点，，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 在长方体中，长，宽，高，则它体积是（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 9. 函数（，且）的图象过的定点是（ ） A. B. C. D. 10. （ ） A. B. C. D. 11. 下图为某组数据的茎叶图，则这组数据的平均数是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 12. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 13. 在等差数列中，满足，，则（ ） A. 11 B. 14 C. 15 D. 17 14. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 15. 执行如图所示程序框图，如果输入t的值为2，则输出的（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 16. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题，共52分） 注意：在答题卡上，作答有小题号的题时，需依次写明小题号． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 17. __________． 18. 在区间上随机选取一个数，则的概率为__________． 19. 已知向量，，且，则__________． 20. 如果，那么的最小值是__________． 三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间． 22. 已知等比数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求． 23. 如图，在正方体中． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角． 24. 同时掷两个骰子一次，计算向上的点数，求： （1）点数之和是7的概率； （2）点数中恰有一个奇数和一个偶数的概率． 25. 已知函数． （1）判断点是否在的图象上，并说明理由； （2）当时，的最大值为m，最小值为n，求的值． 26. 已知圆的圆心在直线上，与x轴相切于点． （1）求圆的方程； （2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2021年1月新疆维吾尔自治区普通高中学业水平考试试题卷 数 学 注意事项： 1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分100分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生先在答题卡上将自己的座位号、姓名、准考证号填写清楚，待监考员粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号与自己的准考证上的信息是否一致． 3．考生必须在答题卡上作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 第Ⅰ卷 （选择题，共48分） 一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分）在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合并集计算即可； 【详解】由题意可得， 故选：D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的坐标运算，即可求出结果. 【详解】因为，，则， 故选：B. 3. 若直线l的方程是，则这条直线的斜率（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的一般方程求得直线的斜率. 【详解】直线的斜率为. 故选：C 4. 函数的零点是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令即可求解. 【详解】令，解得， 故函数的零点为. 故选：D. 5. 从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取数学教师的人数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用分层抽样的定义和方法即可求解. 【详解】从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中， 用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本， 则应抽取的数学教师人数是人. 故选：C. 6. 已知，且为锐角，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】依题意结合平方和关系即可计算求解. 【详解】因，且为锐角， 所以. 故选：A. 7. 已知两点，，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点间距离公式求解可得. 【详解】由两点间的距离公式得. 故选：B 8. 在长方体中，长，宽，高，则它的体积是（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方体的几何结构特征，结合柱体的体积公式，即可求解. 【详解】在长方体中，因为， 由柱体的体积公式，可得长方体的体积为. 故选：A. 9. 函数（，且）的图象过的定点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的图象过定点，从而可求解. 【详解】由指数函数的图象过定点， 所以函数的图象过定点，故C正确. 故选：C. 10. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式求得正确答案. 【详解】. 故选：A 11. 下图为某组数据的茎叶图，则这组数据的平均数是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据茎叶图可知这组数据，进而求平均数. 【详解】由茎叶图可知这组数据为12，15，20，23，25， 所以这组数据的平均数. 故选：B. 12. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因式分解，然后由一元二次不等式解法可得. 【详解】不等式，解得. 所以原不等式的解集为. 故选：A 13. 在等差数列中，满足，，则（ ） A. 11 B. 14 C. 15 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式的性质求解． 【详解】是等差数列，则， 故选：B． 14. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理代值计算即得. 详解】由正弦定理，可得， 故选：D. 15. 执行如图所示程序框图，如果输入t的值为2，则输出的（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图，依次列出程序执行的步骤即可. 【详解】由题意，, 所以，，解得，， 故选：C. 16. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性、奇偶性等知识来确定正确答案. 【详解】A选项，是非奇非偶函数，不符合题意. B选项，在上不是增函数，不符合题意. C选项，在上单调递减，不符合题意. D选项，设的定义域是， ，所以是奇函数，， 当时，单调递增， 根据奇函数的性质可知在上单调递增，符合题意. 故选：D 第Ⅱ卷 （非选择题，共52分） 注意：在答题卡上，作答有小题号的题时，需依次写明小题号． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 17 __________． 【答案】4 【解析】 【详解】 18. 在区间上随机选取一个数，则的概率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由几何概型的计算公式可得， . 19. 已知向量，，且，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示直接计算求解即可得解. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：3. 20. 如果，那么的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数周期公式求解； （2）根据余弦函数的单调递减区间求解. 【小问1详解】 的最小正周期为. 【小问2详解】 令，，解得：，， 所以的单调递减区间为，. 22. 已知等比数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求． 【答案】（1） （2）121 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，利用等比数列通项的基本量运算列出方程组，解之即得； （2）利用（1）的结论，根据等比数列前n项和公式计算即得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由题意得，， 解得，， 则数列的通项公式为：； 【小问2详解】 由（1）已得，则 23. 如图，在正方体中． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角． 【答案】（1）证明见解析； （2）直线与平面所成的角为. 【解析】 【分析】（1）先证明，，再证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）连接交与点，证明为直线与平面所成的角，解三角形求其大小. 【小问1详解】 连接， 由正方体性质可得，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 连接交与点， 因为四边形为正方形，所以， 由已知平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在中，，，， 所以，又， 所以. 所以直线与平面所成的角为. 24. 同时掷两个骰子一次，计算向上的点数，求： （1）点数之和是7的概率； （2）点数中恰有一个奇数和一个偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记所求事件为事件A，列表可得，，结合古典概型运算求解； （2）记所求事件为事件B，列表可得，结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 列表可得： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ √ 2 ╳ ╳ ╳ ╳ √ ╳ 3 ╳ ╳ ╳ √ ╳ ╳ 4 ╳ ╳ √ ╳ ╳ ╳ 5 ╳ √ ╳ ╳ ╳ ╳ 6 √ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 设样本空间为，则， 记“点数之和是7”为事件A，可知， 所以. 【小问2详解】 列表可得： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 2 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 3 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 4 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 5 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 6 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 记“点数中恰有一个奇数和一个偶数”为事件B，可知， 所以. 25. 已知函数． （1）判断点是否在的图象上，并说明理由； （2）当时，的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】（1）点不在的图象上 （2） 【解析】 【分析】（1）代入，验证函数值是否为3，即可判断； （2）首先判断函数的单调性，再求函数的最值. 【小问1详解】 ，所有点不在的图象上； 【小问2详解】 设， ， 因为，所以，， 即，则， 所以函数在区间单调递减， ，，所以. 26. 已知圆的圆心在直线上，与x轴相切于点． （1）求圆的方程； （2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的圆心为，半径为，根据条件得到，即可求解； （2），先求出圆心到直线距离，再根据条件得到，即可求解. 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为， 又圆的圆心在直线上，与x轴相切于点，所以， 故圆的方程为. 【小问2详解】 由题知直线的斜率存在，设， 则圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为， 所以，化简得到，解得或， 所以直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$